1、,1.2 数列的极限(86),3,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,1.2.1 数列极限的概念,1.2 数列的极限(86),4,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,1.2.1 数列极限的概念,1.2 数列的极限(86),5,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,1.2.1 数列极限的概念,1.2 数列的极限(86),6,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,1.2.1
2、数列极限的概念,1.2 数列的极限(86),7,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,1.2.1 数列极限的概念,1.2 数列的极限(86),8,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,1.2.1 数列极限的概念,1.2 数列的极限(86),9,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,1.2.1 数列极限的概念,1.2 数列的极限(86),10,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,1
3、.2.1 数列极限的概念,1.2 数列的极限(86),11,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,1.2.1 数列极限的概念,1.2 数列的极限(86),12,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,1.2.1 数列极限的概念,1.2 数列的极限(86),13,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,播放,1.2.1 数列极限的概念,1.2 数列的极限(86),14,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,欲求圆面积S,先求：,1
4、.2 数列的极限(86),15,2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”-庄子,1.2 数列的极限(86),16,3、数列概念：,例如,1.2 数列的极限(86),17,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,1.2 数列的极限(86),18,播放,4. 数列极限：,1.2 数列的极限(86),19,4. 数列极限：,1.2 数列的极限(86),20,4. 数列极限：,1.2 数列的极限(86),21,4. 数列极限：,1.2 数列的极限(86),22,4. 数列极限：,1.2 数列的极限(86),23,4. 数列极限：,1.2 数列的极限
5、(86),24,4. 数列极限：,1.2 数列的极限(86),25,4. 数列极限：,1.2 数列的极限(86),26,4. 数列极限：,1.2 数列的极限(86),27,4. 数列极限：,1.2 数列的极限(86),28,4. 数列极限：,1.2 数列的极限(86),29,4. 数列极限：,1.2 数列的极限(86),30,4. 数列极限：,1.2 数列的极限(86),31,4. 数列极限：,1.2 数列的极限(86),32,播放,4. 数列极限：,1.2 数列的极限(86),33,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如
6、何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,1.2 数列的极限(86),34,1.2 数列的极限(86),35,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,1.2 数列的极限(86),36,5.几何解释:,其中,1.2 数列的极限(86),37,数列极限的定义未给出求极限的方法。,例 1,证,所以,注意：,1.2 数列的极限(86),38,例 2,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,1.2 数列的极限(86),39,例 3,证,1.2 数列的极限(86),40,例 4,证,1.2 数列的极限(86),4
7、1,例 5,证,1.2 数列的极限(86),42,1.2 数列的极限(86),43,1.2 数列的极限(86),44,1.2 数列的极限(86),45,1.2 数列的极限(86),46,6. 数列极限的性质：,(1) 唯一性,定理 1 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,1.2 数列的极限(86),47,(2) 有界性,例如,有界,无界,故收敛数列极限唯一。,1.2 数列的极限(86),48,定理 2 收敛数列必有界.,证,由定义,1.2 数列的极限(86),49,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,因此，无界数列必发散.,例 6,证,由定义,区间长度为1.,1.2 数列的极限(86),
8、50,不可能同时位于长度为1的区间内.,定理 3（保号性）,证,(3) 保号性,1.2 数列的极限(86),51,1.2 数列的极限(86),52,推论1,(4) 子列的收敛性,1.2 数列的极限(86),53,注意：,如，,引理 收敛数列的任一子列收敛且极限相同,证,在子列 中，一般项 是第 项，而,在原数列 中却是第 项，显然，,设数列 是数列 的任一子数列.,1.2 数列的极限(86),54,1.2 数列的极限(86),55,1.2.2 无穷大与无穷小,1.无穷大,绝对值无限增大的数列称为无穷大.,1.2 数列的极限(86),56,2.无穷小,极限为零的变量称为无穷小.,1.2 数列的极
9、限(86),57,定理 4,如，,证,1.2 数列的极限(86),58,反之，,意义：,将一般极限问题转化为无穷小问题.,1.2 数列的极限(86),59,3.无穷小的运算性质,性质 1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,1.2 数列的极限(86),60,注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,性质 2 有界数列与无穷小的乘积仍是无穷小.,证,1.2 数列的极限(86),61,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,1.2 数列的极限(86),62,性质 3 无穷小除以极限不为零的数列仍是无穷小.,证,1.2 数列的极限(86),63,证,必要性,
10、充分性,1.2 数列的极限(86),64,1.2.3 极限的四则运算,定理 68,1.2 数列的极限(86),65,证（3）,1.2 数列的极限(86),66,推论 4,推论 5,定理 9,1.2 数列的极限(86),67,例 7,解,先变形再求极限.,1.2 数列的极限(86),68,例 8,解,由于上式分母的极限为零，即,因此，商的法则不可用，但原式的倒数有极限：,1.2 数列的极限(86),69,解,所以,例 9,1.2 数列的极限(86),70,解,所以，,例 10,1.2 数列的极限(86),71,1.2.4 极限存在准则,1. 夹逼准则,证,1.2 数列的极限(86),72,上两式
11、同时成立,注意：,1.2 数列的极限(86),73,例 11,解,由夹逼定理得,1.2 数列的极限(86),74,例 12,解,显然,由于,所以,1.2 数列的极限(86),75,例 13,证,由于,1.2 数列的极限(86),76,例 14,解,1.2 数列的极限(86),77,2. 单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,1.2 数列的极限(86),78,例 15,证,(舍去),1.2 数列的极限(86),79,证,例 16,1.2 数列的极限(86),80,类似地,1.2 数列的极限(86),81,特记：,1.2 数列的极限(86),82,1.2.5 小结与思考题,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;,收敛数列的性质:有界性、唯一性、子数列的收敛性.,1、小结,1.2 数列的极限(86),83,2、思考题,证明,要使,只要使,从而由,得,取,当 时，必有 成立,1.2 数列的极限(86),84,思考题解答,（等价）,证明中所采用的,实际上就是不等式,即证明中没有采用“适当放大” 的值,1.2 数列的极限(86),85,从而 时，,仅有 成立，,但不是 的充分条件,反而缩小为,1.2 数列的极限(86),86,课堂练习题,
