函数的极限与连续.doc

1、1第一章 函数的极限与连续极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念. 1-1 函数一、函数的概念定义 1.1 设有一非空实数集 D，如果存在一个对应法则 ，使得对于每一个 ，都有f Dx一个惟一的实数 与之对应，则称对应法则 是定义在 D 上的一个函数. 记作 y=f(x)，其中 为yf自变量，y 为因变量，习惯上称 y 是 的函数，D 称为定义域.x当自变量 x 取定义域 D 内的某一定值 时，按对应法则 f 所

2、得的对应值 y0， 称为函数 y=f(x)在0x =x0 时的函数值，记作 f(x0)，即 y0=f(x0). 当自变量 x 取遍 D 中的数，所有对应的函数值 y 构成的集合称为函数的值域，记作 M，即f),(例 1 已知 ，求 ， ，1)(2xf 1)(f解 0f)()(22xx例 2 求下列函数的定义域.（1） (2)142y )1ln(62xy解（1） ，所以定义域为,0x ,)1,(x（2） ，所以定义域为61323由函数定义可知，定义域与对应法则一旦确定，则函数随之惟一确定. 因此，我们把函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素. 如果两个函数的定义域、对应法则均相同，那么可以认为

3、这两个函数是同一函数. 反之，如果两要素中有一个不同，则这两个函数就不是同一函数.例如： 与 ,因为 ,即这两个函数的对应法xxf22cosin)(1)(1cosin22x则相同，而且定义域均为 R，所以它们是相同的函数 .又如 与 ，虽然 ，但由于这两个函数的定义域不同，1f)(2x所以这两个函数不是同一函数.通常函数可以用三种不同的形式来表示：表格法、图形法和解析法（或称公式法）.三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用.二、函数的性质1、 单调性设函数 在（ ）内有定义，若对（ ）内的任意两点 ，当 时，有)(xfyba, ba, 21,x21，则称 在（ ）内单调

4、增加；若当 时，有 ，则称()21fxf, 21x)(f在（ ）内单调减少，区间（ ）称为单调区间.ba,2、 奇偶性2设函数 在 D 上有定义，若对于任意的 ，都有 ，则称)(xfyDx)(xff为偶函数；若有 ，则称 为奇函数.)(ff)(fy在直角坐标系中，奇函数与偶函数的定义域必定关于原点对称，且偶函数的图象关于 y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称.3、 有界性若存在一个正数 M，使得对任意的 ，恒有 ，则称函数 y=f(x)在),(baxMxf)(（ ）内有界.ba,如 y=sinx 与 y=cosx 都在（ ）内有界.,4、 周期性设函数 在 D 上有定义，若存在一个正实数 T，

5、对于任意的 ，恒有)(xfy Dx，则称 是以 T 为周期的周期函数.)(Txff通常所说的周期函数的周期，是指它们的最小正周期. 如 的周期是 2 ，ysin的周期是 ， 的周期是 . 函数 ,（ 为常数）是周期函数,ytan)sin(wxAyw2c但不存在最小正周期,此类函数称为平凡周期函数.三、反函数定义 1.2 设函数 ，其定义域为 D，值域为 M. 如果对于每一个 ，有惟一)(f My的一个 与之对应，并使 成立，则得到一个以 为自变量， 为因变量的函数，Dxxyyx称此函数为 y=f(x)的反函数，记作 )(1f显然， 的定义域为 M，值域为 D. 由于习惯上自变量用 x 表示，因

6、变量用 表)(1f y示，所以 的反函数可表示为xy)(1xfy例如 的反函数是 ，其定义域就是 的值域 ，值域是2xy)0(y,0的定义域 ，如图 1-1（a）所示.,0在同一直角坐标系中，函数 y=f(x)和其反函数 的图象关于直线 对称.如)(1xfxy图 1-1（ b）所示.图 11四、初等函数1、基本初等函数下列六种函数统称为基本初等函数.（1）常数函数 （ 为常数） ，其图形为一条平行或重合于 轴的直线.cyx（a） （b）3（2）幂函数 （ 为实数）,其在第一象限内的图形如图 1-2 所示. xy图 1-2（3）指数函数 （ ） ，定义域为 R，值域为 ，图形如图 1-3 所示.

7、xay1,0 ),0()(a图 1-3（4）对数函数 ，定义域 ，值域为 R，图形如图 1-3（b）所示.)1,0(logaxya ),0(（5）三角函数 ， ， ， ， ， . 其sincsxytanxycotsecxys中正弦函数 和余弦函数 的定义域都为 R，值域都为 ，正切函数i 1,的定义域为 ，值域为 R，这三个函数的图形如图 1-4xytan ZkxR,2,且所示.图 1-4（6）反三角函数 ， ， ， ，其中反正弦xyarcsinxyarcosxyarctnxarcyot函数 与反余弦函数 的定义域都为 ，值域分别为 和xyarcsin 1,20（a） （b） （a） （b）4

8、反正切函数 y=arcanx 的定义域 R，值域为 ，这三个函数的图形如图 1-5 所示.,0 2,2、复合函数定义 1.3 设函数 的定义域为 ，函数 的值域为 ,若 ，)(ufyfD)(xuMfD则将 称为 与 复合而成的复合函数， 称为中间变量， 为自变量.)(xfy)(xx如函数 ，因为 的值域 包含在 的定义域（0，+1,ln212,uyln）内，所以 是 与 复合而成的复合函数.)ln注意：（1）并不是任何两个函数都可以复合的，如 与 就不能复合. yarcsi2因为 的值域为 ，而 的定义域为 ，所以对于任意的 所对应2xu,uyarcsi1,x的 ，都使 无意义；uyarcsi

9、n（2）复合函数还可推广到由三个及以上函数的有限次复合.例 4 指出下列函数的复合过程（1） ； （2） .31x 2tanlxy解 （1） 是由 与 复合而成的；2y3uy1（2） 是有 , 复合而成的.tanl ta,ln例 5 已知 f（x）的定义域为 ，求 f（lnx ）的定义域.1解 由 得1lex所以 的定义域为 .)(nf ,3、初等函数定义 1.4 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合，且可用一个解析式表示的函数，称为初等函数.有些函数，在其定义域内，当自变量在不同范围内取值时，要用不同的解析式表示，这类函数称为分段函数，分段函数中有些是初等函数，有些是非初等函数.

10、1oy x图 1-6 图 1-55例 6 已知 ，求 ，102)(xxfx )2(f， ， ，并作出函数图形)0(f21f)(f解 ； ；42x 12)0(0xf； 1)()212xf )(2xf图形如图 1-6 所示 五、建立函数关系举例运用函数解决实际问题，通常先要找到这个实际问题中的变量与变量之间的依赖关系，然后把变量间的这种依赖关系用数学解析式表达出来（即建立函数关系） ，最后进行分析、计算. 例 7 如图 1-7，从边长为 a 的正三角形铁皮上剪一个矩形，设矩形的一条边长为 x，周长为P，面积为 A，试分别将 P 和 A 表示为 x 的函数.解 设矩形的另一条边长为 =06tn22)

11、(3xa该矩形周长 P= ， a)()(3),0(a矩形面积 ， . 图 1-7232xaxA ,例 8 电力部门规定，居民每月用电不超过 30 度时，每度电按 0.5 元收费，当用电超过 30 度但不超过 60 度时，超过的部分每度按 0.6 元收费,当用电超过 60 度时,超过部分按每度 0.8 元收费,试建立居民月用电费 G 与月用电量 W 之间的函数关系.解 当 时，G=05W30w当 时,G=6 36.0)(6035w当 时,G= 1588.W所示 60158.0)(wf习题 1-11、 求下列函数的定义域（1） （2）2xy 232xy（3） （4）)ln( arcsin2、已知

12、，求 ， ， 的值，并作出函数的图形.031xf )1(f0f)1(f3、求下列函数的反函数（1） （2） （3）xyyln1xy4、判断下列函数的奇偶性16（1） （2）xysin2 xycosin（3） （4） .co1xe5、分析下列复合函数的结构，并指出它们的复合过程（1） （2）12xy ysin（3） （4）)(cs )(lg6、把一个直径为 50 厘米的圆木截成横截面为长方形的方木，若此长方形截面的一条边长 x厘米，截面面积为 A 平方厘米，试将 A 表示成 的函数，并指出其定义域 .x1-2 极限的概念一、数列的极限先看下面两个按一定次序排列的一列数（1）1， ， ， ， ,2

13、341n（2） ， ， ， ， ,51我们称它们为数列，分别记作 ， .现在来考察 无限增大时，这两个数列的变化趋势. 为清楚起见，我们把这两个数列的前n项： ， 分别在数轴上表示出来（如图 1-8，图 1-9 所示）.n1x2x由图 1-8 可以看出，当 无限增大时，表示 的点逐渐密集在点 的右侧，且nnx10x无限接近于 0；由图 1-9 可以看出，当 无限增大时，表示 的点逐渐密集在点nx1 1n当 的左侧，且 无限接近于 1.1nx上述两个数列具有相同的变化特征，即当 无限增大时，它们都无限接近于一个确定的常数.n对于具有这样特征的数列，我们给出定义.定义 1.5 如果当 无限增大时，

14、数列 无限接近于一个确定的常数 A，则把常数 A 称为数x列 的极限（也称数列 收敛于 A）记作nxnx或当 时，limn因此，上述数列（1）有极限为 0，记作 ；数列（2）有极限为 1，记作01limx.limnx例 1 观察下面数列的变化趋势，并写出它们的极限.图 1-8 图 1-97（1） （2）12nx nx1（3） （4）)3(解 （1） 的项依次为 1， ， ， ，当 无限增大时， 无限接近于 0， 12nx28nx所以 =0；limnx（2） 的项依次为 2， ， ， ，当 无限增大时， 无限接近于 1，所345nnx以 =1；nx1li（3） 的项依次为 ， ， ， ，当 无限

15、增大时， 无限接近n)3(3192781nx于 0，所以 =0；x1lim（4） 为常数数列，无论 取怎样的正整数， 始终为 4，所以 .nnnx4limn一般地，一个常数数列的极限等于这个常数本身，即（ 为常数）cnlim需要指出的是，并不是所有数列都有极限，如数列 ，当 无限增大时， 也无限增nx2nx大，不能无限接近于一个确定常数，所以它没有极限. 又如数列 ，当 无限增大时，n)1(在 -1 和 1 这两个数上来回摆动，不能无限接近于一个确定常数，所以它也没有极限.nx对于没有极限的数列，我们称该数列的极限不存在，亦称该数列发散.二、函数的极限对于函数的极限，根据自变量的不同变化过程分

16、两种情况介绍.1、当 时，函数 的极限x)(xfy当自变量 的绝对值无限增大时，记作 .定义 1.6 设函数 在 时有定义（ 为某个正实数） ，如果当自变量 的绝对值a x无限增大时，函数 无限趋近于一个确定的常数 A，则称常数 A 为当 时，函数)(f 的极限，记作 （或当 时， ）.)(xfyAxlimxxf)(需要指出的是， 表示 既取正值而无限增大（记作 ） ，同时又取负值而其绝对值无限增大（记作 ）显然，函数 在 时的极限与在 ， 时的极限存在以下关系：)(f 定理 1.1 的充要条件是 .xli Axfxfx )(lim)(li例 2 讨论下列函数当 时的极限.（1） ； （2）

17、； （3） .yy xyarctn解 （1）由反比例函数的图形及性质可知，当 无限增大时， 无限接近于 0，所以x1=0；xlim（2）由指数函数的图形及性质可知， ， ，所以 不存在.x2lim02lixx2lim8（3）由反正切函数的图形及性质可知， ， ，所以2arctnlimxx 2arctnlixx不存在.xxarctnlim2、 当 时，函数 的极限0)(fy当自变量 无限接近于某一定值 时，记作 . 0x0x定义 1.7 设 ，我们把集合x 称为点 的 邻域，点 称为邻域的中00x心， 称为邻域的半径. 称集合x0 为 的去心邻域.00如图 1-10（ ） 、 （ ）所示. 显然

18、， 的 邻域即为开区间 )，记为 N(abx0,(); 的去心 邻域即为 ) ),记为 N( ).,0x 0,(x0,(,0x 定义 1.8 设函数 在 的某去心邻域 N（ ）内有定义，如果当 无限趋近于)(xfy0,0xx时， 无限接近于一个确定的常数 A，则称常数 A 为当 时函数 的极限，记作0x)(f 0)(f或当 ， Afx0lim)(f如函数 ，从图 1-11 可看出，当 从 1 的左、右两旁无限趋近于 1 时，曲线 上xy2 xy2的点 M 与 M都无限接近于点 N(1,2)，即函数 的值无限接近于常数 2，所以 .xy2lim1x需要指出的是：(1)由于现在考察的是当 时函数

19、的变化趋势，所以定义中并不要求 在点0x)(xf )(xf处有定义；0x(2) 表示自变量 从 的左、右两旁同时无限趋近于 .0x 0x例 3 考察当 时，函数 的变化趋势，并求 时的极限.112xy1解 从函数 的图形（图 1-12）可知，当 从左、右两旁同时无限)(2xy x趋近于-1 时，函数 的值无限趋近于常数 ，所以12图 1-10图 1-11 图 1-129.21limli21xx定义 1.9 设函数 在（ ） （或（ ） ）内有定义，若当自变量 从)(fy0,0,xx的左（右）近旁无限接近于 ，记作 （ ）时，函数 无限接近于一0x0 )(fy个确定的常数 A，则称常数 A 为

20、时的左（右）极限，记作或 ， （ 或 ）.xfx)(lim0 xf)(0 Axfx)(li0 Axf)(0极限与左、右极限之间有以下结论：定理 1.2 的充要条件是 .fx)li0 lim0fxfxli0例 4 讨论下列函数当 时的极限.（1） ； （2） .01)sgn()(xf 01)(xf解 （1）因为 ， ，所以根据定理.2，lilim0x li)sgn(li0xx不存在. 称为符号函数，见图 1-13 .)sgn(li0x)s( a（2）因为 ， ，所以根据定理 1.2，)lili00xfx 1)(lim)(li00fxx，如图 1-13（ ）.1)(li0fx b习题 12习题 1

21、-21、观察下列数列的变化趋势，并判断极限是否存在，若存在，指出其极限值。（1） （2）nxnx1（3） （4）2 n)(2、考察下列函数当 时以的变化趋势，并求出其当 时的极限。2（1） （2） 1xy 4xy3、 讨论下列函数当 时的极限0（1） （2）)(xexfx xf)(1-3 极限的运算图 1-1310一、极限的四则运算定理 1.3 设 ， ,则Axf)(lim0 Bxg)(li0（1） ；Afgxx lim00（2） ， （C 为常数） ；Cf)(li)(li0（3） ；xgfxx )(li00（4） (B )BAgfxx)(li)(lim00 说明：（1）上述运算法则对于 时的

22、情形也是成立的;而且法则(1)与(3)可以推广到有限个具有极限的函数的情形.（2）由于数列可以看作定义在正整数集上并依次取值的函数，所以数列极限可以看作是一种特殊的函数极限. 因此，对于数列极限也是有类似的四则运算法则.例 1 求 . )32(limxx解 =3lim2lili111xx= 2x=1+2 1-3=0例 2 求 13li2x解 =lim2x )1(lim232xx= li2xx= =4134例 3 求 .2limx解 因为当 时，分母的极限为零，所以不能直接应用法则（4）.但因，在 的过2x程中， ，所以0 4)2(lim2)(lili22 xxxx例 4 求 .)13(1解 因为当 时， 与 的极限都不存在，所以不能直接应用法则（1）计算，x3应先通分，进行适当的变形，然后用相应的法则来计算.= =)13(lim1xx321lix321limxx