1、第 1 页 共 10 页蚂蚁爬行的最短路径正方体4如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的 B 点处，它爬行的最短路线是（ ）AAPB BAQ B CARB DASB解：根据两点之间线段最短可知选 A故选 A2. 如图，边长为 1 的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段 AB 即为最短路线AB= 5128. 正方体盒子的棱长为 2，BC 的中点为 M，一只蚂蚁从 A 点爬行到 M 点的最短距离为 . 解：将正方体展开，连接 M、D1，根据两点之间线段最短，MD=MC+CD=1
2、+2=3，第 6 题第 7 题第 2 页 共 10 页AB1 21MD1= 13221DM5如图，点 A 的正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为 2，一蚂蚁从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是（ ）解：如图，AB= 故选 C10219如图所示一棱长为 3cm 的正方体，把所有的面均分成 33 个小正方形其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下底面点 A 沿表面爬行至侧面的 B 点，最少要用 2.5 秒钟解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线（1）展开前面右面由勾股定理得 AB= = cm；（2）展开
3、底面右面由勾股定理得 AB= =5cm；所以最短路径长为 5cm，用时最少：52=2.5 秒长方体10 （2009 恩施州）如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是 。解：将长方体展开，连接 A、 B，根据两点之间线段最短，AB= =25第 3 页 共 10 页A BA1 B1D CD1 C121411. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处（三条棱长如图所示） ，问怎样走路线最短？最短路线长为 .解：正面和上面沿 A1B1 展开如图，连接
4、 AC1，ABC 1 是直角三角形，AC1= 5342422 C18（2011 荆州）如图，长方体的底面边长分别为 2cm 和 4cm，高为 5cm若一只蚂蚁从P 点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm解：PA=2（4+2）=12，QA=5PQ=13故答案为：1319如图，一块长方体砖宽 AN=5cm，长 ND=10cm，CD 上的点 B 距地面的高 BD=8cm，地面上 A 处的一只蚂蚁到 B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？解：如图 1，在砖的侧面展开图 2 上，连接 AB，第 4 页 共 10 页则 AB 的长即为 A 处到 B 处的最短路程解：在
5、RtABD 中，因为 AD=AN+ND=5+10=15， BD=8，所以 AB2=AD2+BD2=152+82=289=172所以 AB=17cm故蚂蚁爬行的最短路径为 17cm49、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别 12cm ,8cm,30cm.(1)在 AB 中点 C 处有一滴蜜糖，一只小虫从 D 处爬到 C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?12如图所示：有一个长、宽都是 2 米，高为 3 米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从 A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。解：由题意得，路径一：AB= = ；路径二：AB=
6、 =5；路径三：AB= = ； 5，5 米为最短路径13如图，直四棱柱侧棱长为 4cm，底面是长为 5cm 宽为 3cm 的长方形一只蚂蚁从顶点A 出发沿棱柱的表面爬到顶点 B求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程ABCD .12830第 5 页 共 10 页解：（1）AB 的长就为最短路线然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为 （cm） ；若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为 （cm） ，或 （cm）所以蚂蚁经过的最短路程是 cm（2） 5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，最长路程是 30cm15如图，长方体的
7、长、宽、高分别为 6cm，8cm，4cm一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点 B则蚂蚁爬行的最短路径的长是 。解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是 12cm 和 6cm，则所走的最短线段是 =6 cm；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是 10cm 和 8cm，所以走的最短线段是 = cm；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是 14cm 和 4cm，所以走的最短线段是 =2 cm；三种情况比较而言，第二种情况最短51圆柱形坡璃容器，高 18cm，底面周长为 60cm，
8、在外侧距下底 1cm 点 S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处 1cm 的点 F 处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度。16如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20cm、3cm、2cmA 和 B 是这个台阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短路程为 cm第 6 页 共 10 页解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 20cm，宽为（2+3）3cm，则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为 xcm，由勾股定理得：x 2
9、=202+（2+3）3 2=252，解得 x=25故答案为 2517如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 5cm，3cm 和 1cm，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点，最短线路是 cm。解：将台阶展开，如下图，因为 AC=33+13=12，BC=5，所以 AB2=AC2+BC2=169，所以 AB=13（ cm） ，所以蚂蚁爬行的最短线路为 13cm答：蚂蚁爬行的最短线路为 13cm圆柱21有一圆柱体如图，高 4cm，底面半径 5cm，A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到
10、C 处，求蚂蚁爬行的最短距离 .解：AC 的长就是蚂蚁爬行的最短距离C，D 分别是 BE，AF 的中点AF=25=10AD=5AC= 16cm2A故答案为：16cm第 2 题第 7 页 共 10 页AB51222有一圆形油罐底面圆的周长为 24m，高为 6m，一只老鼠从距底面 1m 的 A 处爬行到对角 B 处吃食物，它爬行的最短路线长为 . 解：AB= m132523如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高 AA1 的端点 A 到达 A1，若圆柱底面半径为，高为 5，则蚂蚁爬行的最短距离为 6解：因为圆柱底面圆的周长为 2 =12，高为 5，6所以将侧面展开为一长为 12，宽为 5 的矩形，根据
11、勾股定理，对角线长为 =13故蚂蚁爬行的最短距离为 1324如图，一圆柱体的底面周长为 24cm，高 AB 为 9cm，BC 是上底面的直径一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，则蚂蚁爬行的最短路程是 解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为 24cm，则 AD=24 =12cm21又因为 CD=AB=9cm，所以 AC= =15cm故蚂蚁从点 A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 C 的最短路程是 15cm故答案为：1525（2006 荆州）有一圆柱体高为 10cm，底面圆的半径为 4cm，AA 1，BB 1 为相对的两条母线在 AA1 上有一个蜘蛛 Q，QA=3cm；在 BB1 上有
12、一只苍蝇 P，PB 1=2cm，蜘蛛沿圆第 3 题第 8 页 共 10 页柱体侧面爬到 P 点吃苍蝇，最短的路径是 cm（结果用带 和根号的式子表示）解：QA=3 ，PB 1=2，即可把 PQ 放到一个直角边是 4 和 5 的直角三角形中，根据勾股定理得：QP= 最短路线问题通常是以“平面内连结两点的线中,线段最短” 为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中,常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.下面简单谈一下初中数学中遇到的最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确
13、定最短距离及路径图。.求三点距离相等时，一点到两点的距离最短设计方案例1为改善白银市民吃水质量，市政府决定从新建的 A 水厂向 B、C 供水站供水。已知 A、B、C之间的距离相等，为了节约成本降低造价，请你设计一种最优方案，使铺设的输水管道最短，在图中用实线画出你所设计方案的线路图。解析：可根据三点所构成的三角形形状及三线合一的性质，可求最短路线及设计图。（1） 可设计 AB+AC 路径；（2） 可设计 AD+BD+CD 路径；（3） 可设计 AE+EB+EC 路径。通过计算比较验证等确定最优化的设计方案为（3）。求一点，使它与其余两点之和最小的方案设计例2为了改善农民生活水平，提高生产，如图
14、，A、B 是两个农场，直线 m 是一条小河，现准备在河岸某处修建一提灌点，准备给两农场浇水，如何修建，使得提灌点与两农场的距离之和最小，请你在图中画出设计方案图。解析：两点之间线段最短，可利用轴对称性质，从而可将求两条线段之和的最小值问题转化为求一条线段长的问题。第 9 页 共 10 页应用：已知三角形 ABC 中，A20度，ABAC20cm，M、N 分别为 AB、AC 上两点，求 BNMNMC 的最小值。求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计例3已知圆形花坛以及花坛外一居民区，要在花坛与居民区之间修建一条小道在圆形花坛上选择一点，使其与居民区之间的距离最小。解析：在此问题中可根据圆上最
15、远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。应用:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？关于立体图形表面的最短路径问题,又称“绕线问题”是几何中很富趣味性的一类向题.它牵涉的知识面广,沟通了平面几何、立体几何以及平面三角的联系,能训练学生的空间想象能力。而且,也很富有技巧性.在此讨论几个问题,仅供参考。在圆柱中，可将其侧面展开求出最短路程。在长方体（正方体）中，求最短路程例5在长方体盒子的 A 点有一昆虫，在 B 点有它最喜欢吃的食物，沿盒子表面爬行，如何爬行使得所爬路程最短，如果长方体的长、宽、高分别为 a、b、c.则最短路程为多少.解析：将其中含有一点的面展开，与含另一
16、点的面在同一平面内即可，主要可以分为三种情形：（1） 将右侧面展开与下底面在同一平面内，可得其路程为： s1=（2） 将前表面展开与上表面在同一平面内，可得其路程为：s 2=（3） 将上表面展开与左侧面在同一平面内，可得其路程为：s 3=然后比较 s1、s 2、s 3的大小，即可得到最短路程.应用：一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方体和蜘蛛相对的顶点 C1处。蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从 A 点爬到 C1点，它应沿着怎样的路线爬行，才能在最短的时间内捉住苍蝇？。在圆锥中，求最短路径问题例6在某杂技表演中，有一形似圆锥的道具，杂技演员从 A 点出发
17、，在其表面绕一周又回到 A 点，如果绕行所走的路程最短，画出设计方案图。第 10 页 共 10 页解析：将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案应用：如图，一直圆锥的母线长为 QA=8，底面圆的半径 r=2，若一只小蚂蚁从 A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到 A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是_（结果保留根式）路程最短问题在中学教学中是个难点，本文结合中学数学中常见的几类最短路程问题，用实例从知识的趣味性、实际生活中的应用等方面探讨了最短路线的简单应用。从中望能给学生培养空间想象能力及动手动脑探究数学问题的思想。学会“ 转化的思想” 的解决问题的方法，今后我们在数学教学与解决数学问题时，也应从这些方面去考虑，找出问题的实质，达到解决问题的目的。充分去体会数学中的有趣知识，从兴趣出发学到有用的数学。
