1、变换编码,四川大学 计算机学院陈 虎,原理为达到目的可以通过不同的路径殊途同归 例如：数学计算机中，经常利用某些数学函数略加转换可以找出一条计算的捷径。乘法：1000000X100000100000000000运算时，数据很大，可以变成对数进行加法,1000000 X 100000100000000000,取对数lg106,取对数lg105,取指数1011,6,5, 11,算法变换,基本概念先对信号进行某种函数变换，从一种域（空间）变换到另一种域（空间），再对变换后的信号进行编码处理以声音图像为例，由于声音图像大部分信号都是低频信号，在频域中信号较集中，因此将时域信号变换到频域，再对其进行采样
2、、编码,变换编码 (Transform Coding) 是一种函数变换，从一个信号域变换到另一个信号域，将信源输出分解/变换为其组成部分，然后根据每个成分的特性分别进行编码，去除视频信号的空间冗余，使能量集中。,变换去除相关性示例设有两个相邻的数据样本x1和x2，每个样本 采用3比特编码，则各有8个幅度等级，两个样本的联合事件共有64种可能用右图二维平面坐标表示考虑到相邻样值的相关性，x1和x2同时出现相近幅度的可能性最大。因此,合成可能性往往落在阴影区内,0,X1,X2,变换去除相关性示例如果对数据进行正交变换，从几何上相当于坐标系旋转 45o,变成x1、x2坐标系，则在新坐标系下，任凭x1
3、在较大的范围变化，而x2始终只在相当小的范围内变化，因此通过这样的变化就能得到一组去除大部分，甚至是全部统计相关性的另一种输出样本,0,X1,X2,X1,X2,变换编码过程,变换,量化,译码器,逆变换,编码器,发送端,接收端,G,A,A,G,U,输入,U,输出,U为变换矩阵，A,A:变换系数,U:U的逆变换矩阵,酉（Unitary）变换概念,线性变换 v = Au，系数矩阵 A 称为此变换的基矩阵如果 A 是一个酉矩阵，则：,且,其中，* 表示对 A 的每个元素取共轭复数，T 表示转置,如果 A 是酉矩阵，且所有元素都是实数，则它是一个正交矩阵，且满足,且,上式表明：当 i=j 时，内积为 1
4、；否则内积为 0，所以，A的各行是一组正交向量,任何两个酉变换之间的差别在于基函数（即 A 的行向量）的选择。正交矩阵是酉矩阵，但酉矩阵不需要是正交矩阵。,正交矩阵的特点,正交矩阵的特点每一行元素的平方和等于 1两个不同行的对应元素乘积之和等于零上述两条对于列也成立例如,第一行,第二行,乘积,用前面的正交矩阵定义计算上述例子,正交变换,正交变换,u(m,n) 表示 NN 的原始图象; v(k,l) 表示变换系数; akl(m,n) 是离散正交变换基函数,正变换 (Forward Transform) 矩阵表示：,NN输入信号块，向量排列,N2N2 变换矩阵,NN变换系数,线性：v(k,l) 描
5、述为“基函数 (Basis Function)”的线性组合,可分离的正交变换,酉变换,基函数分解表示为：,可分离的正交变换,可分离的酉变换的正变换,可分离的酉变换的反变换,可分离的正交变换,可分离的酉变换的矩阵表示。,NN 正交变换矩阵,NN变换系数,反变换,重要的实际意义：用 2 个 NN 矩阵乘法代替了 1 个 1N2 矢量和 N2N2 矩阵的乘法，实现变换。使其复杂性 (乘法次数）从 O(N4) 减少为 O(N3)。,NN 输入信号,快速傅里叶变换,根据 DFT 公式，直接计算 N 点一维傅里叶变换需要 N2 次复数乘法，N(N-1) N2 次复数加法运算。快速傅里叶变换只需要 Nlog
6、2N 次加法， 0.5Nlog2N 次乘法 。例如 M=1024，直接傅里叶变换需要大约 106 次操作，快速傅里叶变换只需要 104 次操作。2D-FFT 计算量,可分离的正交变换,二维变换通过 2 个一维变换实现沿着信号块的行、列方向进行；先对行进行运算，再对列进行运算，从而达到快速的目的。,正交基分解,A*kl 表示基图象a*k 表示 A*kl 的第 k 行a*l 表示 A*kl 的第 l 列,正交基分解,应用：信息传送原理发端分解：传送 v(k,l)，即将信号向量分解成它的各个基图象，变换系数则规定了原信号中各基图象所占的数量。如果一个信号，或其一部分可以近似地匹配上某一基函数，则在变
7、换后，会产生一个对应于那个基函数的较大的变换系数。由于基函数是正交的，则这个信号对应于其它的基函数将产生较少的系数。收端合成：通过将一组被适当加权的基图象求和而重构图象，用上面的式子合成。变换系数就是其对应的基图象在求和时所乘的系数。,正交基分解,举例说明以上概念：给定正交矩阵A和图象矩阵U：变换系数：反变换为：,正交基分解,基图象：,分解：,合成：,酉变换特性能量保持与旋转,酉变换信号能量不变 U 矢量长度在 N 维空间中不变酉变换在 N 维空间简单地旋转 U 矢量酉变换是基坐标的旋转，V 分量是 U 在在新基坐标中的投影。,1-D,2-D,酉变换特性能量集中与变换系数方差,酉变换：能量转到
8、少数系数上，总能量不变,变换前后平均能量相等：,u、Ru 分别表示 U 矢量的均值和协方差,RV 矩阵对角线元素给出变换系数方差:,最后得：,矩阵的迹，矩阵对角线上元素的总和。,U变换,输入矢量 U 的相关RU,变换系数 V 的相关 RV （非对角系数变小）,酉变换的特性举例：能量集中与去相关,设,其酉变换：,表示 u(0) 和 u(1) 的相关性,酉变换特性去相关,酉变换特性,总能量 22 不变，但 v(0) 上的能量大于 v(1) 的，如 =0.95，则 91.1% 的总能量集中在 v(0) 上。,从 RU 可见：,即总能量相等的分布在 u(0) 及 u(1) 上,从 RV 可见：,能量集
9、中方面,V 的协方差：,酉变换特性,当 = 0.95 ， 说明：97.5% 的能量集中在 V(0) V（0,1) = 0， 说明：V(0) 与 V(1) 不相关,相关方面：u(0) 与 u(1) 间相关为 ；v(0) 与 v(1) 间相关为：,若 =0.95，则 V = 0.83 ，变换系数之间的相关性减弱。,变换矩阵的影响：,若,则,酉变换特性-熵保持性,如果把f(x,y)看作是一个具有一定熵值的随机函数，那么变换系数g(u,v)的熵值和原来图像信号f(x,y)的熵值相等。,变换编码的选择原则,变换编码的种类K-L变换 KLT离散傅立叶变换 DFT离散正弦变换 DST离散余弦变换 DCT哈达
10、玛变换 Hadamard Walsh 变换Haar 变换Slant 变换小波变换 Wavelet去相关，能量集中（例如，KLT、DCT、Wavelat）计算复杂度低,Karhunen -Love (卡胡南-列夫) 变换,KLT 变换产生去相关的变换系数KLT 基函数是输入信号协方差矩阵的特征向量，因此，它是以统计特性为基础的，也称为特征向量变换。最优的正交变换：特征向量矩阵指向数据变化最大的方向，能够达到最优的能量集中。缺点：计算过程复杂，变换速度慢。KLT 依赖信号统计特性，但很难实时计算视频的统计特性；KLT 基函数不是固定的，是随图像内容改变的；KLT 对图象块是不可分离；变换矩阵不能分
11、解为稀疏矩阵。,KLT变换的基核矩阵和定义,协方差矩阵 Ru 的特征向量可以构成一个 N2N2 的矩阵 ， 的共轭转置 *T 称 K-L 变换的核矩阵,KLT 变换的定义：,正变换,反变换,K-L变换基核是随信号而变化的，不是固定的 自适应的。变换过程为：图像随机变量 u 协方差矩阵 Ru K-L 基核矢量 *T。事实上，在线性代数中已经学过，K-L变换基核的求法就是先求出图象的协方差矩阵 R 的特征值，然后求出特征向量，从而得到基核。,中心化后图象向量,KLT 变换的特征去相关,去相关 最佳的变换编码,KLT 变换系数 v(k), k=0,1,.,N-1 是不相关的，而且具有零均值，即：,证
12、明：,协方差矩阵,KLT 变换的特征去相关,经过 KLT 变换后，所得的变换系数 v 是一个平均向量为零的向量集，其坐标原点移到中心位置。将 mv =0 代入 Rv 表达式：,*T 矩阵由协方差矩阵 Ru 的 特征向量 i 的转置构成，即,KLT 变换的特征去相关,由于 矩阵是正交矩阵，所以 T = I 同时，矩阵 Ru 与其特征向量 i 应符合以下关系,代入上述 Rv 中,KLT 变换的特征去相关,结论： v 向量的平均向量为 0，直流分量为 0。 v 的协方差矩阵，协方差等于0，方差对角线按减序排列KLT 的变换系数是由互不相关的随机变量组成的，因此， KLT 变换起到了去除变量间相关性的
13、作用。进而言之，每个 k 都是变换后第 k 个系数的 vk 的方差。,KLT 变换的特征降维,忽略特征值较小的那些特征向量，从而减少 u 的维数。令 B*T 表示删去 *T 最下面的 N-M （MN) 行后得到的 MN 矩阵，这样，变换生成的向量维数就小一些（M1 大小），由下式生成：,向量 u 仍然可由下式近似重构出来：,这种近似的均方误差等于删去的那些特征向量所对应的特征值之和,KLT变换举例,设 31 随机向量 u 有以下的协方差矩阵：,该矩阵的特征值和特征向量为：,KLT变换举例,对某个均值为 0 的向量 uT(2, 1, -0.1) 有：,变换后的向量 v 的协方差矩阵 Rv 为：,
14、KLT变换举例,降维：因为3 明显比其它两个向量小，因此，假设将矩阵 的第三行去掉从而将 v 变成二维向量。,近似重构的原向量：,可以看到 u 和 u 有微小的差别，近似的均方误差为3 = 0.146，也就是去掉的特征向量所对应的特征值。,KLT变换举例,Lena 原始图象,相邻象素 (x,y)的灰度电平值,相邻象素 x 的直方图,相邻象素 y 的直方图,KLT变换举例,座标旋转后相邻象素 (x,y)的灰度电平值,座标旋转后相邻象素 x 的直方图,座标旋转后相邻象素 y 的直方图,Lena 图象的 KLT 基图象,KLT变换举例,10:1 Lena 图象,失真(PSNR) 和比特率的关系,Fo
15、urier变换,所有实际信号都有起点和终点，时宽T在时域的作用和带宽B在频域的作用相同。对于0tT的信号，我们若希望知道信号的能量分布，须对信号做傅里叶变换，即研究其频率特性。 “频率”是我们在工程和物理学乃至日常生活中最常用的技术术语之一。截至目前我们在信号（平稳信号）的分析和处理中，当我们提到频率时，指的是Fourier变换的参数-频率f和角频率，它们与时间无关。然而对于非平稳信号， Fourier变换不再是合适的物理量。原因：非平稳信号的频率是随时间变化的，所以不再简单地用Fourier变换做分析工具。因此需要提供能给出瞬时频率的变换工具-时频分析。,Fourier变换,分析和处理平稳信
16、号的最常用也是最主要的方法是Fourier分析。Fourier变换建立了信号从时（间）域到频（率）域的变换桥梁，而Fourier反变换则建立了信号从频域到时域的变换桥梁，这两个域之间的变换为一对一的映射，如下式：,Fourier变换,Fourier变换从时域和频域构成了观察一个信号的两种方式。 Fourier变换的局限和算法上的不足： （1）Fourier变换是在整体上将信号分解为不同的频率分量，而缺乏局域性信息。即它不能告诉我们某种频率分量发生在哪些时间内，而这对非平稳信号是十分重要的。 为了分析和处理非平稳信号，人们对Fourier分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号
17、分析理论：短时Fourier变换，分数阶Fourier变换、小波变换、WVD变换等。,Fourier变换,Fourier变换,（2） Fourier变换的基函数是复指形式，在计算时须进行复乘和复加。 为解决这一问题：在Fourier变换的基础上提出了以下变换： 哈特莱变换（HT） 离散哈特莱变换(DHT) 离散余弦变换 （DCT） 离散余弦变换 （DST）,这些变换都与Fourier变换紧密相连，且变换的运算均在实数域进行。,DCT变换,离散余弦变换（DCT）是N.Ahmed等人在1974年提出的正交变换方法。它在性能上最接近最佳变换KLT变换，并且具有高效的快速算法。在目前的多数图像和视频压
18、缩标准中都用到了DCT技术。它常被认为是对语音和图像信号进行变换的最佳方法,成为H.261、JPEG、MPEG 等国际上公用的图像压缩编码标准的重要环节。,DCT变换,DCT变换压缩的主要思想是通过对图像的变换使分散在各个像素上的能量集中在少数系数上，进而甩掉零或近似于零的系数，以达到压缩的目的。在视频压缩中，采用变换编码的主要特点有： （1）在变换域里视频图像要比空间域里简单。 （2）视频图像的相关性明显下降，信号的能量主要集中在少数几个变换系数上，可有效地压缩其数据。 （3）具有较强的抗干扰能力，传输过程中的误码对图像质量的影响远小于预测编码。通常,对高质量的图像，DMCP要求信道误码率
19、，而变换编码仅要求信道误码率 。,一维DCT变换,1D-DCT 的基为：,则正变换可表示为：,反变换可表示为：,特点：（1）无虚数部分；（2）正变换核与反变换核一样,二维DCT变换,2D-DCT的基为：,则正变换可表示为：,反变换可表示为：,v(0,l),DCT变换基图像,k、l 为变换频率； m, n 为空间座标v(k,l) 为 DCT 系数; u(m,n) 原始图象信号v(k, l) 中 v(0,0) 称为直流系数，其它的称为交流系数。,DCT的矩阵算法,一维离散余弦变换：,正变换：,反变换：,二维离散余弦变换：,正变换：,反变换：,C 为离散余弦变换矩阵，CT 为 C 的转置矩阵,DCT
20、,DCT的矩阵算法,变换矩阵 C ：,当N=2 时，变换矩阵C为：,当 N=4 时，变换矩阵 C 为：,DCT的矩阵算法,DCT变换使用下式计算,逆变换使用下式计算,当u,v=0；,其他,其中，,DCT的矩阵算法举例,已知：,用矩阵算法求其DCT。,由此例可看出：DCT将能量集中于频率平面的左上角。,DCT的矩阵算法,DCT的矩阵算法,举例：对以下图像块进行可分离的二维DCT变换,容易验证，该结果与直接使用二维变换式得到的结果是相同的。从中还可以看到，实数的原始图像经过 DCT 变换后得到的变换系数仍为实数，而且从前面 DCT 的定义可知，DCT 正、反变换的基函数是一样，这样 DCT处理就简
21、单。,解：二维DCT是可分离的，可先对各行进行一维的行变换，得到系数矩阵如下：,再进行列变换，最终的DCT系数矩阵为：,DCT的矩阵算法,DCT举例,在变换域中，低频系数的能量远大于高频系数的能量，变换系数的相关性将大大去除。,DCT系数的幅度分布,下图是从自然图象（Mauersberger) 得到的 88 DCT 系数幅度的直方图。,直流 DC 系数的分布类似于原始图像，一般是典型的均匀分布。交流 AC 系数的分布类似于 Laplacian pdf,W. Mauersberger. Generalised correlation model for designing 2-dimension
22、al image coders. Electronics Letters, 15(20):664665, September 1979,DCT 系数的量化-空域量化 vs. 变换域量化,原始序列为 x = 100, 110, 120,130, 140, 150, 160, 170 8点 DCT 变换后的结果为： y = 381.84, -64.42, 0, -6.73, 0, -2.01, 0, -0.507 能量主要集中在前两个系数,7 电平的中平量化器,DCT 系数的量化-空域量化 vs. 变换域量化,方案 1：直接对原始数据进行量化方案 2：对 DCT 系数进行量化=6，量化后的 DCT
23、 系数： 64 -11 0 -1 0 0 0 03 个非 0 DCT 系数,MSE:w/o DCT: 3.0w/ DCT: 1.5,DCT 系数的量化-空域量化 vs. 变换域量化,=20， 2 个非0 DCT 系数：19 -3 0 0 0 0 0 0DCT 系数重构效果仍然很平滑直接方法开始产生块/mosaic 效应,MSE:w/o DCT: 50.0w/ DCT: 9.07,DCT 系数的量化-空域量化 vs. 变换域量化,=100， 2 个非0 DCT 系数：4 -1 0 0 0 0 0 0DCT 系数重构效果仍然平滑直接方法产生的块/mosaic效应更多,MSE:w/o DCT: 10
24、00w/ DCT: 205,DCT 系数的量化-空域量化 vs. 变换域量化,输入数据：,大多数能量集中在左上角,2-D DCT变换系数（取整）：,DCT 系数的量化-空域量化 vs. 变换域量化,在变换域量化通常能得到更好的结果还可以做得更好对不同的 DCT 系数采取不同的量化步长,DCT 变换系数的量化,人眼对信号强度的变化，慢变化部分（低频部分）比细节部分（高频部分）更敏感，亮度比色度更敏感。DCT 系数能量集中在低频系数（特别是直流系数），需要进行细量化（量化步长/台阶小），而高频系数能量很少，可以对高频系数粗量化。高频系数量化后许多变为 0，这就为数据压缩打下了基础。每个 DCT 变
25、换系数都有一个自己的量化器，这些量化器构成了量化矩阵。MPEG1、MPEG2、H.261 等有其各自的亮度和色度量化矩阵。经逆量化和逆 DCT 恢复图象。恢复的图象与原图象相比失真不大，但有失真。这失真主要是量化产生的，因为量化是一个电平对多个电平的映射，信息的丢失是不可避免的，而 DCT 变换理论上讲并不丢失信息。,DCT 变换系数的量化,139 144 149 153 155 155 155 155144 151 153 156 159 156 156 156150 155 160 163 158 156 156 156159 161 162 160 160 159 159 159159
26、160 161 162 162 155 155 155161 161 161 161 160 157 157 157162 162 161 163 162 157 157 157162 162 161 161 163 158 158 158,16 11 10 16 24 40 51 61 12 12 14 19 26 58 60 5514 13 16 24 40 57 69 5614 17 22 29 51 87 80 6218 22 37 56 68 109 103 7724 35 55 64 81 104 113 9249 64 78 87 103 121 120 10172 92 95
27、98 112 100 103 99,79 0 -1 0 0 0 0 0-2 -1 0 0 0 0 0 0-1 -1 0 0 0 0 0 0-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,1264 0 -10 0 0 0 0 0-24 -12 0 0 0 0 0 0-14 -13 0 0 0 0 0 0-14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,(a) 原图象,(b
28、) DCT 系数,(c) 量化矩阵,(d) 已量化 DCT 系数,(f) 重建图象,(e) 逆量化系数,DCT 变换系数的比特分配,比特分配问题：计算 Rk ，使得总的量化噪声 最小并满足比特率：变换系数能量：为协方差矩阵对角线元素vk2 为 Rvv 对角线上第 k 个元素,DCT 变换系数的比特分配,用 Lagrangian 乘子法得到最佳的比特分配对所有的 k，令 每个变换系数的量化误差的方差尽可能相等,DCT 变换系数的比特分配,DCT 变换系数的比特分配,代入比特率约束每个系数的码率和最小失真分别为：,一个变换系数的方差越大，分配给它的比特数越多,DCT 变换系数的比特分配,变换编码的
29、总的最小失真为假设对原始信号的码率失真函数为则变换编码增益为,DCT 变换系数的比特分配,变换编码增益为 u2 为 Ruu 对角线的元素，对平稳过程， Ruu每个 (i, i) 相等增益与系数方差的集中程度有关若每个系数的方差相等，则没有增益上述最佳 Rk 不一定为整数，甚至不能保证为正数 Rk 0 Rk = 0但增大了平均码率，还需均匀减小非 0 的 Rk,几何均值,算术均值,DCT 变换系数的递归比特分配,满足约束： Rk 0 且 Rk 为整数所以码率分配算法为： 计算每个成分的方差 vk2 初始所有的 Rk = 0，k= 0,1,2,.,N-1 对所有的方差 vk2 排序，对最大方差的成
30、分 k 分配 1 比特 若比特数用尽，停止；否则转第 3 步上述算法称为 zonal sampling（区域编码）,8*8 变换的比特分配,DCT 变换系数的阈值编码,区域编码 Zonal sampling基于平均值进行比特分配局部变化可能不能很好重构如边缘像素阈值编码：对所有大于阈值的系数进行编码，而丢弃所有低于门限的变换系数。传送的系数位置随图像内容而变化，具有一定的自适应性。非零变换系数的位置与它们的幅度值一起传送,(a) 区域编码屏蔽矩阵 (b) 区域比特分配表 (c) 阈值编码屏蔽矩阵,DCT 变换系数的阈值编码,对于不同的变换系数块，传送的变换系数可能不同。阈值编码常用均匀量化器和
31、熵编码，即变长码。,阈值编码的量化特性曲线,阈值编码也是一种自适应编码，量化编码自适应于图像内容，比系数屏蔽矩阵不随图像变化的区域编码有更高的压缩比。,DCT 变换系数的游程编码,更有效的传输非零变换系数位置的方法：“之”字型扫描和游程-幅度二维熵编码。,“之”字形扫描使变换系数所代表的频率分量由高到低排列，增加连零的个数，提高变字长游程编码效率，将二维 88 变换系数排列成一维 164 数据串。对于隔行扫描图象，可以采用其它替代的“之”字形扫描。块结束发送EOB（End of Block）标识,基于 DCT 块变换的编码系统,基于 DCT 的编码系统编码,原始图象,DCT,DC compon
32、ent,AC components,Quantize,zigzag,run-length-Value code,Huffmancode,10011011100011.,coded bitstream 10 bits (0.55 bits/pixel),基于 DCT 的编码系统编码,original block,reconstructed block,errors,Uncompressed(262 KB),Compressed (50)(22 KB, 12:1),Compressed (1)(6 KB, 43:1),基于 DCT 块变换的编码系统,DCT 系数的传输,图象块,图象块 DCT 系数
33、,量化的图象块DCT 系数,重建图象块,典型的DCT编码失真块效应,DCT 本身没有失真，是可逆变换，如果计算精度保证的话，变换前后的结果是一样的。DCT 变换固有的缺点：块效应：变换编码是一种块结构编码方法，易出现块与块之间的不连续性。如下图中的 “阶梯效应” 和后面图中的 “蚊子效应”。图像的边界、纹理处易出现较明显的损伤。,典型的DCT编码失真块效应,典型的DCT编码失真蚊子效应,典型的 DCT 编码失真高频损伤,对每一类图象，分别优化量化和熵编码,分类：没有细节的块水平结构垂直结构对角结构无方向的纹理,自适应变换编码,DCT 编码效率和尺寸之间的关系是单调曲线，其拐点在44、88、16
34、16 区段需要根据图像分辨率（QCIF、CIF、SDTV、HDTV或数字电影）选择 DCT 变换块的大小。H.264 中选择 44： 更适宜于小尺寸图像，相应的块效应主观感觉也会减弱 更好的运动补偿，意味着更小的空间相关性,DCT变换的尺寸,DCT快速算法,直接进行 DCT 计算：每个系数需要 64 次乘法、63 次加法，88 DCT 将需要 1024 次乘法，896 次加法。DCT 有快速算法：2D-DCT 的行列运算，每一次运算变为 1D-DCT 运算，1D-DCT 采用 fast DCT。一般的 1D-DCT 的快速算法使运算量降低为 Nlog2N 数量级的实数乘法。,DCT快速算法,D
35、CT 快速算法是中国人陈文雄 (1977) 提出的N8 时的算法如图cx 对应于 cosx，sx 对应于sinx。,DCT和DFT 比较,DCT 变换后的能量更集中更适合压缩,DCT次最佳变换一阶Markov过程,如果一个静态序列中每个元素的条件概率只依赖于它的前一个元素，则此静态随机序列称为一阶马尔可夫序列。通常遇到的图象都能满足这个马尔可夫假设。对于那些可以用一阶马尔可夫(Markov) 过程来模拟的图象，DCT 是 KLT 变换的很好的近似，尤其是当 接近于 1 的情况下。因此，对于通常遇到的图象，都可以用更容易计算的 DCT 来近似 KLT 变换。,DCT次最佳变换一阶Markov过程,一个 N 元素零均值一阶马尔可夫序列的协方差矩阵为特征值k 和特征向量 k 为:,DCT次最佳变换一阶Markov过程,wk 是如下超越方程的正根:,只要给出的一个值，就可以计算出 KLT 变换的基向量。对于自然景物，通常 1，这时 DCT 的基向量可以很好地近似 KLT 变换地基向量，因此，DCT 经常代替 KLT。尽管 DCT 在降低相关性方面不如 KLT 有效，但是其好处是它的基函数是固定的，而且对于强相关图象来讲，DCT 可以近似 KLT，所以，DCT 是次最佳的变换。,DCT次最佳变换一阶Markov过程,对相关性较强的数据，它有优良的能量集中（次最佳变换）,
