1、利用层次分析法解决买手机方案的选择摘要现今，越来越多的大学生把手机作为日常生活的必需品，商家也为大学生量身定做多款手机，在琳琅满目的手机市场，如何挑选一部价格较低又能在很大程度上满足学生需求的手机显得尤为重要。本文就如何让大多数大学生购买到合适的且满意的手机建立了利用层次分析法解决该问题的数学模型。由此，我将将购买手机时主要考虑因素集中在功能，价格，电池，售后，外观，利用层次分析法，构造对比矩阵，分析其一致性，利用 matlab 软件求解，最终得出最佳选择方案。关键词：层次分析法 购买手机 对比矩阵 matlab一、 问题重述有人欲买一台电脑，现在有如下几款进入其选择范围：惠普 ，戴尔，联想。
2、为了选择出一个最佳方案，请利用层次分析法进行综合分析，做出最终的抉择。二、 问题的分析对于这类问题，普遍可以利用层次分析法（AHP）对所有方案进行优先排序。本问题首先分析内在因素间的联系与结构，并把这种结构划分为三层即可，即目标层，准则层，方案层。把各层间诸要素的联系用线表示出来，接着是同层因素之间对上层因素重要性进行评价，并利用“两两比较法”建立比较矩阵，求的权系数，再进行一致性检验，如通过，则求得的权重系数可以被接受，否则，应重新评判。再进行单层权重评判的基础上，再进行层次间重要性组合权重系数的计算。最后求出各个方案所占的权重，即可确定手机的优先顺序。三、 模型假设1、所有手机价格都是恒定
3、在一个价位；2、不考虑除功能、价格、电池、售后、外观外的其他因素，即仅以此五个准则来确定方案；3、评价指标：由购买者评价功能、价格、电池、售后、外观等五个指标对于购买决定的影响大小，采用 1-9 级相对重要性作为尺度的方法。/ijC相同重要 稍微重要 明显重要 强烈重要 绝对重要 介于两级之间1 3 5 7 9 2,4,6,8四、 模型的建立和求解1.模型的建立（1） 建立层次结构模型本文题意很明确，各层次的要素也很明确。将有关各因素按照不同的属性从上到下分为三个层次：最上层为目标层：最终要选的手机型号；中间层为准则层：价位、配置、质量、外观、售后；最下层为方案层：HTC desire、NOK
4、IA 63000、三星D608、IPHONE 5。根据分析可画出如下的层次结构图：购买手机SHOUJI功 能价 格电 池售 后外 观HTC desire NOKIA 6300三星D608IPHONE 52.构造对比矩阵根据对以上四种产品的五种评价指标的实际情况的调查，首先对五种指标之间的相对重要性进行比较，然后针对于每种具体的指标，根据四种手机在该指标上的优劣进行，比较得出以下的比较矩阵：五种评价指标相对重要性（准则层）的比较矩阵：其中 Cij 表示第 i 项指标与第 j 项指标的重要性之比，1-5 项分别为功能、价格、电池、售后、外观：15432765125146113532 用 matla
5、b 求解特征值及其所对应的特征向量分别为 5.340特征向量 (0.5,829.13,0.5)T，一致性检验： 34.CI-=随机一致性指标 RIn 1 2 3 4 5 6RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24解得 时 一致性比率5.RI 0.8.70.112CI因此可认为比较矩阵的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量。3、组合权向量通过搜索互联网上有关手机功能、价格等网民投票分析，得出方案层中 4 种手机在各评价指标中的优势比例，用同样的方法构造出方案层对准则层每一个准则的成对比较矩阵。设他们分别为 B1、B2、B3、B4，则：1114231223B2152431
6、1243B31242134B41232431324B51231123B这里矩阵 中的元素 是方案（手机的款式） 与 对于准则(1,2345)kB)(kijbiPj（功能、价格等）得优越性的比较尺度kC由比较矩阵 计算出权向量 ，最大特征根 和一致性指标 ，结果列入下表k(3)kwkkCI1 2 3 4 50.1688 0.8819 0.1903 0.2809 0.7601 0.4846 0.3537 0.5065 0.5301 0.5384 0.3058 0.2760 0.7518 0.7813 0.2618 (3)kw0.8019 0.1449 0.3768 0.1722 0.2528 k4
7、.20 4.28 4.3573 4.0968 4.1031 CI0.0667 0.0933 0.1191 0.0322 0.0343由于 时随即一致性指标 ，通过计算上表的 均通过一致性检验。4n0.9RIkCI综上可得，方案 1 在目标中的组合权重应为方案 1 在各准则中的权重与相应准则对于目标的权重的两两乘积之和，即：0.168.50.89.2.13.80.29.30.761.50.96同理可以算出方案 2、方案 3、方案 4 在目标中的组合权重分别为0.8018 1.2268 1.2268于是组合权向量 ( 0.96,.81,.6,0.89)T结果表明方案 3 所占的权重远远大于其他方案
8、，故应选方案 3 即“三星 D608”作为最优方案。五模型的推广层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策。把定量和定性的方法结合起来，能处理许多传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广。具有中等文化程度以上的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也非常简便。但也有它的局限性，可以用粗略、主观等词来概括，第一，它只能从原有的方案中选优，不能生成新方案；第二，它的比较判断直到结果都是粗糙的；第三，人主观因素的作用很大，当然，采取专家群体判断的方法是克服这个缺点的一种途径。六参考文献1 吴建国，汪名杰数学建模案例精编北京：中国水利水电出版社，2
9、005。2 姜启源，叶俊数学模型北京：高等教育出版社，2008。3 杨启帆，李哲宁，王聚丰数学建模案例集北京：高等教育出版社，2006。4 Frank R.Giordano,Maurice D.WeirA first Course in Mathematical Modeling(Third Edition)北京：机械工业出版社，2005。5 邬学军，周凯，宋军全数学建模竞赛辅导教程杭州：浙江大学出版社。6 韩中庚数学建模方法及其应用北京：高等教育出版社，2005。7 袁新生，邵大宏，郁时炼LINGO 和 Excel 在数学建模中的应用北京：科学出版社，2007。附录Matlab 调用函数：V
10、,D=eig(A) A 是矩阵正互反矩阵A = 1, 1/2, 5, 4, 3 2, 1, 7, 6, 5 1/5, 1/7, 1, 2, 3 1/4, 1/6, 1/2, 1, 2 1/3, 1/5, 1/3, 1/2, 1特征向量 =0.5005 0.5346 + 0.2592i 0.5346 - 0.2592i 0.4948 -0.5824 0.8292 0.7431 0.7431 -0.8684 0.7548 0.1836 -0.1599 + 0.1836i -0.1599 - 0.1836i -0.0268 0.1795 0.1306 -0.1148 - 0.0122i -0.114
11、8 + 0.0122i 0.0025 -0.2261 0.1058 -0.0170 - 0.1480i -0.0170 + 0.1480i 0.0160 0.0884 特征值 =5.3404 0 0 0 0 0 -0.1087 + 1.3328i 0 0 0 0 0 -0.1087 - 1.3328i 0 0 0 0 0 -0.0321 0 0 0 0 0 -0.0909 一a = 1, 1/4, 1/2, 1/3 4, 1, 2, 1/3 2, 1/2, 1, 1/2 3, 3, 2, 1特征向量 =0.1688 0.3980 -0.0678 - 0.1185i -0.0678 + 0.11
12、85i0.4846 0.1990 -0.1691 + 0.4404i -0.1691 - 0.4404i0.3058 -0.8955 -0.1186 - 0.0845i -0.1186 + 0.0845i0.8019 0.0000 0.8588 0.8588 特征值 =4.2072 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 -0.1036 + 0.9278i 0 0 0 0 -0.1036 - 0.9278i二a = 1, 5, 2, 4 1/5, 1, 2, 3 1/2, 1/2, 1, 2 1/4, 1/3, 1/2, 1特征向量 =-0.8819 -0.9166 -0.9166 -0
13、.5923 -0.3537 0.1236 - 0.3149i 0.1236 + 0.3149i -0.0000 -0.2760 0.1322 + 0.1471i 0.1322 - 0.1471i -0.6516 -0.1449 0.0415 + 0.0674i 0.0415 - 0.0674i 0.4739 特征值 =4.2882 0 0 0 0 -0.1441 + 1.1024i 0 0 0 0 -0.1441 - 1.1024i 0 0 0 0 0.0000 三a = 1, 1/3, 1/2, 1/4 3, 1, 1/2, 2 2, 2, 1, 3 4, 1/2, 1/3, 1特征向量 =
14、0.1903 0.0723 + 0.2268i 0.0723 - 0.2268i -0.0482 0.5065 -0.1701 - 0.2873i -0.1701 + 0.2873i -0.8012 0.7518 -0.7882 -0.7882 0.4379 0.3768 0.3612 - 0.2830i 0.3612 + 0.2830i 0.4050 特征值 =4.3573 0 0 0 0 -0.1266 + 1.2307i 0 0 0 0 -0.1266 - 1.2307i 0 0 0 0 -0.1041 四a = 1, 1/2, 1/3, 2 2, 1, 1/2, 4 3, 2, 1, 3 1/2, 1/4, 1/3, 1特征向量 =0.2809 -0.6350 -0.1041 + 0.0903i -0.1041 - 0.0903i0.5301 0.7620 -0.1907 + 0.4076i -0.1907 - 0.4076i0.7813 0.0000 0.8606 0.8606 0.1722 0.1270 -0.0695 - 0.1819i -0.0695 + 0.1819i
