1、新课标第一网（）-中小学教学资源共享平台新课标第一网-免费课件、教案、试题下载初三数学直线形知识精讲一. 本周教学内容：直线形直线形是初中平面几何的基础知识，其中三角形是构成多边形的基础图形，而全等三角形的知识更为重要。全等三角形是研究两个封闭图形之间关系的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。例 1. 已知，如图，ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE，DGCE，G 是垂足，求证：（1）G 是 CE 的中点；（2）B=2BCE。分析：（1）欲证 G 是 CE 中点，即 EG=CG，由条件 DGCE，所以只须证 DG 所在直线为 CE 中垂线，想到要连结 DE，证出DEC 为等腰三角
2、形。即 DE=CD 即可，由已知条件 DC=BE=EA，ABD 为直角三角形，DE=BE=DC，则此题得到解决。（2）由第（1）问知：DC=DE，BDE=DEC+DCE=2DCE由 BE=DE，B=BDE=2DCE。证明：（1）连结 DE，ADB=90，E 是 AB 中点，DE=AE=BE又DC=BE，DC=DE又DGEC 于 G，G 是 EC 中点（2）DE=DC，DCE=DECEDB=DEC+DCE=2DCE，又DE=BE，B=EDBB=2BCE例 2. 如图，ABC 中，AB=AC，D、E、F 分别为 AB、BC、CA 上的点，且 BD=CE，DEF=B，求证：DEF 是等腰三角形。分析
3、：从已知条件入手，由 AB=AC，可得B=C新课标第一网（）-中小学教学资源共享平台新课标第一网-免费课件、教案、试题下载DEF=B，DEF=B=C又BEF=C+EFC（三角形外角等于不相邻的两内角和）又BEF=BED+DEFBED=EFC，从而得到BDECEFDE=EF，即DEF 是等腰三角形。证明：DBE 和ECF 中，BD=CE，AB=AC，B=C又BEF=BED+DEF=C+EFC，DEF=BBED=EFCBDECEF，DE=EFDEF 是等腰三角形。例 3. 已知，如图，在ABC 中， （ABAC） ，D、E 在 BC 中，且 DE=EC，过 D 作 DFBA 交 AE 于点F，DF
4、=AC，求证：AE 平分BAC。分析：DF=AC，而 DF、AC 不在同一三角形中，也不在全等的两个三角形中，所以想到通过证三角形全等把 DF 与 AC 移动到同一三角形中，由 DE=EC，即 E 是 DC 中点，延长 FE 到 G，使 EG=EF，可得到DEFCEG，进而得到 CG=DF=AC，G=GAC，又可得到 GCDFAB，G=BAG，BAG=GAC，即AG 平分BAC证明：延长 FE 到 G，使 EG=EF，连结 CG在DEF 和CEG 中，ED=EC，DEF=CEG，FE=EGDEFCEG，DF=GC，DFE=GDFAB，DFE=BAEDF=AC，GC=AC，G=CAEBAE=CA
5、E，即 AE 平分BAC。例 4. 如图，已知 AD 是ABC 的中线，BE 交 AC 于点 E，交 AD 于点 F，且 AE=EF，求证：AC=BF。分析：要证的两条线段 AC、BF 不在两个能全等的三角形中，因此证 AC=BF 较困难，于是想到通过添加辅助线，把 AC、BF 转化到一个三角形中。由于 AD 是中线，所以常采用倍长中线的方法添加辅助线，再新课标第一网（）-中小学教学资源共享平台新课标第一网-免费课件、教案、试题下载通过全等三角形的证明得到结论，类似于上一题。证明：延长 AD 到 H，使 DH=AD，连结 BHAD 是ABC 的中线，BD=DC又BDH=CDA，DH=ADBDH
6、CDABH=CA，H=DACAE=EF，FAE=AFE又AFE=BFD，H=BFDBH=BF，BF=AC例 5. 如图，在等腰 RtABC 中，C=90，D 是斜边 AB 上任一点，AECD 于 E，BFCD 交 CD 的延长线于 F，CHAB 于 H 点，交 AE 于 G，求证：BD=CG分析：由于 BD 与 CG 分别在两个三角形中，欲证 BD 与 CG 相等，设法证CGEBDF，由于全等条件不足，所以考虑先证AECCFB，进而得到证CGEBDF 的条件。证明：在 RtAEC 与 RtCFB 中AC=CB，AECD 于 E，BFCD 交 CD 的延长线于 F，AEC=CFB=90又ACB=
7、90，CAE=90ACE=BCFRtAECRtCFB，CE=BF在 RtBFD 和 RtCEG 中，F=GEC=90，CE=BFFBD=90FDB=90CDH=ECG，RtBFDRtCEGBD=CG例 6. 已知：如图，ABC 中，BAC=120，AB=3，AC=2，BAC 的平分线交 BC 于 D，求 AD 的长。分析：此题图形虽然简洁，但内涵很丰富。由已知条件，可由BAC=120，AD 平分BAC 得到BAD=CAD=60。但没有特殊三角形，如直角三角形或等边三角形，所以要求 AD 的长，只能另想办法。这时我们想到要构造平行线，利用比例性质去求。常利 用 一 个 公 式 “角 平 分 线
8、平 行 线 等 腰 三 角 形 ”。+解：法一：过 D 作 AC 的平行线交 AB 于 E，新课标第一网（）-中小学教学资源共享平台新课标第一网-免费课件、教案、试题下载AD 平分BACBAD=CAD=60又EDA=CAD=60AED 是等边设 AD=x则 AE=DE=x，BE=3x又 ， DEACBx23 ， 即x65法二：过 C 作 AD 的平行线交 BA 的延长线于 F，BAD=CAD=F=ACF=60ACF 是等边三角形。AF=CF=2，BF=3+2=5 ADCFB即 ， 2356法三：过 B 作 AC 的平行线，交 AD 的延长线于 P新课标第一网（）-中小学教学资源共享平台新课标第
9、一网-免费课件、教案、试题下载则BAP=CAD=P=60ABP 为等边三角形设 AD=x则 DP=3x，BP=3又BPDCAD BPACD即 32x ， 即65例 7. 已 知 ： 中 ， ， ， ， 求 的 长 。ABC=6AC3AB0分析：此题没有给出图形，自己画图时，便要考虑它的特点，题中给出了三角形的两边长及一条边的对角，因此需要分两种情况讨论，分别求解。解：如下两图，作 CDAB 于 D，在 RtACD 中 ，A=30C63 DAsin12又 BC=6，BCCD点 D 落在 AB 边上，或点 D 落在 AB 的延长线上（1）当 D 落在 AB 边上时，在 RtACD 中， ，AC30
10、63 2 D29在 RtBCD 中BC23AB=AD+DB=9+3=12新课标第一网（）-中小学教学资源共享平台新课标第一网-免费课件、教案、试题下载（2）当点 D 落在 AB 的延长线上时，AD=9，BD=3 AB936AB 的长为 12 或 6。一、填空：1. 等腰三角形的两条边长分别为 2cm 和 5cm，则该等腰三角形的周长为_。2. 一个三角形三边的长分别为 8，10，x，则 x 的取值范围是_。3. 如图，ABC 中，AB=AC，ADBC 于 D，AE=AF，则图中全等三角形共有_对。4. 已知，在ABC 中，C=80，AB=20，则B 的度数是_。二、解答题：5. 已知：如图，A
11、BC 中，点 E，F 分别在 AB，AC 边上，点 D 是 BC 边中点，且 EFBC，DE=DF，求证：AB=AC。6. 如图，在ABC 中，已知 AB=AC，BAC=90，D 是 BC 上一点，ECBC，EC=BD，DF=FE，求证：（1）ABDACE；（2）AFDE。7. 如图，在 RtABC 中，C=90，M 是 AB 中点，AM=AN，MNAC，求证：MN=AC。新课标第一网（）-中小学教学资源共享平台新课标第一网-免费课件、教案、试题下载8. 如图，ABC 中，ADBC 于 D，B=60，C=45，BC ，求 。3SABC9. 已知：如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=B
12、C，D 为 BC 的中点，CEAD，垂足为点 E，BFAC交 CE 的延长线于点 F，求证：AB 垂直平分 DF。新课标第一网（）-中小学教学资源共享平台新课标第一网-免费课件、教案、试题下载参考答案一、填空题1. 12cm2. 2x183. 44. 40二、解答题：5. 证明：DE=DF，1=3EFBC，1=2，3=42=4在DBE 和DCF 中，DBCEF 24DBEDCFB=C，AB=AC6. （1）AB=AC，ABC=ACB又BAC=90，B=ACB=45又 ECBC，ECB=90，ECA=45又 BD=CE，ABDACE（2）ABDACE，AD=AE又 DF=FE，AFDE7. 连结
13、 CM，C=90，M 是 AB 的中点，AM=MB=MC，1=2MNAC，2=3新课标第一网（）-中小学教学资源共享平台新课标第一网-免费课件、教案、试题下载AM=AN，3=N，1=2=3=N又4=1803N在ABC 中，1+2+5=1805=18012=1803N5=4，AMNMAC，MN=AC。8. 设 AD=x，AD=DC=xBD ，B=603x tan()BADxx3231， 。SCAB 12949. 证明：（简证）CAD+CDE=90CDE+DCE=90，CAD=BCFBFAC，CBF=180ACB=90ACD=CBF，AC=BC，ACDCBFCD=BF，BD=BF，BDF 为等腰三角形，DBA=CAB=45，ABF=CAB=DBA=45AB 垂直平分 DF。
