1、第 1 页 共 16 页二次函数专项检测题1如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= 32x+ b+ c经过A（0，4） 、B（ x1，0） 、 C（ x2，0）三点，且 2- 1=5（1）求 b、 c的值；（2）在抛物线上求一点 D，使得四边形BDCE 是以 BC 为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由解： 2如图所示，在平面直角坐标系中，矩形 ABOC的边 在 x轴的负半轴上，边 OC在y轴的正半轴上，且 1AB， 3，矩形 绕点 按顺时针方向旋转 60后得到
2、矩形 EFOD点 的对应点为点 E，点 的对应点为点 F，点 的对应点为点 D，抛物线2axbc过点 ， ， （1）判断点 是否在 y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在 x轴的上方是否存在点 P，点 Q，使以点 OBPQ， ， ， 为顶点的平行四边形的面积是矩形 ABOC面积的 2 倍，且点 在抛物线上，若存在，请求出点 ，点 Q的坐标；若不存在，请说明理由AxyB C OyxODECFAB第 2 页 共 16 页3已知点 A（a， 1y） 、B（2a，y 2） 、C （3a，y 3）都在抛物线 xy125上.（1）求抛物线与 x 轴的交点坐标；（2）当 a=1 时，求AB
3、C 的面积；（3）是否存在含有y、y 2、y 3，且与 a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.4如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，3yxAyC抛物线 经过 三点 （1）求过23(0)yaxcaABC， ，三点抛物线的解析式并求出顶点 的坐标；（2）在抛物线ABC， ， F上是否存在点 ，使 为直角三角形，若存在，直接写出 点P P坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线 上是否存在一点 ，使得 的周长最小，若存在，求出 点的坐标；若不MF M存在，请说明理由5如图，已知半径为 1 的O 1 与 轴交于 两点， 为O 1 的切
4、线，切点为 ，xAB， MM圆心 的坐标为 ，二次函数 的图象经过 两点1(20)， 2ybcAB，（1）求二次函数的解析式；（2）求切线 的函数解析式；（3）线段 上是否存在一点 ，使得以 为顶点的三角MP， ，形与 相似若存在，请求出所有符合条件的点 的坐标；1 P若不存在，请说明理由A O xyBFC图 14yxO A BMO1第 3 页 共 16 页6 ABC 中， 90， 6A， 2Ccm长为 1cm 的线段 MN在 ABC 的边上沿 方向以 1cm/s 的速度向点 B运动（运动前点 与点 重合） 过 ， 分别作的垂线交直角边于 PQ， 两点，线段 MN运动的时间为ts（1）若 AM
5、 的面积为 y，写出 与 t的函数关系式（写出自变量 t的取值范围） ；（2）线段 运动过程中，四边形NQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时 t的值；若不可能，说明理由；（3） t为何值时，以 CPQ， ， 为顶点的三角形与 ABC 相似？7已知：如图 14，抛物线 234yx与 轴交于点 A，点 B，与直线 34yxb相交于点 B，点 C，直线 b与 轴交于点 E（1）写出直线 的解析式 （2）求 BC 的面积（3）若点 M在线段 A上以每秒 1个单位长度的速度从 A向 运动（不与 ， 重合） ，同时，点 N在射线 C上以每秒 2 个单位长度的速度从 向 运动设运动时间为 t秒，请写出M
6、N的面积 S与 t的函数关系式，并求出点 运动多少时间时， B 的面积最大，最大面积是多少？第 4 页 共 16 页8某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为 12m，抛物线拱高为 5.6m （ 1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式 （2）现需在抛物线 AOB 的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在 AB 上，每扇窗户宽 1.5m，高 1.6m，相邻窗户之间的间距均为 0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为 0.8m请计算最多可安装几扇这样的窗户？9已知抛物线 baxy2与 轴的一个交点为 A(-1,0)
7、，与 y 轴的正半轴交于点 C（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与 x轴的另一个交点 B 的坐标；（2）当点 C 在以 AB 为直径的 P 上时，求抛物线的解析式；（3）坐标平面内是否存在点 M，使得以点 M 和中抛物线上的三点 A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由第 5 页 共 16 页二次函数压轴题答案1 解：（1）解法一：抛物线 y= 32x+ b+ c经过点 A（0，4） ， c=4 1 分又由题意可知， 1、 2是方程 3x2+ b+ c=0 的两个根， x1+ 2= 3b， x= c=62 分由已知得（ - 1） 2=25又（
8、x2- ） =（ x2+ 1） 24 x12= 9b24 49b24=25 解得 = 31 3 分当 = 时，抛物线与 x轴的交点在 x轴的正半轴上，不合题意，舍去 b= 4 4 分解法二： x1、 2是方程 3x2+ b+c=0 的两个根，即方程 2 3 b+12=0 的两个根 x= 4962， 2 分 2 1= 2b=5，解得 = 343 分（以下与解法一相同 ） （2）四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点 D 必在抛物线的对称轴上， 5 分第 6 页 共 16 页又 y= 32x 144= 32（ x+ 7） 2+ 65 6 分抛物线的顶点（ 7， 65）即为
9、所求的点 D 7 分（3）四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形，点 B 的坐标为（6，0） ，根据菱形的性质，点 P 必是直线 x=-3 与抛物线 y= 32x- 14-4 的交点， 8 分当 =3 时， = （3） 2 14（3）4=4， 在抛物线上存在一点 P（3，4） ，使得四边形 BPOH 为菱形 9 分四边形 BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形 BPOH 为正方形，点 P 的坐标只能是（3，3） ，但这一点不在抛物线上10 分2 解：（1）点 E在 y轴上 1 分理由如下：连接 AO，如图所示，在 RtABO 中， 1， 3BO， 2Asin2B， 30由题意可知： 6
10、E9OA点 B在 x轴上， 点 在 y轴上 3 分（2）过点 D作 Mx轴于点1， 30在 RtO 中， 12， 3O点 D在第一象限，点 的坐标为 3， 5 分由（1）知 2EOA，点 E在 y轴的正半轴上点 的坐标为 (0)，第 7 页 共 16 页点 A的坐标为 (31)， 6 分抛物线 2yaxbc经过点 E，c由题意，将 (31)A， ， 2D， 代入 2yaxb中得3214ab解得8953ab所求抛物线表达式为： 289yx9 分（3）存在符合条件的点 P，点 Q 10 分理由如下： 矩形 ABOC的面积 3BA以 ， ， ， 为顶点的平行四边形面积为 2由题意可知 为此平行四边形
11、一边，又 3OB边上的高为 211 分依题意设点 P的坐标为 ()m，点 在抛物线 28539yx上28539解得， 10m， 281()P， 253，以 OBQ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，第 8 页 共 16 页PQOB ， 3，当点 1的坐标为 (02)， 时，点 的坐标分别为 1， ， 2()Q， ；当点 2P的坐标为 538， 时，点 Q的坐标分别为 312， ， 4328， 14 分3 解：（1）由 5 x2=0， （1 分）得 0x， （2 分）抛物线与 x 轴的交点坐标为（0，0） 、 （ 52，0） （3 分）（2）当 a=1 时，得 A（1，17） 、B（2，44
12、） 、C（3，81） ， （4 分）分别过点 A、B、C 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E、F，则有S=S DF梯 形 - AEBS梯 形 - FC梯 形 （5 分）= 2)817(- 1)4(- 2)8(（6 分）=5（个单位面积） （7 分）（3）如： )(312yy （8 分）事实上， )3(52a =45a2+36a 3（ 12y）=35（2a） 2+122a-（5a 2+12a） =45a 2+36a （9 分） )(y （10 分）4 解：（1） 直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 3yxAyC， 1 分(0)A， ()C，点 都在抛物线上，yxODECFAB M第 9 页 共
13、 16 页230ac3a抛物线的解析式为 3 分233yx顶点 4 分41F，（2）存在 5 分7 分1(03)P，9 分2，（3）存在 10 分理由：解法一：延长 到点 ，使 ，连接 交直线 于点 ，则点 就是所求的BCBCFACM点11 分过点 作 于点 HA点在抛物线 上，B233yx(0)B，在 中， ，RtOC tanB， ，30B23在 中， ，tH 1， ， 12 分6O(23)B，设直线 的解析式为BFykxb解得234kb632A O xy BFC图 9HB M第 10 页 共 16 页13 分362yx解得 362yx3710xy， 3107M，在直线 上存在点 ，使得 的周长最小，此时 14 分ACMBF 37，5 解：（1） 圆心 的坐标为 ， 半径为 1， ， 1 分1O(20)， 1OA(0)A， ()B，二次函数 的图象经过点 ，2yxbc，可得方程组 2 分930解得： 二次函数解析式为 3 分4bc243yx（2）过点 作 轴，垂足为 4 分MFxF是 的切线， 为切点， （圆的切线垂直于经过切点的半径）O1A1OM在 中，1Rt 11sin2为锐角， 5 分1OM130O，1cos302A在 中， RtF 3cos02A13sin302MOA点 坐标为 6 分， y AH FMO P1P2 O1 xB
