1、四 约数与倍数（B）年级 班 姓名 得分 一、 填空题1把 20 个梨和 25 个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下 2 个，而苹果还缺 2 个，一共有_个小朋友.2. 幼儿园有糖 115 颗、饼干 148 块、桔子 74 个，平均分给大班小朋友；结果糖多出 7 颗，饼干多出 4 块，桔子多出 2 个.这个大班的小朋友最多有_人.3. 用长 16 厘米、宽 14 厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板_块.4. 用长是 9 厘米、宽是 6 厘米、高是 7 厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块_块.5. 一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔 3、5、9、
2、15、10 分钟发一次，第一次同时发车以后，_分钟又同时发第二次车.6. 动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得12 粒；如只分给第二群，则每只猴子可得 15 粒；如只分给第三群，则每只猴子可得 20 粒.那么平均给三群猴子,每只可得_粒.7. 这样的自然数是有的:它加 1 是 2 的倍数,加 2 是 3 的倍数,加 3 是 4 的倍数,加 4 是 5 的倍数,加 5 是 6 的倍数,加 6 是 7 的倍数,在这种自然数中除了1 以外最小的是_.8 能被 3、7、8、11 四个数同时整除的最大六位数是_.9. 把 26,33,34,35,63,85,91,143 分成若
3、干组,要求每一组中任意两个数的最大公约数是 1, 那么至少要分成_组.10. 210 与 330 的最小公倍数是最大公约数的_倍.二、解答题11公共汽车总站有三条线路，第一条每 8 分钟发一辆车，第二条每 10 分钟发一辆车，第三条每 16 分钟发一辆车，早上 6：00 三条路线同时发出第一辆车.该总站发出最后一辆车是 20:00,求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻.12. 甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数,商是 12.如果甲乙两数的差是 18,则甲数是多少?乙数是多少?13. 用 、 、 分别去除某一个分数，所得的商都是整数.这个分数2856120最小是几?14. 有 15 位同学
4、,每位同学都有编号,他们是 1 号到 15 号,1 号同学写了一个自然数,2 号说：“这个数能被 2 整除” ，3 号说：“这个数能被他的编号数整除.1 号作了检验:只有编号连续的二位同学说得不对,其余同学都对,问:(1)说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你,1 号写的数是五位数,请找出这个数.答 案答 案:1. 9若梨减少 2 个,则有 20-2=18(个);若将苹果增加 2 个,则有 25+2=27(个),这样都被小朋友刚巧分完.由此可知小朋友人数是 18 与 27 的最大公约数.所以最多有 9 个小朋友.2. 36根据题意不难看出,这个大班小朋友的人数是 1
5、15-7=108,148-4=144,74-2=72 的最大公约数.所以,这个大班的小朋友最多有 36 人.3. 56所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数,也就是长方形木板的长和宽的公倍数,又要求最少需要多少块,所以正方形木板的边长应是14 与 16 的最小公倍数.先求 14 与 16 的最小公倍数.2 16 148 7故 14 与 16 的最小公倍数是 2 8 7=112.因为正方形的边长最小为 112 厘米,所以最少需要用这样的木板=7 8=56(块)14624 5292与上题类似，依题意，正方体的棱长应是 9，6，7 的最小公倍数，9，6，7 的最小公倍数是 126.所
6、以,至少需要这种长方体木块=14 21 18=5292(块)76912注上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广.将平面问题推广为空间问题是数学家喜欢的研究问题的方式之一.希望引起小朋友们注意.5. 90依题意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是 3,5,9,15 和 10 的最小公倍数.因为 3,5,9,15 和 10 的最小公倍数是 90,所以从第一次同时发车后 90 分钟又同时发第二次车.6. 5依题意得花生总粒数=12 第一群猴子只数=15 第二群猴子只数=20 第三群猴子只数由此可知,花生总粒
7、数是 12,15,20 的公倍数,其最小公倍数是 60.花生总粒数是 60,120,180,，那么第一群猴子只数是 5，10，15，第二群猴子只数是 4，8，12，第三群猴子只数是 3，6，9，所以，三群猴子的总只数是 12，24，36，.因此,平均分给三群猴子,每只猴子所得花生粒数总是 5 粒.7. 421依题意知,这个数比 2、3、4、5、6、7 的最小公倍数大1,2、3、4、5、6、7 的最小公倍数是 420，所以这个数是 421.8. 999768由题意知,最大的六位数是 3,7,8,11 的公倍数,而 3,7,8,11 的最小公倍数是 1848.因为 999999 1848=5412
8、31，由商数和余数可知符合条件的最大六位数是 1848 的 541 倍，或者是 999999 与 231 的差.所以,符合条件的六位数是999999-231=999768.9. 3根据题目要求,有相同质因数的数不能分在一组,26=2 13,91=7 13,143=1113,所以,所分组数不会小于 3.下面给出一种分组方案:(1)26，33，35；(2)34，91；(3)63，85，143.因此,至少要分成 3 组.注所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如15=3 5，21=3 7，35=5 7，3，5，7 各出现两次，而这三个数必须分成三组，而不是两组.除了上述分法之外,还有多种
9、分组法,下面再给出三种:(1)26,35；33，85，91；34，63，143.(2)85,143,63；26，33，35；34，91.(3)26,85,63；91，34，33；143，35.10. 77根据“甲乙的最小公倍数 甲乙的最大公约数=甲数 乙数” ，将 210 330分解质因数，再进行组合有210 330=2 3 5 7 2 3 5 11=22 32 52 7 11=（2 3 5） （2 3 5 7 11）因此，它们的最小公倍数是最大公约数的 7 11=77（倍）.11. 根据题意,先求出 8,10,16 的最小公倍数是 80,即从第一次三车同时发出后,每隔 80 分钟又同时发车.
10、从早上 6:00 至 20:00 共 14 小时,求出其中包含多少个 80 分钟.60 14 80=1040 分钟由此可知,20:00 前 40 分钟,即 19:20 为最后一次三车同时发车的时刻.12. 甲乙两数分别除以它们的最大公约数,所得的两个商是互质数.而这两个互质数的乘积,恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数所得的商12.这一结论的根据是:(我们以“约”代表两数的最大公约数，以“倍”代表两数的最小公倍数)甲数 乙数=倍 约= ，所以：约约 乙 数甲 数 约约 约倍= ， =12约乙 数约甲 数 约倍 约乙 数约甲 数 将 12 变成互质的两个数的乘积：12=4 3，12=1
11、 12先看,说明甲乙两数：一个是它们最大公约数的 4 倍，一个是它们最大公约数的 3 倍.甲乙两数的差除以上述互质的两数(即 4 和 3)之差,所得的商,即甲乙两数的最大公约数.18 (4-3)=18甲乙两数,一个是:18 3=54，另一个是：18 4=72.再看,18 (12-1)= ,不符合题意,舍去.1713. 依题意,设所求最小分数为 ,则NM=a =b =c285NM561201即 =a =b =cN其中 a,b,c 为整数 .因为 是最小值,且 a,b,c 是整数,所以 M 是 5,15,21 的最小公倍数,N 是NM28,56,20 的最大公约数,因此,符合条件的最小分数: =
12、=41052614. (1)根据 2 号15 号同学所述结论,将合数 4,6,，15 分解质因数后，由 1 号同学验证结果，进行分析推理得出问题的结论.4=22,6=2 3,8=23,9=32,10=2 5,12=22 3,14=2 7,15=3 5由此不难断定说得不对的两个同学的编号是 8 与 9 两个连续自然数(可逐次排除,只有 8 与 9 满足要求).(2)1 号同学所写的自然数能被 2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15 这 12 个数整除,也就是它们的公倍数.它们的最小公倍数是22 3 5 7 11 13=60060因为 60060 是一位五位数,而这 12 个数的其他公倍数均不是五位数,所以 1号同学写的五位数是 60060.
