1、2011 年研 1101 数学建模方法考试题专业 姓名 班级 学号 1 分别建立作直线运动的纯质量和纯弹簧数学模型并绘图说明（15 分） 。2 建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式，并举例说明可应用于辅助解决哪些工程问题（15 分） 。 3 调研洛阳地区冬季温差，设计一种适合于洛阳地区冬季保温的双层玻璃方案。要求建立同一套房子采暖方式完全相同的情况下的室内外温差情况的数学模型，要求采用双层玻璃窗户房屋热量损失不超过单层玻璃（厚度 5mm）时的 5%，借助编程工具求解优化结果。 （20 分） 。设：厚度为 d 的均匀介质,两侧温度差为 T ,则 Q 与 T 成正比 ,与
2、d 成反比,即 =kT/d，其中: k 为热传导系数。dd l室外T2室内T1TaTbdd室外T2双层窗内层玻璃的外侧温度是 Ta ,外层玻璃的内侧温度是 Tb ,玻璃的厚度和热传导系数分别是 d 和 k1,空气的热传导系数是 k2热量流失 dTklTkkbaa 2121 对于厚度为2 d 的单层玻璃窗,其热量传导方程为： dTk2)(1lh,18在通常情况下 ,建筑规范要求 4。按照这个模型, 3% ,即双层玻dlh璃窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97 % 左右。根据调查，洛阳市冬季标高60米处风载荷标准值为1.28kpa，根据机械设计手册，选取5mm普通浮法玻璃，最大允许面积为
3、2.41平方米，人体冲击安全规定的最大允许面积为3.0平方米，故选用5mm浮法玻璃能够满足强度要求。即：选取d=5mm，l=20mm可满足要求。4 一拖计划在下季度生产甲、乙两种型号的拖拉机。已知每台甲型、乙型拖拉机的销售利润分别为 3 和 2 个单位。而生产一台甲型、乙型拖拉机所耗原料分别为 2 和 3 个单位，所需工时分别为 4 和 2 个单位。若允许使用原料为 100 个单位，工时为 120 个单位，且甲型、乙型拖拉机产量分别不低于 5 台和 10 台。试建立一个数学模型，确定生产甲型、乙型拖拉机的台数，使获利润最大。并求出最大利润（15 分） 。解：设生产甲型彩电 x 台，生产乙型彩电 y 台时，利润最大，则：利润 L=3x+2y；其中 2x+3y100;4x+2y120;x5;y10;即：生产甲型彩电 20 台，生产乙型彩电 20 台时，利润最大，最大利润L=320220=100.5 建立如下图所示的小车上的倒立摆机械系统方程。小车必须处于运动状态才能保持质量 m 始终处于小车上方。系统状态变量应当与旋转角 以及小车的)(t位移有关（15 分） 。倒 倒 倒 倒 倒6 以你课题组所研究的内容阐述可能用到的数学建模方法，举一个例子说明建模过程、求解过程、求解工具及结论（20 分） 。
