1、勾股定理的证明方法一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）左边的正方形是由1个边长为 的正方形和1个边长为 的正方形以及4个直角边分别为 、 ，斜边为 的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为 的正方形和4个直角边分别为 、 ，斜边为 的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都是 )，所以可以列出等式，化简得 。二、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）这个直角梯形是由2个直角边分别为 、 ，斜边为 的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式 ，化简得 。三、相似三角形的证法：4.相似三角形的方法：在学习了相似三角
2、形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三角形相似。如图，RtABC 中，ACB=90。作 CDAB，垂足为 D。则 BCDBAC ，CAD BAC 。 由BCDBAC 可得 BC2=BD BA， 由CADBAC 可得 AC2=AD AB。 我们发现，把、两式相加可得 CABDBC2+AC2=AB（AD+BD）， 而 AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，这就是 a2+b2=c2。 这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。四、古人的证法： 如图，将图中的四个直角三角形涂上深红色，把中间小正方形涂上白色，以弦
3、为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。 赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。 五、项明达证法：作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba ） ，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、 C 三点在一条直线上.过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 P.过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点F 作 FNPQ，垂足为 N. BCA = 90，QPBC ， MPC = 90， B
4、MPQ， BMP = 90， BCPM 是一个矩形，即MBC = 90. QBM + MBA = QBA =90 ， ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC，又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA.同理可证 RtQNF RtAEF.即 a2+b2=c2六、欧几里德射影定理证法 ：如图，Rt ABC 中，ABC=90，AD 是斜边 BC 上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下：1） （BD）2;=ADDC， （2） （AB）2;=ADAC ， （3） （BC）2;=CDAC 。由公式（2）+（3）得：（AB）2;+（B
5、C）2;=ADAC+CD AC =（AD+CD)AC=（AC）2;，即 （AB）2;+（BC）2;=（AC）2七、杨作玫证法：做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba ） ，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过 A 作AFAC ，AF 交 GT 于 F，AF 交 DT 于 R. 过 B 作 BPAF，垂足为 P. 过 D作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为 E，DE 交 AF 于 H. BAD = 90，PAC = 90， DAH = BAC.又 DHA = 90，BCA = 90，AD = AB = c， Rt DHA
6、Rt BCA. DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 RtAPB RtBCA. 即 PB = CA = b，AP= a，从而 PH = ba . Rt DGT RtBCA ,Rt DHA Rt BCA .98765432 1PQRTHGFEDCBAab cabccc Rt DGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA . 又 DGT = 90，DHF = 90，GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90 ， DGFH 是一个边长为 a 的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTG
7、F = ba . TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=ba ，下底 BP= b，高 FP=a +（b a）.用数字表示面积的编号（如图） ，则以 c 为边长的正方形的面积为543212SSc abb8 = b21，95， 82431SaS= 812S . 把代入，得 981212bc= 9 = 2a. 22ca.8、陈杰证法：设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ba） ，斜边的长为 c. 做两个边长分别为 a、 b 的正方形（ ba） ，把它们拼成如图所示形状，使 E、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在 EH = b 上截取 ED = a，连结 DA、DC，则
8、 AD = c. EM = EH + HM = b + a , ED = a， DM = EM ED = a = b.又 CMD = 90，CM = a，AED = 90， AE = b， Rt AED RtDMC. EAD = MDC ，DC = AD = c. ADE + ADC+ MDC =180，ADE + MDC = ADE + EAD = 90， ADC = 90. 作 ABDC，CB DA，则 ABCD 是一个边长为 c 的正方形. BAF + FAD = DAE + FAD = 90， BAF=DAE.连结 FB，在 ABF 和 ADE 中， AB =AD = c，AE = A
9、F = b，BAF= DAE， ABF ADE . AFB = AED = 90 ，BF = DE = a.ABCDEFGH Mabcabcac abc12 3456 7 点 B、F、G、H 在一条直线上 .在 Rt ABF 和 RtBCG 中， AB = BC = c ，BF = CG = a， Rt ABF RtBCG. 5432SS， 6212Sb， 732Sa， 7651， 6213ba= 72= 543SS=c 22ba.9、辛卜松证法：设直角三角形两直角边的长分别为 a、b，斜边的长为 c. 作边长是 a+b 的正方形 ABCD. 把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ba22；把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为 2214cab= 2. 22c, cba.ab2121ab21ab21c2b2aA AD DB BC Cbab abababaccc cbaababbaba
