1、 - 1 -中考真题及评分标准1、 （本题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= 32x+ b+c经过 A（0，4） 、B（ x1，0） 、 C（ 2，0）三点，且2- x1=5（1）求 b、 c的值；（4 分）（2）在抛物线上求一点 D，使得四边形 BDCE 是以 BC 为对 角线的菱形；（3 分）（3）在抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 BPOH 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点 P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由 （3 分）解：（1）抛物线 y= 32x+ b+ c经过点 A（0，4） ， c=4 1 分又由题意可知， 、 2是方程
2、2+ x+ =0 的两个根， x1+ 2= 3b， x1= 3c=62 分由已知得（ - ） 2=25又（ x2- 1） =（ x2+ 1） 24 x12= 9b24 49b24=25 解得 = 3 3 分当 = 1时，抛物线与 x轴的交点在 x轴的正半轴上，不合题意，舍去 b= 4 4 分（2）四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点 D 必在抛物线的对称轴上， （第 25 题图）AxyB C O- 2 -5 分又 y= 32x 144= 32（ x+ 7） 2+ 65 6 分抛物线的顶点（ 7， 65）即为所求的点 D 7 分（3）四边形 BPOH 是以 OB 为对
3、角线的菱形，点 B 的坐标为（6，0） ，根据菱形的性质，点 P 必是直线 x=-3 与抛物线 y= 32x- 14-4 的交点， 8 分当 =3 时， = （3） 2 14（3）4=4， 在抛物线上存在一点 P（3，4） ，使得四边形 BPOH 为菱形 9 分四边形 BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形 BPOH 为正方形，点 P 的坐标只能是（3，3） ，但这一点不在抛物线上10 分- 3 -2、 （广东肇庆 25 题） （本小题满分 10 分）已知点 A（a， 1y） 、B（2a，y 2） 、C （3a，y 3）都在抛物线 xy125上.（1）求抛物线与 x 轴的交点坐标；（2）当
4、a=1 时，求ABC 的面积；（3）是否存在含有 1y、y 2、y 3，且与 a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.解（1）由 5 x12=0， （1 分）得 0x， （2 分）抛物线与 x 轴的交点坐标为（0，0） 、 （ 512，0） （3 分）（2）当 a=1 时，得 A（1，17） 、B（2，44） 、C（3，81） ， （4 分）分别过点 A、B、C 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E、F，则有S=S DF梯 形 - AEBS梯 形 - FC梯 形 （5 分）= 2)817(- 1)4(- 2)8(（6 分）=5（个单位面积） （7 分）（3）如：
5、 )(312yy （8 分）事实上， )3(52a =45a2+36a 3（ 12y）=35（2a） 2+122a-（5a 2+12a） =45a 2+36a （9 分） )(y （10 分）- 4 -3、 （新疆自治区 24 题） （10 分）某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为 12m，抛物线拱高为 5.6m（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式（2）现需在抛物线 AOB 的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在 AB 上，每扇窗户宽 1.5m，高 1.6m，相邻窗户之间的间距均为 0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到
6、抛物线的水平距离至少为 0.8m请计算最多可安装几扇这样的窗户？解：（1）设抛物线的表达式为 2yax1 分点 (65.)B， 在抛物线的图象上 3a743 分抛物线的表达式为 2745yx4 分（2）设窗户上边所在直线交抛物线于 C、D 两点，D 点坐标为（k，t）已知窗户高 1.6m， .6(1.)4t.5 分2745k12.0.7 ， （舍去）.6 分 14CD （m ）.7 分又设最多可安装 n 扇窗户 .58()0. .9 分406n答：最多可安装 4 扇窗户 10 分（本题不要求学生画出 4 个表示窗户的小矩形）- 5 -4、 （广东梅州 23 题）23本题满分 11 分如图 11
7、 所示，在梯形 ABCD 中，已知 ABCD， ADDB，AD=DC=CB，AB=4以 AB 所在直线为 x轴，过 D 且垂直于 AB 的直线为 y轴建立平面直角坐标系（1）求DAB 的度数及 A、D 、C 三点的坐标；（2）求过 A、D、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴 L（3）若 P 是抛物线的对称轴 L 上的点，那么使 PDB 为等腰三角形的点 P 有几个?（不必求点 P的坐标，只需说明理由）解： （1） DCAB，AD=DC =CB， CDB=CBD= DBA， 0.5 分DAB=CBA， DAB=2DBA， 1 分DAB+DBA =90 ， DAB=60 ， 1.5 分DBA=30
8、 ， AB=4， DC=AD=2， 2 分RtAOD，OA=1 ，OD= 3， 2.5 分A（-1，0） ， D（0， ） ，C （2， 3） 4 分（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点 A（1，0） ，B（3，0） ，故可设所求为 y= a （ x+1） （ -3） 6 分将点 D（0， ）的坐标代入上式得， a= 3所求抛物线的解析式为 y= ).(13x 7 分其对称轴 L 为直线 x=1 8 分（3） PDB 为等腰三角形，有以下三种情况：因直线 L 与 DB 不平行，DB 的垂直平分线与 L 仅有一个交点 P1，P 1D=P1B， P1DB 为等腰三角形； 9
9、 分因为以 D 为圆心，DB 为半径的圆与直线 L 有两个交点 P2、P 3，DB=DP 2，DB=DP 3， P2DB， P3DB 为等腰三角形；与同理，L 上也有两个点 P4、P 5，使得 BD=BP4，BD= BP5 10 分由于以上各点互不重合，所以在直线 L 上，使 PDB 为等腰三角形的点 P 有 5 个- 6 -5、 （湖北十堰 25 题）已知抛物线 baxy2与 轴的一个交点为 A(-1,0)，与 y 轴的正半轴交于点 C直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与 轴的另一个交点 B 的坐标；当点 C 在以 AB 为直径的P 上时，求抛物线的解析式；坐标平面内是否存在点 M，使得以点
10、M 和中抛物线上的三点 A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由解：对称轴是直线： 1x，点 B 的坐标是(3,0) 2 分说明：每写对 1 个给 1 分， “直线”两字没写不扣分如图，连接 PC，点 A、B 的坐标分别是 A(-1,0)、B (3,0)，AB4 PC242在 RtPOC 中，OPPAOA211， O32b 3 3 分当 01yx时， a02 ，a3 4 分 xy32 5 分存在6 分理由：如图，连接 AC、BC设点 M 的坐标为 ),(yx当以 AC 或 BC 为对角线时，点 M 在 x 轴上方，此时 CMAB，且 CMAB由知，
11、AB4，|x|4， 3OCyx4点 M 的坐标为 ),4(),(或 9 分- 7 -说明：少求一个点的坐标扣 1 分当以 AB 为对角线时，点 M 在 x 轴下方过 M 作 MNAB 于 N，则MNBAOC90四边形 AMBC 是平行四边形，ACMB，且 ACMBCAOMBNAOCBNMBNAO1，MNCO 3OB3，0N312点 M 的坐标为 (,3) 12 分说明：求点 M 的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，然后求交点 M 的坐标的方法均可，请参照给分综上所述，坐标平面内存在点 ，使得以点 A、B、C、M 为顶点的四边形是平行四边形其坐标为 123(4,3)(,)(2,)说
12、明：综上所述不写不扣分；如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。- 8 -6、 （江苏镇江 28 题） （本小题满分 8 分）探索研究如图，在直角坐标系 中，点 为函数 在第一象限内的图象上的任一点，点 的坐标为xOyP214yxA，直线 过 且与 轴平行，过 作 轴的平行线分别交 轴， 于 ，连结 交(01)， l(01)B， xlCQ，轴于 ，直线 交 轴于 xHR（1）求证： 点为线段 的中点；AQ（2）求证：四边形 为平行四边形；P平行四边形 为菱形；R（3）除 点外，直线 与抛物线 有无其它公共点？并说明理由H214yx（1）法一：由题可知 AOCQ， ，90A （1
13、分）H ，即 为 的中点 （2 分）OCAQ法二： ， ， （1 分）(01)， ()B， OB又 轴， （2 分）Qx H（2）由（1）可知 ， ，AQRHP， ，ARP P （3 分）H ，Q又 ， 四边形 为平行四边形 （4 分）ARP APR设 ， 轴，则 ，则 214m， y (1)Qm， 214Pm过 作 轴，垂足为 ，在 中，GytGxlQCPAOB HRy- 9 -22211144APGmmPQ平行四边形 为菱形 （6 分）QR（3）设直线 为 ，由 ，得 ， 代入得：ykxbOHC2， 214m，直线 为 （7 分）201.4mkb， 21.4mb， PR2yx设直线 与抛物线的公共点为 ，代入直线 关系式得：PR2x， ，解得 得公共点为 22104mx21()04mx214m，所以直线 与抛物线 只有一个公共点 （8 分）PH2yxP
