1、例 1 某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能销售出 500 千克；销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润；（2）设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式（不必写出 x 的取值范围）；（3）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少？ 解 ：（1）当销售单价为每千克 55 元时，月销售量为： （千克），所以月销售利润为：（元）.
2、（2）当销售单价定为每千克 x 元时，月销售量为 千克，而每千克的销售利润是： 元，所以月销售利润为：y 与 x 的函数解析式为.（3）要使月销售利润达到 8000 元，即 ，则有，即 ，解得当销售单价定为每千克 60 元时，月销售量为： （千克），月销售成本为： （元）；当销售单价定为每千克 80 元时，月销售量为： （千克）月销售成本为： （元）；由于 ，而月销售成本不能超过 10000 元，所以销售单价应定为每千克 80 元.说明：本题是一道用二次函数知识解决的应用题这样的问题是中考的热点，一般题目较长，所以要仔细审题，弄清题目中的数量关系，根据需要列出方程或函数关系式数学思想之分类讨论
3、分类讨论是在题目部分条件缺失或不明确的情况下，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行一、代数（一）数、式1、若 x 的相反数为 3， 5，则 xy 的值为（ ） （D）（A）8 （B）2 （C）8 或2 （D）8 或 22、若 （C ）|,|,( )abab且 则A5 或1 B5 或 1; C5 或 1 D5 或13、已知x=4，y= ，且
4、 xy0，则 =_ （ 8）12xy4、已知 _ （ 1）|3,|,0,xyxy且 则5、若 a、b 在互为倒数，b、c 互为相反数，m 的绝对值为 1，则的值是_ （0 或2）2()m6、已知 的值为（ ） （B ）11|,|aa则.5 . .3 .51ABCD或7、化简 （102x 或 8 或 2x10）2|1|(9)x8、已知：数 3、6、x，三个数中的一个数是另两个数的比例中项，求 x （ ，12，23）23（二）函数、方程1、在同一坐标系中，正比例函数 与反比例函数 的图象的交点的个数是（ -3yxkyx） （A）A0 个或 2 个 Bl 个 C2 个 D3 个2、一次函数 y=kx
5、+b，当3xl 时，对应的 y 值为 ly9， 则 kb 值为（ ） （D）A14 B6 C4 或 21 D6 或 143、已知关于 x 的方程 m2x2（ 2m1）x10 有实数根，求 m 的取值范围 （m）41二、几何（一）锐角与钝角1、已知：ABC 中， A=40，AB、AC 边上的高所在直线相交于 H，求BHC(140或 40)2、等腰三角形面积是 2，腰长是 ，求底角的正切值 （2 或 ）513、在ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与直线 AC 相交所得的锐角为 50， 则底角B 的大小为_ （20 或 70）4、ABC 中，ABAC2， BD 为 AC 边上的高，BD ，AC
6、B 的度数是_ 3_ （30 0 或 600）5、ABC 中，AB=AC ，CH 是 AB 上高，CH= AB，BC= ，求（1）tgB；（2）50若正方形 DEFG 内接于ABC，使 D 在 AB 上，G 在 AC 上，E、F 在 BC 上，求正方形边长 （tgB=3 或 tgB= ； 或 ）3105716、在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=15，AD=8，CD=13，sinB= ，求 BC （22 或5412）（二）等腰三角形1、等腰三角形的两条边分别为 5cm，6cm，则周长为 cm （16 或 17）2、等腰三角形的一边长为 3cm，周长是 13cm，那么这个等腰三角形的腰长是（
7、）（A）A5cm B3cm C5cm 或 3cm D不确定3、若等腰三角形的一个内角为 50，则其他两个内角为（ ） （D）A50，80 B65， 65C50，65 D50，80或 65，654、等腰三角形的一个内角为 70，则其顶角为_ （70或 40）5、已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为 9 和 12 两部分，则腰长为，底边长为_ （6，8 或 9，5）6、已知：在平面直角坐标系中有两点 A（1，1） ，B（3，2） ，在 x 轴上找出点 C，使 ABC 为等腰三角形 （3，0） （5，0） （ +3， 0） （ ，0） ）817、直线 y= x+1 与 x 轴交于点 A，与 y
8、轴交于 B，求（1）BAO 的余弦值；（2）是否存在点 C，使ABC 是底角为 30的等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点 C坐标；若不存在，请说明理由 （1）cos BAO= ；（2） （ ，0）或（0，3） ）38、在等腰三角形中，如果有两条中线的长分别为 3 厘米和 3 厘米，那么这个等腰三角形的周长为 厘米 （8+2 或 2 +4 ）759、为了美化环境，计划在某小区内用 30m2的草皮铺设一块边长为 10m 的等腰三角形绿地，请你求出等腰三角形绿地的另两边 （当 10 为底边时，另两边为 ，61； 当 10 为腰且三角形为锐角三角形时，另两边为 10，2 ；当 10 为腰且三61
9、 10角形为钝角三角形时，另两边为 10，6 ）1010、在ABC 中，正方形 DEFG 的顶点 D、E 在 BC 边上，顶点 F、G 分别在AC、AB 边上，如果ABC 是等腰三角形，且腰长为 10cm，底边长为 12cm，求正方形DEFG 的边长 （ 或 ）52490（三）直角三角形1、已知 RtABC 中，a=3， b=4，求 c （5 或 ）72、已知直角三角形的两边长分别为 和 ，则斜边上的高为_ （ 或3662）3、RtABC 中，sinA= ，c=10，求 b （6 或 ）54350（四）相似1、要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架， 已有三角形框架甲，它的三边长分别为 5
10、0cm，60cm ，80cm，三角形框架乙的一边长为 20cm， 那么符合条件的三角形框架乙共有（ ） （C）A1 种 B2 种 C3 种 D4 种2、两个相似三角形的对应中线的比为 23，其中一个三角形的周长是 20cm，则另一个三角形的周长为 cm （30 或 ）03、在ABC 中，AB8 厘米，AC6 厘米，点 D、E 分别在边 AB、AC 边上，且以点 A、D、E 为顶点的三角形和以点 A、B、C 为顶点的三角形相似如果 AD2 厘米，那么 AE 厘米 （ 或 ）2384、RtABC 中， C=90 ，BC=8 ，AC=6 ，则其内接正方形的边长为 （ 或 ）307125、已知等腰梯形
11、 ABCD，ABCD，AD=BC=10 ，DC=13，tgA=075，E 是 AB 上一点，如果AED 相似BCE，求 BE 的长 （ ，25 或 4）296、RtABC 中， ACB=90， AC=4，BC=2，以 C 为圆心，BC 为半径作圆交 AB 于D，如果点 E 在 CB 的延长线上，且ABE 与 ACD 相似，求 BE （ 或 6）3107、已知二次函数 y= x2+ x+ 的图像与 x 轴、y 轴交于点 A、B，一次函数93y= x+b 图像经过 B 点，并与 x 轴交于点 C，若 D 在 x 轴上，且 BCD=ABD，求图2像经过 B、D 两点的一次函数解析式 （y= x+ 或
12、 y=4 x+ ）522（五）圆1、已知O 的半径为 5cm，AB、CD 是O 的弦，且 AB=8cm，CD=6cm ，ABCD，则 AB 与 CD 之间的距离为_ （1cm 或 7cm）2、已知O 1 和 O2 相切于点 P，半径分别为 1cm 和 3cm则O 1 和 O2 的圆心距为_ （2cm 或 4cm）3、若半径为 3，5 的两个圆相切，则它们的圆心距为（ ） （C）A2 B8 C 2 或 8 D1 或 44、已知两圆内切，一个圆的半径是 3，圆心距是 2，那么另一个圆的半径是_ （1 或 5）5、若半径为 1cm 和 2cm 的两圆相外切， 那么与这两个圆相切、且半径为 3cm 的
13、圆的个数为（ ）A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 （A）6、 O1 与 O2 相交于 AB，且 AB=24，两圆的半径分别为 r1=15，r 2=13，求两圆的圆心距 （14 或 4）7、已知 AB 是 O 的直径，AC、AD 是弦，AB=2 ，AC= ，AD=1，求CAD 的度2数 （105 或 15）8、已知 O 是ABC 的外心， A 为最大角，BOC 的度数为 y，BAC 的度数为 x，求 y 与 x 的函数关系式 （y=2x（0x90）或 y=3602x （90x180 ） ）9、已知半径为 3，5 的两圆的两条公切线相互垂直，求圆心距 （8 或 2 ）10、已知半径为 2 和
14、 的两圆相交于点 A、B，且 AB=2 ，求 A、B 与两圆心组成的四边形面积 （2 ）11、已知O 的直径 AB=6cm，P 为O 外一点，PA、PC 切O 于 A、C ，C 为弧AB 的三等分点，求 PC （ 或 3 ）（六）位置1、点 A 在 x 轴上，且点 A 到原点的距离为 4，则点 A 的坐标为 （4，0）或（4，0） ）2、线段 AB=7cm，在直线 AB 上画线段 BC=3cm，则线段 AC= （10cm 或4cm）3、已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC= ，则 AB 的长为 （3+15或 4+2 ）54、平面上 A、B 两点到直线 k 距离分别是 2 与 2 ，
15、则线段中点 C 到直线 k3的距离是 （2 或 ）5、已知点 O 在直线 AB 上，且线段 OA 的长度为 4cm，线段 OB 的长度为 6cm，E、F分别为线段 OA、OB 的中点，则线段 EF 的长度为 cm （1cm 或 5cm）6、已知 y=kx3 与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式 （或 ）13xy16xy7、抛物线 yax 2c 与 y 轴交点到原点的距离为 3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式 （y2x 23 或 y8x 23）8、已知矩形的长大于宽的 2 倍，周长为 12，从它的一个顶点作一条射线将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形的一边所成的
16、角的正弦值是 ，设梯形面积为21y，梯形中较短的底边长为 x，求 y 与 x 的函数关系 （y= x2+ x+4（0x6 ）或 y=9538x2+ x+4（0x6 ） ）939、已知，等腰梯形 ABCD 中，ABCD，AD=BC ，AB CD=65，C、D 的平分线都与 AB 交于 N，M 两点，且 N，M 把 AB 三等分，若梯形周长为 76，求梯形中位线的长 （22 或 ）154810、如图，路灯 A 的高度为 7 米，在距离路灯正下方 B 点 20 米处有一墙壁 CD，CDBD，如果身高为 1.6 米的学生 EF 站立在线段 BD 上（EF BD，垂足为 F，EFCD） ，他的影子的总长
17、度为 3 米, 求该学生到路灯正下方 B 点的距离 BF 的长.（10.125 米或 18 米）11、设方程 的两根为 x1、x 2，且 x1x2， （1）求出 x1、x 2 的值；（2）若02xA（x 1，0） ，B（x 2，0） ，C（ 0，x 2） ，D（x 1，x 2+1） ，点 O 为坐标原点，在AOC、BOC、CDB、ACB 中是否有相似三角形如果有，指出哪几对并证明；（3）若 E 是 y轴上点，且满足它与 A、B、C 三点组成的四边形面积，恰好等于四边形 ABDC 的面积，求点 E 的坐标 （1）x 1=1，x 2=3；（2）AOC DCB；（3） （0， ）或23（0， ） ）
18、2512、已知直线 y= x+ ，与 x 轴相交于点 A，并经过 B 点，已知34OB=2， （1）求 A、B 的坐标；（2）若点 E 在线段 OA 上，点 F 在线段 EA 上，EF=2 ，分别过 E、 F 作 OA 垂线 EM、FN，点 M、N 在 OAB 的边上，设 OE=x，那么 x 为何值时，在 OAB 内且夹在直线 EM 与 FN 之间的面积为OAB 面积的一半 （1）A（4，0） ，B（1， ） ；（2） （舍 ） ）3231三、综合题（说明：分类讨论思想是综合题中常见的数学思想，运用分类讨论思想的综合题比比皆是，因此在这里我们仅选取了部分常见的体现不同解题思路的综合题供老师们参
19、考）AB DC（第 24 题图）（一）等腰三角形1、如图，在半径为 6，圆心角为 90的扇形 OAB 的弧 AB 上，有一个动点 P，PHOA，垂足为 H， OPH 的重心为 G（1）当点 P 在弧 AB 上运动时，线段 GO、GP 、GH 中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设 PH=x, GP=y 求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数定义城；（3）如果PGH 是等腰三角形,试求出线段 PH 长.（答案：（1）GH=2；（2）y= （0x6） ；（3） 或 2）236162、已知，在 中 ， .ABC()8,ABC7cosA（1）求 的长（如图
20、 a） ；（2） 、 分别是 、 上的点，且 ，连结 并延长，交 的PQ:2:1PQPAC延长线于点 ，设 （如图 b）.E,xEy求 关于 的函数解析式，并写出 的定义域；yx当 为何值时， 是等腰三角形？xA27.（1）BC=4（2） 20xy若 ， ， ，矛盾 不存在. 1 分APE8AEPAE若 ，则 , ，矛盾P,B 不存在. 1 分若 ，过点 作 ,垂足为点 .M1 分82AEy1 分7cos8Px整理得 ，又 ，解得 （舍）1 分721xy2yx126,45xGHBO APAB CQPAB CE图a图b当 时， 是等腰三角形. 1 分65xPEF3、如图 5，在以 O 为圆心的两
21、个同心圆中，小圆的半径为 1，AB 与小圆相切于点 A，与大圆相交于 B，大圆的弦 BCAB，过点 C 作大圆的切线交 AB 的延长线于 D，OC交小圆于 E（1） 求证：AOB BDC；（2） 设大圆的半径为 ，CD 的长为 ，求 与 之xyx间的函数解析式，并写出定义域（3） BCE 能否成为等腰三角形？如果可能，求出大圆半径；如果不可能，请说明理由25解：（1）略；（2）函数解析式为 ，定义域为 12xy1x（3）当 EB=EC 时，ECB =EBC，而ECB =OBC， EB EC当 CE=CB 时，OC =CE+OE=CB+OE=2+1=3（1 分）当 BC=BE 时，BEC =EC
22、B=OBC，则 BCEOCB（1 分）则 设 OC = x,则 CE= , , (负值舍去).,OCBE1x271OC= .（1 分）217综上所述，BCE 能成为等腰三角形，这时大圆半径为 3 或 27（二）直角三角形1、如图，在ABC 中，AB=AC=5cm，cosB= ，点 P 为 BC 边上一动点（不与点54B、C 重合） ，过点 P 作射线 PM 交 AC 于点 M，使APM= B（1）设 BP=x，CM=y求 y 与 x 的函数解析式，并写出函数的定义域（2）当PCM 为直角三角形时 , 求点 P、B 之间的距离（答案：（1）y= （0x8） ；（2） 或 4）582x52、已知：
23、如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABCD5，AD 6，BC 12，点 E在AD 边上，且 AE：ED1：2，连接 CE，点 P 是 AB 边上的一个动点， （P 不与 A，B 重合）过点 P 作 PQCE，交 BC 于 Q，设 BPx，CQy，图 5EDCOA BAB P CM（1）求 CosB 的值；（2）求 y 与 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）连接 EQ，试探索EQC 有无可能是直角三角形，若可能，试求出 x 的值，若不能，请简要说明理由。A E DPB Q C25解：（1）过点 A 作 AHBC，则 BH=3，从而 cosB= 。（3 分）5（2）过点 E 作 EF
24、AB，则 BF=AE=2，EF=AB=5，FC=10，又 BP=x，BQ=12-y,不难得BPQFEC ， ，即 ，（6 分）FCEBQP102yx ， （8 分）12xy)50(x（3）显然 ECQ90，且 tgECQ= ，CE= ， cosECQ= ，（9 分）74657若EQC=90，则 CQ=7，即 y=7, 从而 x= ；（11 分）2若QEC=90，则 cosECQ= = ，即 ， QCE65657yy= ， 从而 x= ；（13 分）765149综上，x= 或 x= （14 分）2（三）相似1、如图 4：一次函数 y=x+m 的图象与二次函数 y=ax2+bx4 的图象交于 x 轴上一点 A，且交 y 轴于点 B，点 A 的坐标为（2，0） （1）求一次函数的解析式； （2）设二次函数 y=ax2+bx4 的对称轴为直线 x=n（n0） ，n 是方程 2x23x2=0 的一个根，求二次函数的解析式；（3）在（2）条件下，设二次函数交 轴于点 D，在 轴上有一yx点 C，使以点 A、B、C 组成的三角形与 ADB 相似.试求出 C 点的坐标.（答案：（1）y=x2；（2）y=2x 2+2x4；DA OyxB图 4
