1、含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程” 、 “化归与转化” 、 “数形结合” 、 “分类讨论 ”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ,有),0()(2Rxacbxxf 1） 对 恒成立0fR2） 对 恒成立)(xf .0a例 1已知函数
2、 的定义域为 R，求实数 的取值范围。)1(lg22xy a解：由题设可将问题转化为不等式 对 恒成立，即有0)1(2axx解得 所以实数 的取值范围为04)(2a3或。,31,若二次不等式中 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。x例 2设 ，当 时， 恒成立，求实数 的2)(2mf ),1xmxf)(m取值范围。解：设 ，则当 时， 恒成立xxF)(2 ),0)(F当 时， 显然成立；120)14即 (x当 时，如图， 恒成立的充要条件为：0(x解得 。12)(mF23综上可得实数 的取值范围为 。)1,3 O xyx-1二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法
3、，其一般类型有：1） 恒成立axf)( min)(xf2） 恒成立a例 3已知 ，当 时，xxgxxf 402)(,287)( 23 3,恒成立，求实数 的取值范围。)(gxf解：设 ，cxxxfF13)(2则由题可知 对任意 恒成立0)(,令 ，得126)(2 xx 2x或而 ,)(,71aFa ,9)3(,45)3(aF 045)(max 即实数 的取值范围为 。),例 4函数 ，若对任意 ， 恒成立，,12)(xaxf ),1x0(xf求实数 的取值范围。a解：若对任意 ， 恒成立，),1x0(f即对 ， 恒成立，,2xaf考虑到不等式的分母 ，只需 在 时恒成立而得),1x02),1x
4、而抛物线 在 的最小值 得ag2)( ),03()minag3a注：本题还可将 变形为 ，讨论其单调性从而求出 最小)(xf 2)(xaf )(xf值。三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1） 恒成立为 参 数 ）agxf)(max)(fg2） 恒成立为 参 数 ）实际上，上题就可利用此法解决。略解： 在 时恒成立，只要 在02ax),1x xa2时恒成立。而易求得二次函数 在 上的最大值为),1x xxh2(),1，所以 。 33例 5已知函数
5、 时 恒成立，求实数 的取4,0(,4)(2xaxf 0)(f a值范围。解： 将问题转化为 对 恒成立。2,(令 ，则xg24)(min)xga由 可知 在 上为减函数，故1)(2)(4,004mingx 即 的取值范围为 。a)0,(注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例 6对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范1,a 024)(2axax围。分析：题中的不等式是关于 的一元二次不等式，但若把 看成主元，则问题可转化为一次不等式 在 上恒成立的问题。)
6、2(xx 1,解：令 ，则原问题转化为 恒成立（4)(af 0)(af） 。1,a当 时，可得 ，不合题意。2x0)(f当 时，应有 解之得 。)1(f 31x或故 的取值范围为 。x),3()1,(注：一般地，一次函数 在 上恒有 的充)0(kbxf ,0)(xf要条件为 。0)(f五、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微” ，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1） 函数 图象恒在函数 图象上方；)(xgf )(xf )(xg2） 函数 图象恒在函数 图象下上方。例 7设 , ,若恒有xxf4)(2 ax134)(成立,求实数 的取值范围. )(gfa分析：在同一直角坐标系中作出 及 的图象如图所示，)(xfg的图象是半圆 的图象是平行的直)(xf 04)2(yx线系 。要使 恒成立，则圆心 到034ay)(xf)0,2(直线 的距离满足 解得x 538ad（舍去)35a或由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变” ，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。x-2-4yO-4
