1、广西工业职业技术学院教案首页 顺序号（ ）课程名称 数学模型主讲教师 职称系、部教研室授课方式理论课（ ）习题课（ ）实践课（ ）授课班级及时间教学手段常 规（ ）多媒体（ ）语音室（ ）本次课教学标题和提纲2.双层玻璃的功效一、问题提出二、问题分析三、模型假设四、符号说明五、模型建立六、模型求解七、模型分析八、模型应用本次课教学重点、难点重点：建立数学模型说明双层窗比单层窗能有效减少热量的流失难点：建立热量流失的数学模型布置作业课后记注：教案按两学时为单元填写，每次授课均应编写一份教案。12.双层玻璃的功效一、问题提出冬天，北方室外温度低，室内供暖以便生活工作，为了保暖，即减少室内向室外的热
2、量流失，从而节约能源，常将单层玻璃窗改为双层玻璃窗，即窗户上装两层厚度为 的玻璃夹着一层厚度为 的空气，如下图 2.1 所示。试建立数dl学模型说明，当建筑物室内外的热传递处于一个热力学平衡状态时，双层玻璃窗比单层玻璃窗更能有效地减少热量的流失，并问两层玻璃之间的距离多少为好？二、问题分析1热力学的相关知识为了解决这个问题，首先应想到这是一个属于哪个领域里的问题？应涉及哪些数学知识和相关领域里的知识？此属于热力学的问题，涉及到热传导的理论。由热力学知道，热量的传递主要有三种方式：热传导、热对流和热辐射。热传导 : 温度高的物体通过接触将热量传递给温度低的物体的热传递方式，例如汽车发动机的散热。
3、热传导方式局限于固体和液体，气体之间能量的传递称为热扩散。热传导的基本公式为“ ”。其中 是传导的热量； 为/QKATLQK材料的热传导系数， 是两物体的接触面积， 是两端的温度差， 是两端的L室外 T2室内 T1室外 T2室内 T1图 2.2图 2.12距离。因此，从公式我们就可以发现，热量传递的大小同热传导系数、热传热面积成正比，同距离成反比。热对流 :流体(气体或液体)与温度高的固体的表面接触，流动的流体从固体表面将热带走的热传递方式。例如电脑机箱的散热。 热对流的公式为“ ”。其中 是热量，也就是热对流所/QHATLQ带走的热量； 为热对流系数， 则代表热对流的有效接触面积； 代表固T
4、体表面与区域流体之间的温度差。可以看出，在热对流传递中，热量传递的数量同热对流系数、有效接触面积和温度差成正比关系；热对流系数越高、有效接触面积越大、温度差越高，所能带走的热量也就越多。热辐射 : 热辐射是一种可以在没有任何介质的情况下，不需要接触，就能够发生热交换（将热能从热源向外界发散出去）的传递方式，热辐射是以波的形式进行热交换。例如太阳辐射。这三种散热方式都不是孤立的，在日常的热量传递中，这三种散热方式一般都是同时发生，共同发挥作用的。为简便起见，这里只考虑热传导 。2热传导平衡的含义为了比较单、双层玻璃的保温效果，可只考虑室内、外温度衡定的情况。这时，热量流经空间的每一点处的温度都是
5、衡定的，热量的流动呈稳定状态，即稳流，就像水在管子里流动一样不会堆积。3热传导过程中的温度分布图图 2.3 为室内温度为 、室外温度为 时单层玻璃的温度分布图。20C 30C图 2.4 为室内温度为 、室外温度为 时，双层玻璃的温度分布图。 图 2.3 图 2.434所要解决的问题双层玻璃的保温功效是显然的，如果不建立数学模型，就无法定量地说清楚。这个问题的已知条件是室内温度高于室外温度，室内外有温度差；热传导处于平衡状态。要解决的问题是：我们要建立一个数学模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，即将流失的热量写成其他量的函数或表达式。并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如图
6、2.2，玻璃厚度为 ）2d的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果；并分析两层玻璃之间应取多大的距离，效果最佳。三、模型假设1热量的传播过程只有传导，没有对流，即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的、干燥的；2室内温度 和室外温度 保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿1T2T热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；3玻璃材料均匀，热传导系数是常数。四、符号说明室内温度1T室外温度2单层玻璃厚度d两层玻璃之间的空气厚度l内层玻璃的外侧温度aT外层玻璃的内侧温度b热传导系数k热量损失Q五、模型建立由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的
7、物理规律：厚度为 的均匀介质，两侧温度差为 ，则单位时间由温度高的一侧向温dT4度低的一侧通过单位面积的热量 与 成正比，与 成反比，即QTd（1）dTkQ其中 为热传导系数。k1双层玻璃热量流失的数学模型记双层窗内窗玻璃的外侧温度为 ，外层玻璃的内侧温度为 ，玻璃的热aTbT传导系数为 ，空气的热传导系数为 ，由（1）式单位时间单位面积的热量1k2k传导（热量流失）为（三次传导的热量相等）：（2）1 221abTTQkkkdld由 及 可得 ，再代入1akd1b 112()abQk就可将（2）中 、 消去，变形可得：12abTlaTb（3）1212() , ,kklQshdsd2单层玻璃热量
8、流失的数学模型对于厚度为 的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为（只有一次传导）：（4）122TQkd3双层玻璃窗和单层玻璃窗热量流失的比较模型比较（3） （4）有： （5）12Qs显然， 。12Q4双层玻璃窗比单层玻璃窗减少热量流失的数学模型单位时间、单位面积双层玻璃比单层玻璃窗减少热量流失的量为（6）2112()Qss六、模型求解1模型（5）求解5为了获得更具体的结果，我们需要 的数据，从有关资料可知，不流通、21,k干燥空气的热传导系数 （焦耳/厘米.秒.度） ，常用玻璃的热传导4205.k系数 （焦耳/厘米.秒.度） ，于是3311804k 32162k在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多
9、少热量损失时，我们作最保守（选取热传导系数最小的玻璃）的估计，即取 ，由（3） （5）可得：162k（7）12 8Qlhd2模型（6）求解， （8）()81shlhd七、模型分析1模型（7）分析比值 反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与 有12Q dlh关，图 2.5 给出了 的曲线，当 增加时， 迅速下降，减少热量12hh12Q流失效果明显， 值选得小，则没有物尽其用；而当 超过一定值（比如 ）h40.060.030.02hQ1/Q2420 6图 2.56后 下降缓慢，减少热量流失效果不明显，可见 不宜选得过大以免浪费。12Qh2模型（8）分析下面用 关于 的图形来说明随着双层玻璃
10、窗之间的空气厚度 与玻璃厚()h l度 的比 的增加， 的变化情况。d()从图 2.6 明显地看出，随着 的增加， 的值逐渐增加，且越来越接近h()h1，说明减少热量流失的效果较好。这与我们平常想到的是一致的，但是，这个比值大于 4 以后效果就不明显了。所以一般取 4 倍，这就大大地节省了空间和造价，同时采光效果也有显著的提高。八、模型的应用这个模型具有一定的应用价值。制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的。通常，建筑规范要求 。4dlh按照这个模型， ，即双层玻璃窗比用同样多的玻璃材料制成的单层123%Q窗节约热量 97%左右。不难发现，之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数 ，而这要求空气是干燥、不流通的。作为模型假设的这2k个条件在实际环境下当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果差一些。思考题：你认为建模解决本问题的关键点是什么？图 2.6
