1、第三章 拉普拉斯变换一、公式及要点1.基本概念双边拉普拉斯变换 （3-1）()()stFsfed单边拉普拉斯变换 （3-2）0t拉普拉斯反变换 （3-3）1()()2jstft式中 s-复变量，亦称“复频率” ， ； - 的像函数。j()Fsft在 S 平面上，使积分（3-1）使绝对收敛，即（3-4）()stfed的 值的范围陈为收敛域。2.常见函数的拉普拉斯变换公式序号 原函数 ，()ft0像函数 1()()Fsft1 2 us3 t 214 atesa5 sin26 cot s3.拉普拉斯反变换部分分式展开法首先将 展成部分分式，然后将各部分分式逐项进行反拉斯变换，最后叠加起来即为()Fs
2、原函数 。ft 102()()mn nbsbapp1( kkss)|iiispF(1,)若 的极点 为 阶极点，则1K1()(NsDsBs112()()(kKKkkAspspB111()|()!ii spdkF(,2)iK留数法留数法是将拉普拉斯反变换的积分运算转换为求被积函数 各极点上留数的运算，即()()2jstfted1Reniis其中 （ 为一阶极点）ReistiipspFi或 （ 为 阶极点）1()()!irsti ipedi2 拉普拉斯的基本性质性质 时域 ft0复频域 ，()Fs01 时间平移 0()uste2 频率频移 stfe3 时域微分 dt ()f4 时域积分 ()f t
3、fdFs5 S 域微分 t ()6 复频域积分 ()ft sd7 时域卷积 12*12()F10 初值 0()lim()listff11 终值 0t二 习题3-1 求下列函数的拉氏变换 31()(atfteu4()sin()tfeu解： atFst对 与 函数之积求拉斯变换，一般要用复频域积分性质t()f 11()()sftFd=31sa1ds1ln|sal 4()i()tFteu利用复频域微分性质 得()Fsftd421()()dss21()3-2 用拉普拉斯变换性质，求下列像函数的原函数 1()ln)sF 221()()seF解：(1) S 域微分性质 (dFs()tf因为 对方程两边同时
4、求导()l1)ls()1dss1()teud所以 )tft因为 11(2)2Fsss所以 )ttfeu根据时间平移特性 =2f11()()ftft(1)2(1)2)(22()tt t tteeueu3-3 用部分分式展开法，求下列像函数的原函数 14()7)()Fss解： 2(s147215()5()ss故 11()ftF742)(5ttteeu3-4 已知像函数 ，试求其原函数3()1s)ft解：像函数 中 表示原函数中的时间延迟，而其分母中 则表示时间函数Fse 31se以 3 为周期的重复函数 1 原函数 (t像函数 原函数 s()1)t所以 31()se()(3(4)(6)(7)ftttttt或直接将 展开F3()1se369()1)ssse467s所以 )()(4(6(7)ftttttt
