1、- 1 -7.4 镶嵌(2)(第 8 课时)三维目标一、知识与技能1进一步研究平面图形的镶嵌2利用多边形的内角和寻找多边形镶嵌的条件二、过程与方法经历探索多边形镶嵌的过程，发展学生的动手能力，进一步发展学生的合情推理能力、合作能力和空间观察三、情感态度与价值观1经历平面镶嵌的过程，体验数学和生活的密切联系2通过多种平面图形的密铺，即镶嵌，培养学生创造性思维和审美意识教学重点 多边形的内角和与镶嵌教学难点 两种以上不同多边形的镶嵌教具准备 多媒体课件，剪刀等教学过程一、创设问题情境多边形的角与三角形内角和关系活动 1想一想：如图 74-3 所示图形哪些是由线段围成的图形？ 由线段围成的图形是怎样
2、表示的？构成这些图形的元素是什么？不相邻顶点的连线称什么线呢？- 2 -答案：如图 74-3 中，图（ 1） （3）是由线段围成的图形在同一平面内，由线段首尾顺次相接的图形叫多边形；如图 74-5 所示的五边形记为 “五边形 ABCDE” 组成多边形的要素：（1）多边形的边首尾顺次连接的线段叫多边形的边，n 边形有 n 条边；（2）多边形的内角多边形相邻的两边组成的角叫多边形内角如图 74-4 所示，多边形的角有A、B、C 、D、E；（3）多边形的外角多边形一条边，如BC 与它相邻边 DC 延长线所组成的角叫多边形的外角 BCF 是多边形的一个外角；（4）多边形的对角线连接多边形不相邻的两个顶
3、点的线段， 叫做多边形的对角线AD、AC 是五边形 ABCDE 的对角线试一试：如图 74-5 所示，四边形被一条对角线分割成两个三角形， 五边形被两条对角线分割成三个三角形，n 边形被同一顶点的对角线分成多少个三角形呢？ 由此你得到求四边形、五边形、n 边形内角和的方法了吗？四边形、五边形、n 边形的内角和是多少呢？答案：四边形内角和转化为两个三角形的内角和，内角和为 1802=180（4-2） ，五边形内角和转化为三个三角形的内角和，五边形内角和为 1803=180（5-2）n 边形的内角和转化为（n-2）个三角形的内角和，n 边形内角和为 180（n-2） ，这就得出了多边形的内角和定理
4、：n 边形内角和为（n-2）180（n3） 做一做：如图 74-6 所示，在（1） （ 2） （3）的图中分别是四边形 ABCD， 五边形ABCDE， 六边形 ABCDEF，它们的外角和分别是多少？ n 边形的外角和呢？- 3 -答案：图（1）1+2+3+ 4=4180-（A+B+ C+D）=4180-360 =（4-2）180=2 180=360；图（2）1+2+ 3+ 4+5=5180-（A+B+ C+D+E）=5180-3180=2180=360；图（3）1+2+ 3+ 4+5+6=6180- （A+ B+ C+D+E+F ）=6180-4180=2180=360；（你理解吗？）n 边形
5、内角和1+2+ +n=n180-（n-2 ）180=2180=360， 可见 n边形的外角和为 360二、讲授新课镶嵌读一读平面镶嵌随着日常生活水平的提高，人们对居室的布置、装潢更趋于完善、科学，卧室地面铺地板十分讲究，如图 74-7 所示是用相同规格的樱花木铺成的木地板， 板与板之间抽出3 边槽，密铺后将不会出现缝隙平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫多边形覆盖平面或平面镶嵌问题- 4 -案例 1 贴瓷砖时发现少了一块，没办法，只好将原来的瓷砖切开， 重新拼成一个正方形具体切法如图 74-8 所示，但新的正方形比原来的稍小些案例 2 现有一张长方形 墙纸
6、，宽为 4，长为 9，要把它割成全等的 2 块，使这 2块合成一块正方形如图 74-9 所示，49=6 6，每一个小正方形边长为 1 个单位， 长方形宽为 4 个单位，长为 9 个单位如图阴影与空白部分把长方形分成面积相等的两部分案例 3 3 个相等的正方形如图 74-10 所示位置， 把这个图形截去一部分使剩余部分合成一个中央有正方形方孔的正方形，利用这种余料可以拼成新的地板图案三、例题讲解【例 1】如图 74-11 所示，求 A+ B+ C+D+E+F 的度数分析：把不规则的图形变为规则的图形，作辅助线连结 BE， 运用三角形内角和定理，转化D、C 为规则多边形内角，D+C=1+2解答：连
7、结 BE，由四边形内角和知， A+ABE+ BEF+F=360 ， 在DOC与BOE 中，DOC=BOE，1+2=D+C，所以A+ B+C+ E+ F= A+ABE+ BEF+F=360方法总结：把不规则图形转化为规则的多边形再求值，其中D+C=1+ 2，分析得出这个关系是关键，把D 、C 这两个不规则图形中的角转化为四边形 ABEF内角- 5 -的一部分【例 2】 （1）过 m 边形的一个顶点有 7 条对角线，n 边形没有对角线，k 边形对角线条数等于边数，则 m=_，n=_，k=_（2）十二边形内角和为_，外角和为_（3）如果 n 边形内角和为 1 080，则 n_，这个 n 边形每个内角
8、相等， 其中每一个内角为_（4）四边形中的外角和等于_，在它的外角中至多只能有_个钝角，最多只能有_个锐角分析：运用多边形内角和、对角线、外角和及内外角的关系解答（1）m 边形是一个顶点一般能引 m-3 条对角线，m-3=7，则 m=10， 没有对角线的多边形显然是三角形，k 边形对角线与本身边数相等，即 =k，k=5(3)2k（2）当 n=12 时，则十二边形内角和=（n-2 ）180=（12-2）180=1800，外角和等于 360（3） （n-2）180=1 080，解得 n=8，内角= =135108（4）360；如果有四个外角是钝角，则 4360，所以钝角最多只能有 3 个，内角中的
9、锐角最多只有 3 个，如果有 4 个，4360解答：（1）10 3 5 （2）1 800 360 （3）8 135 （4）360 3 3方法总结：理解对角线意义，正确区别每个顶点所引的对角线条数与 n边形共有有对角线条数公式：n 边形共有对角线 条，因为每个顶点所引对角线为（n-3）条，()nAn 个顶点所引对角线乘以 n，即为 n（n-3） ，但两个顶点之间重复一次，即为 条(3)2n【例 3】 （1）一个正多边形的各内角都等于 120，则 n=_，一个 n边形内角和与外角和相等，则 n=_（2）一个 n 边形的内角和是外角和的 2 倍，则 n=_（3）四边形 ABCD 中，1、2、3、4
10、分别是A、B、C、D 的外角，若A：B：C：D=1 ：2：3：4，则1：2：3 ：4=_ - 6 -（4）正方形、正五边形、正六边形的每个外角为 ，则+_（5）凸 n 边形的 n 个内角与某一个外角之和为 1 350，则 n=_.分析：（1）（2）由多边形内角和外角和求解 （3）分别求出A，B，C，D 度数，再求1，2，3，4，A= 360=36，B=0360=72，C= 60=108，D= 360=144，则1=180-10041A=144 ，2=180-B=108，3=180- C=72，4=180-D=36 （4）正方形每个外角为 364=90， 正五边形每个外角为 =72，正六边形每个
11、外角为3605=60 （5）令某外角为 ， （n-2 ）180+=1 350，令 =0，解得 n=9.5，令360=180，解得 n=8.5，8.5n9.5解答：（1）6，四 （2）6 （3）4：3：2：1 （4）222 （5）9方法总结：（5）题运用极端原理解决问题， （n-2）180+=1 350，令=0 或 180，求出 n 的两个极端值 n=8.5，n=9.5，可判定 n=9【例 4】如图 74-12 所示，是用竹条做成的龙骨风筝，若1=3，2=4：（1）问竹条 AC 与 BD 是否垂直，并说明理由（2）若1=45，5= 6= BAD ，求四边形 ABCD 各内角度数1分析：（1）运用
12、三角形内角和探求3+4=2+ 1=90（2）运用三角形内角和及多边形内角和求解解答：（1）在ABD 中，1+2+3+4=180，1=3，2=- 7 -2（1+2）=180 ，即1+ 2=90，AEB=180 -90=90ACBD（2）1=45，而1=3，3=45 ，2+4=BAD=180-21=180-245=180-90=90，5=6= BAD= 90=30，EDC=90-136=90 -30=60ADC=ABC=60 +45=105，四边形内角分别为 105，60，105，90方法总结：探求 AC 与 BD 的位置关系，关键是探索AED 是否为 90，这里运用整体求值法，求出1+2=90，
13、在求ABC ，ADC 时，运用角的求和法， 分别求出组成ABC 的两个角后再相加【例 5】如图 74-13 所示，将五块十字形的墙面瓷砖改铺成正方形图案， 怎么切割呢？试一试！分析：此问题属于平面的镶嵌问题：（1）要密铺；（2）改为正方形方法一： 在外围的四个正方形中，分别切割一块小直角三角形， 面积为 正方形面积， 如图1474-14 所示；方法二：只须剪切两次即可，如图 74-15 所示解答：方法一：如图 74-14（1） （2）所示方法二：如图 74-15（ 1） （2）所示- 8 -四、课时小结一般地，多边形能覆盖平面需要满足两个条件：（1）拼接在同一个点的各个角的和恰好等于 360（
14、周角） （2）相邻的多边形有公共边板书设计74 镶嵌（二）一、多边形的内角和、外角和及应用二、多边形能覆盖平面需要满足的条件（1）拼接在同一个点的各个角的和恰好等于 360（周角）（2）相邻的多边形是公共边活动与探究探索用两种正多边形镶嵌平面的条件过程 让学生先从简单的两种正多边形开始探索（1）正三角形与正方形正方形的每个内角是 90，正三角形的每个内角是 60，对于某个拼结点处， 设有 x 个 60角，有 y 个 90角，则：60x+90y=360即：2x+3y=12又 x、y 是正整数解得：x=3，y=2即：每个顶点处用正三角形的三个内角，正方形的两个内角进行拼接 （如下图）- 9 -（2
15、）正三角形与正六边形正三角形的每个内角是 60，正六边形的每个内角是 120，对于某个拼结点处，设有 x 个 60角，有 y 个 120角，即：60x+120y=360即 x+2y=6x、y 是正整数解得： 421xy或即：每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形，或者用二个正三角形和两个正六边形，如下图（3）正三角形和正十二边形与前一样讨论，得每个顶点处用一个正三角形和两个正十二边形由以上讨论可找到镶嵌平面的条件结论 由 n 种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：（1）n 个正多边形中的一个内角的和的倍数是 360；（2）n 个正多边形的边长相等，或其中一个或 n 个正多边形的边长是另一个或
16、 n 个正多边形的边长的整数倍备课资料一、归纳、延伸、拓展1多边形（1） 多边形定义：在同一平面 内不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的几何图形叫多边形，如图 1 所示，多边形记为五边形 ABCDE- 10 -（2）多边形的边：所相边的线段叫多边形的边，如图 1 中的AB、BC 、CD、DE 、EA （3）多边形的角：内角多边形相邻的两边所组成的角叫多边形内角， 如A、B、C、D、E，是五边形内角 多边形的外角多边形的一边与相邻一边邻长线组成的角叫多边形的外角，如CBF 是多边形的一个外角， 五边形有五个外角（4） 多边形的对角线：多边形不相邻的两个顶点的连线组成的线段叫多边形的对角线，n 边形从一个顶点可以引（n-3）条对角线，把 n 边形分成（n-2 ）个三角形，n 边形内对角线条数为 (3)2n2多边形的内角和及外角和（1）多边形的内角和：多边形的内角和为（n-2）180（n3） （2）多边形外角和：多边形的外角和为 3603正多边形（1）正多边形：各边相等、每个内角相等的多边形叫正多边形（2）正三角形、正方形、正五边形、正六边形，每个内角分别为 60、90、108、120二、参考练习1如图 2，五角星顶角为A 、B、C、D、E，求：（1）AOE；（2）阴影部分的五边形内角和
