1、第六讲 平面直角坐标系一、课标下复习指南1平面直角坐标系平面内有公共原点并且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系在平面直角坐标系内，对于平面内任意一点，都有一对有序实数和它对应；反过来，对于任意一对有序实数，在坐标平面内都有一个确定的点和它对应2各象限内点的坐标的符号特征两条坐标轴把平面分成四部分，每一部分叫做一个象限，坐标轴上的点不属于任何象限若 P(a，b)在第一象限，则 a0，b0；若 P(a，b)在第二象限，则 a0，b0；若P(a， b)在第三象限，则 a0 ，b0；若 P(a，b)在第四象限，则 a0，b0反过来，也成立3特殊点的坐标(1)x 轴上的点 P 纵坐标为 0；y 轴上
2、的点 Q 横坐标为 0，P 点坐标可表示为 P(x，0) ，Q 点坐标可表示为 Q(0，y)(2)一、三象限角平分线上的点 P 的横、纵坐标相等，即点 P 的坐标可表示为 P(x，x)；二、四象限角平分线上的点 Q 横、纵坐标互为相反数，即点 Q 的坐标可表示为 Q(x，x) ；(3)平行于 x 轴的直线上的点纵坐标相等；平行于 y 轴的直线上的点横坐标相等；(4)关于 x 轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的点横坐标、纵坐标均互为相反数，即点 P(x，y )关于 x轴对称的点 P1 的坐标为 P1(x，y)，关于 y 轴对称
3、的点 P2 的坐标为 P2(x ，y)，关于原点对称的点 P3 的坐标为 P3(x，y)4距离(1)点 P(a，b)到 x 轴的距离为| b|，到 y 轴的距离为| a|，到原点的距离为 .2ba(2)若 x 轴上两点 A(a，0) ，B (b，0)，则 AB|ab|，若 y 轴上两点 C(0，m )，D(0，n) ，则 CD |mn|(3)平行于坐标轴的直线上两点间的距离平行于 x 轴的直线上两点间的距离为横坐标之差的绝对值；平行于 y 轴的直线上两点间的距离为纵坐标之差的绝对值(4)平 面 直 角 坐 标 系 内 任 意 两 点 A(x1， y1)， B(x2， y2)之 间 的 距 离
4、为2121)()(xAB(构造直角三角形，用勾股定理求) 5坐标方法的简单运用(1)用坐标表示地理位置物体的位置是相对的，描述一个物体所处的位置时，必须以某一个物体为参照物，来叙述它与参照物的方向和距离，建立坐标系是关键，用点的坐标表示位置是基本方法(2)用坐标表示平移平面直角坐标系内，把一个图形各点的横坐标都加(或减去) 一个正数 a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移 a 个单位长度；如果把一个图形各点的纵坐标都加 (或减去)一个正数 b，相应的新图形就是把原图形向上(或向下) 平移 b 个单位长度图形的平移问题可以通过点的平移来解决(3)掌握轴对称和中心对称的点的坐标之间的特点6
5、数形结合思想是本单元解决问题的有效方法二、例题分析例 1 已知点 A(a，5) ，B(8，b)，根据下列要求确定 a， b 的值；(1)A，B 两点关于 y 轴对称；(2)A，B 两点关于原点对称；(3)ABx 轴；(4)A，B 两点都在一、三象限的角平分线上解 (1)点 A(a，5)，B(8 ，b) 两点关于 y 轴对称，则 a8 且 b5(2)点 A(a，5)，B(8 ，b)两点关于原点对称，则 a8 且 b5(3)ABx 轴，则 a8 且 b5(4)A，B 两点都在一、三象限的角平分线上，则 a5 且 b8说明 运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键例 2 已知点 A 的坐标为( 2
6、，1) (1)如果 B 为 x 轴上一点，且 ，求 B 点的坐标；10(2)如果 C 为 y 轴上的一点，并且 C 到原点的距离为 3，求线段 AC 的长；(3)如果 D 为函数 y2x 1 图象上一点，AD ，求 D 点的坐标5解 (1)设 B(x，0) ，由勾股定理得 AB 解得10)()2(2xx15，x 21经检验 x1 5，x 21 均为原方程的解B 点的坐标为(5，0) 或(1，0)(2)设 C(0，y)，OC3，C 点的坐标为(0，3) 或(0， 3)由勾股定理得 ；或22)3()A5.2AC(3)设 D(x，2x 1)， ，由勾股定理得 解得5 .5)1()(x，x 2 1经检
7、验， ，x 21 均为原方程的解511D 点的坐标为 或(1，3)53,说明 由坐标求距离时，答案唯一；由距离求坐标时，注意分类讨论例 3 已知某一函数图象如图 61 所示图 61(1)求自变量 x 的取值范围和函数 y 的取值范围；(2)求当 x0 时，y 的对应值；(3)求当 y0 时，x 的对应值；(4)当 x 为何值时，函数值最大；(5)当 x 为何值时，函数值最小；(6)当 y 随 x 的增大而增大时，求 x 的取值范围；(7)当 y 随 x 的增大而减小时，求 x 的取值范围解 (1)x 的取值范围是4x4，y 的取值范围是2 y4；(2)当 x0 时，y3；(3)当 y0 时，x
8、3 或1 或 4；(4)当 x1 时，y 的最大值为 4；(5)当 x2 时，y 的最小值为2；(6)当2x1 时，y 随 x 的增大而增大；(7)当4x2 或 1x4 时，y 随 x 的增大而减小说明 本题主要是培养学生的识图能力例 4 如图 62，ABC 中，A，B，C 三点的坐标分别为 A(2，3)，B(3，1) ，C(1，2) 图 62(1)将ABC 向右平移 4 个单位长度，画出平移后的A 1B1C1；(2)画出ABC 关于 x 轴对称的 A 2B2C2；(3)将ABC 绕原点 O 旋转 180，画出旋转后的A 3B3C3；(4)在A 1B1C1、 A 2B2C2、A 3B3C3 中
9、，_与_成轴对称，对称轴是_；_与_成中心对称，对称中心的坐标是_解 (1)、(2)、(3) 图略；(4)A2B2C2，A 3B3C3，y 轴，A 3B3C3，A 1B1C1，(2，0)说明 正确地进行图形的平移和旋转是关键，轴对称、对称轴、中心对称、对称中心是解题时用到的主要概念例 5 如图 63，ABC 的顶点坐标分别为 A(4，3)，B(0，3)，C(2，1) ，如将 B 点向右平移 2 个单位后再向上平移 4 个单位到达 B1 点，若设ABC 的面积为 S1,AB1C 的面积为 S2，则 S1，S 2 的大小关系为( )图 63AS 1S 2BS 1S 2C S1S 2D不能确定解 选
10、 B说明 点 B 的平移是关键，平移后 ABCB 1，两个三角形等底等高三、课标下新题展示例 6 (1)如图 64，在平面直角坐标系 xOy 中，B 1(0，1)，B 2(0，3)，B 3(0，6) ，B4(0，10) ， ，以 B1B2 为对角线作第一个正方形 A1B1C1B2，以 B2B3 为对角线作第二个正方形 A2B2C2B3，以 B3B4 为对角线作第三个正方形 A3B3C3B4，如果所作正方形的对角线BnBn1 都在 y 轴上，且 BnBn 1 的长度依次增加 1 个单位，顶点 An都在第一象限内( n1，且 n 为整数)，那么 A1 的纵坐标为 _，用 n 的代数式表示 An的纵
11、坐标为_；图 64(2)若设 An的坐标为(x ，y)，求 y 关于 x 的函数关系式解 (1) 21,(2)A1 的横坐标等于 ，2BA2 的横坐标等于 ，32A3 的横坐标等于 ，4A4 的横坐标等于 ，25BA n的横坐标等于 ，纵坐标等于1n2)1(n ,21,yxn12x，代入消去 n1，得 y2x 2y 关于 x 的解析式为 y2x 2，说明点 A1，A 2，A 3，A 4， ，A n都在抛物线 y2x 2上如图 65 所示图 65四、课标考试达标题(一)选择题1若点 P(m，1) 在第二象限内，则点 Q(m ，0)在( )Ax 轴正半轴上 Bx 轴负半轴上C y 轴正半轴上 Dy
12、 轴负半轴上2若点 P(2m1，3) 在第二象限，则 m 的取值范围是( )A B 21C D2 3对任意实数 x，点 P(x，x 22x )一定不在( )A第一象限 B第二象限C 第三象限 D第四象限4如图 66，小明从点 O 出发，先向西走 40 米，再向南走 30 米到达点 M，如果点 M 的位置用(40，30)表示，那么(10，20) 表示的位置是( )图 66A点 A B点 BC 点 C D点 D5在平面直角坐标系中，若点 A、点 B 的坐标分别为 A(1，2) ，B(1，2)，则点 A 与点 B的关系是( )A关于 x 轴对称B关于 y 轴对称C 关于原点对称D将点 A 向 x 轴
13、负方向平移一个单位得点 B6如图 67，矩形 ABCD 的中心为 O，将直角三角板的直角顶点与 O 点重合，转动三角板使两直角边始终与 BC，AB 相交，交点分别为 M，N若AB4，AD 6，OMx ，ON y，则 y 与 x 的关系是( )图 67A Bxy32 xyC y x D 23(二)填空题7若 m 为整数，且点(124m，143m)在第二象限，则 m22009_8在直角坐标系 xOy 中，若点 P(4，y)在第一象限内，且 OP 与 x 轴正半轴的夹角为 60，则 y 的值是_9在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(1，1) ，点 B 的坐标为 (11，1)，点 C 到直线 AB
14、的距离为 4，且ABC 是直角三角形，则满足条件的点 C 有 _个10在平面直角坐标系中，有 A(0，1) ，B(1，0)，C(1， 0)三点若点 D 与 A，B，C 三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点 D 的坐标：_；并写出以所有符合条件的点 D 为顶点的多边形的面积 _(三)解答题11如图 68，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是(10，0) ，点 B 的坐标为(8，0)，点C，D 在以 OA 为直径的半圆 M 上，且四边形 OCDB 是平行四边形求点 C 的坐标图 6812已知点 M(x，y )在第三象限，它到两坐标轴的距离之和为 5，它到 x 轴的距离比到 y 轴的距离大 3
15、，求点 M 的坐标13已知ABC 的三个顶点坐标如下表：(x，y) (2x，2y)A(2，1) A(4，2)B(4，3) B ( ， )C(5，1) C( ， )(1)将下表补充完整，并在直角坐标系中，画出AB C：(2)观察ABC 与ABC，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论参考答案第六讲 平面直角坐标系1A 2C 3C 4B 5B 6D 72025 8 98.10点 D 的坐标(2，1)，( 2，1)，(0，1) ，.4113321 AS11C(1，3) 12M( 1，4) 13(1)(x，y) (2x，2y)A(2，1) A(4，2)B(4，3) B(8，6)C(5，1) C (10，2)(2)写出有关两三角形形状、大小、位置等关系即可如 ABCABC、周长比、相似比、位似比相等
