1、12008 年全国中考数学压轴题精选(十)91.（08 新疆自治区 24 题） （10 分）某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为 12m，抛物线拱高为 5.6m（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式（2）现需在抛物线 AOB 的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在 AB 上，每扇窗户宽 1.5m，高 1.6m，相邻窗户之间的间距均为 0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为 0.8m请计算最多可安装几扇这样的窗户？（08 新疆自治区 24 题解析）24 （10 分）解：（1）设抛物线的表达式为 2yax
2、1 分点 (65.)B， 在抛物线的图象上 3a743 分抛物线的表达式为 2745yx4 分（2）设窗户上边所在直线交抛物线于 C、D 两点，D 点坐标为（k，t）已知窗户高 1.6m， .6(1.)4t5 分2745k12.0.7 ， （舍去） 6 分 14CD （m ） 7 分又设最多可安装 n 扇窗户 .58()0. 9 分406n答：最多可安装 4 扇窗户 10 分（本题不要求学生画出 4 个表示窗户的小矩形）2图 10 答案图 192.（08 四川资阳 24 题）24 （本小题满分 12 分）如图 10，已知点 A 的坐标是（ 1，0） ，点 B 的坐标是（9，0） ，以 AB 为
3、直径作O ，交 y 轴的负半轴于点 C，连接 AC、BC，过 A、B 、C 三点作抛物线 （1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是 AC 延长线上一点，BCE 的平分线 CD 交 O于点 D，连结BD，求直线 BD 的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点 P，使得PDBCBD?如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由（08 四川资阳 24 题解答）(1) 以 AB 为直径作O，交 y 轴的负半轴于点C，OCA+OCB=90 ，又OCB+OBC=90，OCA=OBC，又AOC= COB=90，AOC COB， OACB又A( 1，0) ， B(9，0)， 9CO，解得
4、 OC=3(负值舍去) C(0，3)，设抛物线解析式为 y=a(x+1)(x9)，3=a(0+1)(09)，解得 a= 13，二次函数的解析式为 y= (x+1)(x9)，即 y= 13x2 8x3 (2) AB 为 O的直径，且 A(1，0) ，B(9，0)，OO=4 ，O(4 ，0)，点 E 是 AC 延长线上一点，BCE 的平分线 CD 交O于点 D，BCD= 12BCE= 90=45，连结 OD 交 BC 于点 M，则BOD=2 BCD=245=90，OO=4， OD= AB=5D(4 ，5) 设直线 BD 的解析式为 y=kx+b（k0） 90,45.kb 解得 1,9.kb直线 B
5、D 的解析式为 y=x9.(3) 假设在抛物线上存在点 P，使得PDB=CBD ，解法一：设射线 DP 交O 于点 Q，则 ABCD分两种情况(如答案图 1 所示 )：O(4，0)，D(4，5) ，B(9，0)，C(0，3)把点 C、D 绕点 O逆时针旋转 90，使点 D 与点 B 重合，则点 C 与点 Q1 重合，因此，点 Q1(7，4)符合 AB，D(4， 5)，Q 1(7，4)，用待定系数法可求出直线 DQ1 解析式为 y= 13x 9解方程组得 2938.yx， 1496xy， ； 2419.6y，图 103图 10 答案图 2图 10 答案图 3点 P1 坐标为( 9412， 941
6、6)，坐标为( 9412， 9416)不符合题意，舍去 Q 1(7，4)，点 Q1 关于 x 轴对称的点的坐标为 Q2(7，4) 也符合 ABCDD(4， 5)，Q 2(7，4)用待定系数法可求出直线 DQ2 解析式为 y=3x17解方程组 23178.yx，得 138xy， ；2145.xy，点 P2 坐标为(14，25)，坐标为(3 ，8)不符合题意，舍去 符合条件的点 P 有两个：P 1( 942， 9416)，P 2(14，25)解法二：分两种情况(如答案图 2 所示) ：当 DP1CB 时，能使PDB=CBDB(9，0)，C(0，3)用待定系数法可求出直线 BC 解析式为 y= 13
7、x3又DP 1CB，设直线 DP1 的解析式为 y= x+n把 D(4， 5)代入可求 n= 93，直线 DP1 解析式为 y= 13x 9解方程组 218.3yx，得14296xy， ； 2491.6y，点 P1 坐标为( 94， 4)，坐标为( 42， 4)不符合题意，舍去 在线段 OB 上取一点 N，使 BN=DM 时，得 NBDMDB(SAS)，NDB=CBD由知，直线 BC 解析式为 y= 13x3取 x=4，得 y= 53，M(4， 5)，ON=OM= 53，N( 17，0)，又D(4 ，5) ， 直线 DN 解析式为 y=3x17解方程组 2178.3yx，得 138xy， ；
8、2145.，点 P2 坐标为(14，25)，坐标为(3 ，8)不符合题意，舍去 符合条件的点 P 有两个：P 1( 92， 96)，P 2(14，25)解法三：分两种情况(如答案图 3 所示) ：求点 P1 坐标同解法二过 C 点作 BD 的平行线,交圆 O于 G,此时，GDB=GCB=CBD由(2)题知直线 BD 的解析式为 y=x9,又 C（0，3）可求得 CG 的解析式为 y=x3,设 G（m,m3） ，作 GHx 轴交与 x 轴与 H，连结 OG,在 RtOGH 中，利用勾股定理可得， m=，由 D（4，5）与 G(7，4) 可得，DG 的解析式为 17yx，4解方程组 23178.y
9、x，得 138xy， ； 2145.，点 P2 坐标为(14，25)，坐标为(3 ，8)不符合题意，舍去 12 分符合条件的点 P 有两个：P 1( 92， 96)，P 2(14，25)94.（08 广东梅州 23 题）23本题满分 11 分如图 11 所示，在梯形 ABCD 中，已知 ABCD， ADDB，AD =DC=CB，AB=4以 AB 所在直线为 x轴，过 D 且垂直于 AB 的直线为 y轴建立平面直角坐标系（1）求DAB 的度数及 A、D 、C 三点的坐标；（2）求过 A、D、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴 L（3）若 P 是抛物线的对称轴 L 上的点，那么使 PDB 为等腰三
10、角形的点 P 有几个? （不必求点 P 的坐标，只需说明理由）（08 广东梅州 23 题解答）解： （1） DCAB，AD=DC=CB， CDB=CBD= DBA， 0.5 分DAB=CBA， DAB=2DBA， 1 分DAB+DBA =90 ， DAB=60 ， 1.5 分DBA=30 ， AB=4， DC=AD=2， 2 分RtAOD，OA=1 ，OD= 3， 2.5 分A（-1，0） ， D（0， ） ，C （2， 3） 4 分（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点 A（1，0） ，B（3，0） ，故可设所求为 y=a （ x+1） （ -3） 6 分将点 D（0，
11、 ）的坐标代入上式得， a= 3所求抛物线的解析式为 y= ).(13x 7 分其对称轴 L 为直线 x=1 8 分（3） PDB 为等腰三角形，有以下三种情况：因直线 L 与 DB 不平行，DB 的垂直平分线与 L 仅有一个交点 P1，P 1D=P1B， P1DB 为等腰三角形； 9 分因为以 D 为圆心，DB 为半径的圆与直线 L 有两个交点 P2、P 3，DB=DP 2，DB=DP 3， P2DB， P3DB 为等腰三角形；5与同理，L 上也有两个点 P4、P 5，使得 BD=BP4，BD= BP5 10 分由于以上各点互不重合，所以在直线 L 上，使 PDB 为等腰三角形的点 P 有
12、5 个95.（08 山东聊城 25 题）25 （本题满分 12 分）如图，把一张长 10cm，宽 8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计） （1）要使长方体盒子的底面积为 48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去 2 个同样大小的正方形和 2 个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方
13、形的边长；如果没有，请你说明理由解：（1）设正方形的边长为 xcm，则(02)84x即 2980解得 18x（不合题意，舍去） ， 21x剪去的正方形的边长为 1cm（2）有侧面积最大的情况设正方形的边长为 cm，盒子的侧面积为 ycm2，则 y与 x的函数关系式为： 2(10)(8)yxx即 2836改写为29184 当 2.5时， 40.5y最 大 即当剪去的正方形的边长为 2.25cm 时，长方体盒子的侧面积最大为 40.5cm2（3）有侧面积最大的情况设正方形的边长为 xcm，盒子的侧面积为 ycm2若按图 1 所示的方法剪折，则 与 x的函数关系式为：022(8)yA即 31696x
14、 当 136x时， 169y最 大 若按图 2 所示的方法剪折，则 y与 的函数关系式为：82(10)yA即 7963x 当 73x时， 983y最 大 比较以上两种剪折方法可以看出，按图 2 所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为 cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为 983cm2第 25 题图图 1第 25 题图图 2696.（08 广东佛山 25 题）25我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形） ，并加以研究.例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行
15、”、 “两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）. (1) 如图 1，在圆 O 所在平面上，放置一条直线 m（ 和圆 O 分别交于点 A、 B） ，根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些（直接写出两个即可）？(2) 如图 2，在圆 O 所在平面上，请你放置与圆 O 都相交且不同时经过圆心的两条直线 m和 n（ 与圆O 分别交于点 A、 B， n与圆 O 分别交于点 C、 D）.请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之 .(3) 如图 3，其中 AB 是圆 O 的直径，AC 是弦，D 是 的中点，弦 DEAB 于点 F.
16、 请找出点 C 和点E 重合的条件，并说明理由.解：(1) 弦（图中线段 AB） 、弧（图中的 ACB 弧） 、弓形、求弓形的面积（因为是封闭图形）等 . (2) 情形 1 如图 21，AB 为弦，CD 为垂直于弦 AB 的直径. 3 分结论：（垂径定理的结论之一）. 4 分情形 2 如图 22，AB 为弦，CD 为弦，且 AB 与 CD 在圆内相交于点 P.结论： PDCBA.情形 3 （图略）AB 为弦，CD 为弦，且 m与 n在圆外相交于点 P.结论： .情形 4 如图 23，AB 为弦，CD 为弦，且 ABCD.结论： = .(3) 若点 C 和点 E 重合，则由圆的对称性，知点 C 和点 D 关于直径 AB 对称. 8 分设 xBA，则 x， xAB90.9 分又 D 是 的中点，所以 ABCCD1802 ，即 )90(182 .10 分解得 3.11 分ABCABOm第 25 题图 1O第 25 题图 2A BOE第 25 题图 3DCFGDCOnDACB m第 25 题图 21PABCAD BCA BOE第 25 题图 3DCFGO第 25 题图 22nDACBmPO第 25 题图 23n DACB m
