1、教师寄语：如果想要看得更远，那就需要站在巨人的肩膀上！1向量的线性运算知识点：1向量的有关概念名称 定义 备注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)如 a， AB 零向量 长度等于零的向量；其方向不确定 记作 0单位向量给定一个非零向量 a，与 a 同向且模为1 的向量，叫做向量 a 的单位向量，可记作 a0.a0a|a|共线( 平行) 向量如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行向量 a 与 b平行记作 ab相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量如 aAB 相反向量与向量 a 反向且等长的向量，叫做 a 的相反向量记作a2.向量的线性运算向量运算
2、定义 法则( 或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba；(2)结合律： (a b) c a( b c)减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 三角形法则a ba( b)数乘求实数 与向量 a的积的运算(1)|a|a|；(2)当 0 时， a 的方向与a 的方向 相同；当 0 时，(a)() a；() aaa；(ab) a b教师寄语：如果想要看得更远，那就需要站在巨人的肩膀上！2a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时， a03. 平行向量基本定理如果 ab，则 ab；反之，如果 ab，且 b0，则一定存在唯一一个实数 ，使 ab.课堂练习：
3、2 (2012四川)设 a、b 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是( )a|a| b|b|Aab BabCa2b Dab 且|a| b|解析 表示案 C 与 a 同向的单位向量， 表示与 b 同向的单位向量，只要 a 与 b 同向，就a|a| b|b|有 ，观察选项易知 C 满足题意a|a| b|b|3 已知 O 是ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边的中点，且 2 0，那么OA OB OC ( )A. B. 2AO OD AO OD C. 3 D2 AO OD AO OD 解析 由 2 0 可知，O 是底边 BC 上的中线 AD 的中点，故 .OA OB OC AO OD
4、 4 已知 D 为三角形 ABC 边 BC 的中点，点 P 满足 0， ，则实数 的值为PA BP CP AP PD _解析 如图所示，由 ，且 0，则 P 是以 AB、AC 为邻AP PD PA BP CP 边的平行四边形的第四个顶点，因此 2 ，则 2.AP PD 5 设 a、b 是两个不共线向量， 2apb， ab， a2b，AB BC CD 若 A、B、D 三点共线，则实数 p 的值为_解析 2ab，又 A、B、D 三点共线，BD BC CD 存在实数 ，使 .即 Error!，p1.AB BD 典型例题：平面向量的概念辨析教师寄语：如果想要看得更远，那就需要站在巨人的肩膀上！3例 1
5、 给出下列命题：若|a| |b|，则 ab；若 A，B ，C，D 是不共线的四点，则 是四边形 ABCD 为平行AB DC 四边形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a| b|且 ab.其中正确命题的序号是_解析 不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确 ，| | |且 ，AB DC AB DC AB DC 又A，B ，C ，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则 且| | |，因此， .故“ ”是“四边形 ABCD 为平行AB DC AB DC AB DC AB DC 四边形”的充要条件正确ab，a，b
6、 的长度相等且方向相同；又 bc，b，c 的长度相等且方向相同，a，c 的长度相等且方向相同，故 ac.不正确当 ab 且方向相反时，即使|a| |b|，也不能得到 ab，故“| a|b| 且 ab”不是“ab”的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈(4)非零向量 a 与 的关系： 是 a 方向上的单位向量a|a| a|a|平面向量的线性运算例 2 (1)如图，正方形 ABCD 中
7、，点 E 是DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三等分点，那么 等于 ( )EF A. B. 12AB 13AD 14AB 12AD C. D. 13AB 12DA 12AB 23AD (2)在ABC 中， c， b，若点 D 满足 2 ，则 等于( )AB AC BD DC AD A. b c B. c b23 13 53 23教师寄语：如果想要看得更远，那就需要站在巨人的肩膀上！4C. b c D. b c23 13 13 23思维启迪 结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减法运算的关键解析 (1)在CEF 中，有 .EF EC CF 因为点 E 为 DC 的中点
8、，所以 .EC 12DC 因为点 F 为 BC 的一个三等分点，所以 .CF 23CB 所以 EF 12DC 23CB 12AB 23DA ，故选 D.12AB 23AD (2) 2 ， 2 2( )，BD DC AD AB BD DC AC AD 3 2 ，AD AC AB b c.AD 23AC 13AB 23 13思维升华 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置； 寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果共线向量定理及应用例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线，(1
9、)若 ab， 2a8b， 3(ab)，求证：A、B、D 三点共线；AB BC CD (2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线思维启迪 解决点共线或向量共线的问题，要结合向量共线定理进行(1)证明 ab， 2a8b， 3(ab)，AB BC CD 2a8b3(ab)BD BC CD 2a8b3a3b5(ab)5 .AB 、 共线，又它们有公共点 B，AB BD 教师寄语：如果想要看得更远，那就需要站在巨人的肩膀上！5A、B、D 三点共线(2)解 kab 与 akb 共线，存在实数 ，使 kab(a k b)，即 kabakb.(k )a( k1) b.a、b 是不共线的两个非零向量，k
10、k10，k 21 0.k 1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量 a、b 共线是指存在不全为零的实数 1， 2，使 1a 2b0 成立，若 1a 2b0，当且仅当 1 20 时成立，否则向量 a、b 不共线方程思想在平面向量的线性运算中的应用例 4：(12 分) 如图所示，在ABO 中， ， ，AD 与OC 14OA OD 12OB BC 相交于点 M，设 a， b.试用 a 和 b 表示向量 .OA OB OM 思维启迪 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽
11、可能地转化到平行四边形或三角形中去(2)既然 能用 a、b 表示，那我们不妨设出 m anb.OM OM (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解规范解答解 设 manb，OM 则 manba(m 1)anb.AM OM OA a b. 3 分AD OD OA 12OB OA 12又A、M 、D 三点共线， 与 共线AM AD 存在实数 t，使得 t ，AM AD 即(m1) anb t . 5 分( a 12b)(m1) anb ta tb.12Error! ，消去 t 得，m12n，教师寄语：如果想要看得更远，那就需要站在巨人的肩膀上！6即 m2n1. 7 分又 manb a anb，
12、CM OM OC 14 (m 14) b a ab.CB OB OC 14 14又C、M、B 三点共线， 与 共线 10 分CM CB 存在实数 t1，使得 t 1 ，CM CB anbt 1 ，(m 14) ( 14a b)Error! ，消去 t1 得，4mn1. 由得 m ，n ， a b. 12 分17 37 OM 17 37温馨提醒 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度 (2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结
13、合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧如本题易忽视A、M 、D 三点共线和 B、M 、C 三点共线这个几何特征 (4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.方法与技巧1向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点” ；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量” ；平行四边形法则要素是“起点重合” 2可以运用向量共线证明线段平行或三点共线如 且 AB 与 CD 不共线，则 ABCD；若AB CD ，则 A、B、C 三点共线AB BC 失误与防范1解决向量的概念问题要注
14、意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性课后训练一、选择题教师寄语：如果想要看得更远，那就需要站在巨人的肩膀上！71 下列命题中正确的是 ( )Aa 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行答案 C解析 由于零向量与任一向量都共线，所以 A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以 B 不正确；
15、向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以 D 不正确；对于 C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设 a 与 b 不都是非零向量，即 a 与 b 中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知 a 与 b 共线，符合已知条件，所以有向量 a 与b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量，故选 C.2 已知 a2b， 5a6b， 7a2b，则下列一定共线的三点是( )AB BC CD AA、B 、C BA、B 、DCB、C、D DA、C、D答案 B解析 2a4b2 A、B、 D 三点共线BD BC CD AB BD AB 3 已知 ABC 和点 M 满足
16、 0，若存在实数 m 使得 m 成立，则 m 等MA MB MC AB AC AM 于 ( )A2 B3 C4 D5答案 B解析 由已知条件得 .MB MC MA 如图，因此延长 AM 交 BC 于 D 点，则 D 为 BC 的中点延长 BM 交 AC于 E 点，延长 CM 交 AB 于 F 点，同理可证 E、F 分别为 AC、AB 的中点，即 M 为ABC 的重心 ( )，即 3 ，则 m3.AM 23AD 13AB AC AB AC AM 4 已知点 O 为ABC 外接圆的圆心，且 0，则ABC 的内角 A 等于( )OA OB OC A30 B60 C90 D120答案 B教师寄语：如果
17、想要看得更远，那就需要站在巨人的肩膀上！8解析 由 0，知点 O 为ABC 的重心，OA OB OC 又 O 为ABC 外接圆的圆心，ABC 为等边三角形，A60.5 在ABC 中，AB2，BC3，ABC60，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的中点，若 AO ，则 等于 ( )AB BC A1 B. C. D.12 13 23答案 D解析 ，AD AB BD AB 13BC 2 ，即 .AO AB 13BC AO 12AB 16BC 故 .12 16 23二、填空题6 设向量 e1，e 2 不共线， 3(e 1e 2)， e 2e 1， 2e 1e 2，给出下列结论：A，B，CAB C
18、B CD 共线；A，B，D 共线； B，C，D 共线；A，C，D 共线，其中所有正确结论的序号为_答案 解析 4e 12 e2， 3e 1，AC AB CB BD CD CB 由向量共线的充要条件 ba(a0) 可得 A，C，D 共线，而其他 无解7 在 ABCD 中， a， b， 3 ，M 为 BC 的中点，则 _.(用 a，b 表AB AD AN NC MN 示)答案 a b14 14解析 由 3 得 (ab)，AN NC AN 34AC 34a b，所以 AM 12 MN AN AM (ab) a b.34 (a 12b) 14 14教师寄语：如果想要看得更远，那就需要站在巨人的肩膀上！
19、98 在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 2 ， ，则 _.AD DB CD 13CA CB 答案 23解析 由图知 ，CD CA AD ，CD CB BD 且 2 0.AD BD 2 得：3 2 ，CD CA CB ， .CD 13CA 23CB 23三、解答题9 已知向量 a2e 13e 2，b2e 13e 2，其中 e1、e 2 不共线，向量 c2e 19e 2.问是否存在这样的实数 、，使向量 dab 与 c 共线？解 d(2e 13e 2) (2e13e 2)(22 )e1(33)e 2，要使 d 与 c 共线，则应有实数 k，使 dk c，即(22 )e1(33)e 2
20、2ke 19k e2，即Error! 得 2.故存在这样的实数 、，只要 2，就能使 d 与 c 共线10. 如图所示，在ABC 中，D、F 分别是 BC、AC 的中点， AE ， a， b.23AD AB AC (1)用 a、b 表示向量 ， ， ， ， ；AD AE AF BE BF (2)求证：B，E，F 三点共线(1)解 延长 AD 到 G，使 ，AD 12AG 连接 BG，CG，得到ABGC，所以 ab，AG (ab)，AD 12AG 12 (ab)， b，AE 23AD 13 AF 12AC 12教师寄语：如果想要看得更远，那就需要站在巨人的肩膀上！10 (ab) a (b2a)BE AE AB 13 13 ba (b2a)BF AF AB 12 12(2)证明 由(1)可知 ，BE 23BF 因为有公共点 B，所以 B，E，F 三点共线
