1、第2讲 合情推理与演绎推理随堂演练巩固1.下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,则这个数列的一个通项公式为( ) A. B. 13na 3naC. D. 2 12【答案】 A 【解析】 . 134927a归纳推理: . n2.“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故此奇数是3的倍数”,上述推理是( ) A.小前提错 B.结论错 C.正确的 D.大前提错 【答案】 C 【解析】 这是演绎推理的一般模式“三段论”.前提和推理形式都正确,因此结论也正确. 3.有一段演绎推理是这样的:“ 若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线; 已知直线b平面 直线 平面 则直线
2、b直线a”,结论显然是错误的 ,这是因为 ( ) aA.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 【答案】 A 【解析】 由演绎推理的三段论可知答案应为A. 4.观察下列各式: 2 401,则 的末两位数字为( ) 23749472017A.01 B.43 C.07 D.49 【答案】 B 【解析】 (方法一) 由题意得 由于 401末位为1,倒数第二位20152435023() 42为0,因此2 的末两位定为01.又 343, 的末两位定为43. 50214(方法二) 用归纳法: 16 117 374971 6807 7649543,由上知末两位有周期性且T=4. 83又
3、 的末两位与 的末两位一样,为43. 20152472015.在等差数列 中,若 则有等式 且na12a12na19(nN 成立.类比上述性质,相应地 ,在等比数列 中,若 则有等式 成立. ) b9【答案】 12b12nb17n【解析】 对于等差数列 ,若有 根据等差中项的知识,有n0k0,323nkknkkaaaa所以必有 1212n12(221)knknaN . ()此时有 即k=10. 10a . 212na12(nna18912)naa19n类似地:对于等比数列 ,若 由等比中项的知识,有bk= . 1 32nknkbbkb . 212n1(n21)n 9k=9. . 12b12nb
4、12(nb18212)nb17nb课后作业夯基基础巩固1.下列表述正确的是( ) 归纳推理是由部分到整体的推理; 归纳推理是由一般到一般的推理; 演绎推理是由一般到特殊的推理; 类比推理是由特殊到一般的推理; 类比推理是由特殊到特殊的推理. A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 归纳推理是由部分到整体的推理,演绎推理是由一般到特殊的推理,类比推理是由特殊到特殊的推理. 2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算 法则: “mn=nm”类比得到“a b=b a”; “(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b) c=a c+b c”; “ ”类比得到“（a b） c=a （b
5、c）”; ()mntt“ ”类比得到“p 0, a p=x p a=x”; 0x“| |=|m| |n|”类比得到“| a b |=|a| |b|”; “ ”类比得到“ ”. cbc以上式子中,类比得到的结论正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 B 【解析】 正确; 错误. 3.已知ABC中 ,求证:a|AB|, 则P 点的轨迹为椭圆 B.由 求出 猜想出数列的前n项和 的表达式 13na123S nSC.由圆 的面积 猜想出椭圆 的面积S= ab 22xyrr21yxabD.以上均不正确 【答案】 B 【解析】 从 猜想出数列的前n项和 是从特殊到一般的推理,所以B是
6、归纳推理. 123S nS6.如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当 时,其离心率为 此类椭圆被称为FA512“黄金椭圆”,类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线” 的离心率 e等于( ) A. B. 512512C. D. 【答案】 A 【解析】 B(0,b),F(-c,0),A(a,0). 在“黄金双曲线” 中, FB . 0 .而 2bac22a .在等号两边同除以 得 . 2ca2a51e7.观察下列等式:,321()313332(1)4(34) 根据上述规律,第四个等式为 . 【答案】 或 3 2455(1)【解析】 , 233()(所以 . 33 221214)5 8.在德国不来
7、梅举行的第48届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第1堆只有一层,就一个球; 第2、3、4、堆最底层(第一层)分别按如下图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以f(n)表示第 n堆的乒乓球总数,则f(3)= ;f(n)= (答案用n表示). 【答案】 10 (1)26n【解析】 f(1)=1, 由题图可得 f(2)=3+1=4 ()ff(3)=6+3+1=10 . 3(1)2f(4)=10+6+3+1=20 . 4f可知,下一堆的球的个数是上一堆球的个数加上其第一层的球的个数,而第一层的球的个数满足
8、1,3,6,10,其通项公式是 . (1)2nf(5)=f(4)+15 , 54)ff(n)=f . (1)n 2)3(1)f (1)2n 232n (1)(1)24n. 6 . (1)2)6nf9.观察下列等式: 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律,第五个等式应为 . 【答案】 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81 【解析】 观察等式左侧:第一行有 1个数是1,第二行是3个连续自然数的和,第一个数是2,第三行是5个连续自然数的和,第一个数是3,第四行是7个连续自然数的和,第一个数是4,第5行应该是连续9个自然数的和,第一
9、个数为5,第5行左侧:5+6+7+8+9+10+11+12+13;等式右侧:第一行1=1 第二行9=3 第三行25=5 第四行49=7 则第5行应为81=9 22222第五个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=81. 10.设等差数列 的前n项和为 则 成等差数列.类比以上结论anS48128162SS有:设等比数列 的前n项积为 则 , 成等比数列. bTT【答案】 84T12【解析】 对于等比数列,通过类比,可得 成等比数列. 81624T11.已知等式:sin + ; 252335cosincos; 2141sini;. 2306064ss由此可归纳出对任意角度 都成立的一
10、个等式,并予以证明. 【证明】 归纳已知可得: )+sin cos . 2sin2cos(3(3)证明如下: sin cos )+sin cos ) 00=sin cos sin sin cos sin 2(12)(21)=sin cos sin cos sin 33=sin . 242cos2in4等式成立. 12.已知椭圆具有性质:若M、 N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为 、 时,那么 与 之积是与点P的位置无关的定值.试MkNMkN对双曲线 写出具有类似特性的性质,并加以证明. 21yxab【解】 类似的性质为:若M、 N是双曲
11、线 上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上21yxab任意一点,当直线PM 、PN的斜率都存在,并记为 、 时,那么 与 之积是与点P的MkNMkN位置无关的定值. 证明:设点M、P的坐标分别为(m,n)、(x,y), 则N(-m,-n). 因为点M(m,n)在已知双曲线上 , 所以 .同理 . 22bnma2byxa则 定值). 2PMNnkxm22ba13.已知等差数列 的公差d=2,首项 . 15(1)求数列 的前n项和 ; anS(2)设 求 ; 并归纳出 与 的大小规律. (25)nT123452345TnST【解】 . (1)()S2n+3)-5, (nna . 24 221 3518439TT. 2245605()()1SS. 由此可知 当 时 . 1TnnT归纳猜想:当 N时 . 2拓展延伸14.设 N 计算f(1),f(2),f(3),f(4),f(10) 的值,同时作出归纳推理,并用()4fn=40验证猜想是否正确. 解: 213()17f34526f(5)6183f27497(8)f9. 21015f43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数, 归纳猜想:当 N 时 的值都为质数.n2()41fnn=40时 40+1)+2(4)00(f 41f(40)是合数 . 因此,由上面归纳推理得到的猜想不正确.
