1、第 1 页 共 6 页南昌大学第六届高等数学竞赛(理工类)试题答案 一、 单项选择题(每题 3 分，共 15 分) 1、B. 2、D. 3、A. 4、A. 5、C.二、 选择题(每空 3 分，共 15 分) 1、1. 2、 . 3、 . 4、8 . 5、 . 2xf sec204rdfda三、求由方程 所确定的函数 在 内的极值，并判断是极大yxy,0值还是极小值. 对 两边求导得 ，032xy230xyxy， 2令 得 ，代入原方程解得 . 0yx1,84xy21 12, ,084 8436xy xyxy = 320. 故当 时， 取极大值 . 8xy4第 2 页 共 6 页四、 设 ，求
2、, .xyu1arctnu2x= , 221yxy 21x= . 2xu21五、 计算曲线积分 ，其中 是以点（1，0）为中心， 为半径的圆周LyxdI24LR,取逆时针方向.,0R1, , 当 时, 24,yxP24yxQ0xxQyxP24当 时 ,由格林公式知, . 10RD0, I当 时, ,作足够小的椭圆曲线 , 从 到 . sinco2:yxC02当 充分小时, 取逆时针方向,使 ,于是由格林公式得 ， 0CD042CLyxd因此 Lyxd24yxd24= d201= 第 3 页 共 6 页六、设函数 在 内具有连续的导数，且满足xf,0，422tdxyfyxtfD其中 是由 所围成
3、的闭区域，求当 时 的表达式.D22y,0f240tftdrft= , 34t两边对 求导得t，且 ， 34ftft0f这是一个一阶线性微分方程，解得 . 41tfte七、设 ，求级数 的和. dxan0si11nna令 , 则txdttn0si= . n0si2nnatd. 220sitd. 11nan= = , 11nkkSa1nkklimn第 4 页 共 6 页八、设 在 上连续且单调增加，试证：对任意正数 ， ，恒有fx,0 ab.bba dxfxfdxf0021令 ， Ft则 , 0xftf= babd0bxaftdfxbaff= ,2xd于是 . 0011b baaxfdFfxfx
4、d 九、设 具有连续偏导数，由方程 =0 确定隐函数 ，求vu,bzyax,yxz,.yzbxa两边对 求偏导得 , 120zzxxAA两边对 求偏导得 , y1abyy， , 12zxab21zx=1. y第 5 页 共 6 页十、设 ，判别数列 的敛散性. nnx1212 nx定义 ，令 ，则 ,0kkux1kux当 时， , 2n12nnn=. 211n, 1lim4nu由 可知 收敛，从而 收敛. 1n1nunx十一、设半径为 的球面 的球心在球面 ： 上，问当 为何r0220xyzRr值时，球面 在球面 内部的那部分面积最大？0由对称性可设 的方程为 ，球面 被球面 所割部分的方程为
5、22xyzRr0， 2zRr, , 2xy22zrxy. 21zx2球面 与球面 的交线在 平面的投影曲线方程为 ，令0xoy 422rxyR42rlR所求曲面面积为 , 222201lDzrSdxydx = . 2r令 得驻点 , 0Sr43rR容易判断当 时，球面 在球面 内部的那部分面积最大.0第 6 页 共 6 页十二、 （本题满分 8 分）注：科技学院考生只作第 1 题, 其他考生只作第 2 题. 1.计算 ，其中曲线弧 为： ， . dsyxIL2Lxy0, (1) x, 21， (2) 21dsyxdx将(1)、(2)代入 得sIL2dxx201= =4. 2.计算曲面积分 ，其中 是曲面33221Ixdyzxzdxy被平面 所截出部分的上侧. 21yxz0记 为 平面上被园 所围成的部分的下侧， 为由 与 围成的空间o210闭区域.由高斯公式知133 26dzxzdxyxyzdv A= 221006rz= 321rd=2 . =3 2133212xyxdyzxz I
