1、因式分解的常用方法 方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍 一、提公因式法 .： ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、 运用公式法 . 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式
2、，例如： （ 1） (a+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a b)2 = a2 2ab+b2 a2 2ab+b2=(a b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 下面再补充两 个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 例 .已知 a b c， ，
3、是 ABC 的三边，且 2 2 2a b c a b b c ca ， 则 ABC 的形状是 （ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解： 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2a b c a b b c c a a b c a b b c c a 2 2 2( ) ( ) ( ) 0a b b c c a a b c 三、分组分解法 . （一）分组后能直接提公因式 例 1、分解因式： bnbmanam 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将
4、前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式 = )()( bnbmanam = )()( nmbnma 每组之间还有公因式！ = )( banm 例 2、分解因式： bxbyayax 5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式 = )5()102( bxbyayax 原式 = )510()2( byaybxax = )5()5(2 yxbyxa = )2(5)2( baybax = )2)(5( bayx = )5)(2( yxba （二）分组后能直接运用公式 例 3、分解因式： ayaxy
5、x 22 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式 = )()( 22 ayaxyx = )()( yxayxyx = )( ayxyx 例 4、分解因式： 222 2 cbaba 解：原式 = 222 )2( cbaba = 22)( cba = )( cbacba 四、十字相乘法 . （一）二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式 )()(2 qxpxpqxqpx 进行分解。 特点：（ 1）二次项系数是 1； （ 2）常数项是两个数的乘积； （ 3）一次项系数是常数项的两因数的和。 例 5、分解因式： 652
6、 xx 分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。 由于 6=2 3=(-2) (-3)=1 6=(-1) (-6)，从中可以发现只有 2 3 的分解适合，即2+3=5。 1 2 解： 652 xx = 32)32(2 xx 1 3 = )3)(2( xx 1 2+1 3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。 例 6、分解因式： 672 xx 解：原式 = )6)(1()6()1(2 xx 1 -1 = )6)(1( xx 1 -6 （ -1） +（ -6） = -7 （二）二次项系数不为 1 的二次三项式 cbxax
7、2 条件：（ 1） 21aaa 1a 1c （ 2） 21ccc 2a 2c （ 3） 1221 cacab 1221 cacab 分解结果： cbxax 2 = )( 2211 cxacxa 例 7、分解因式： 10113 2 xx 分析： 1 -2 3 -5 （ -6） +（ -5） = -11 解： 10113 2 xx = )53)(2( xx （三）二次项系数为 1 的齐次多项式 例 8、分解因式： 22 1288 baba 分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解： 22 128
8、8 baba = )16(8)16(82 bbabba = )16)(8( baba 练习 8、分解因式 (1) 22 23 yxyx (2) 22 86 nmnm (3) 22 6baba （四）二次项系数不为 1 的齐次多项式 例 9、 22 672 yxyx 例 10、 2322 xyyx 1 -2y 把 xy 看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式 = )32)(2( yxyx 解：原式 = )2)(1( xyxy 练习 9、分解因式：（ 1） 22 4715 yxyx （ 2） 8622 axxa 五、换元
9、法。 例 13、分解因式（ 1） 2 0 0 5)12 0 0 5(2 0 0 5 22 xx （ 2） 2)6)(3)(2)(1( xxxxx 解：（ 1）设 2005=a ，则原式 = axaax )1( 22 = )(1( axax = )2 0 0 5)(12 0 0 5( xx （ 2） 型如 eabcd 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式 = 222 )65)(67( xxxxx 设 Axx 652 ，则 xAxx 2672 原式 = 2)2( xAxA = 22 2 xAxA = 2)( xA = 22 )66( xx 例 14、分解因式（ 1） 262 23
10、4 xxxx 观察：此多项式的特点 是关于 x 的降幂排列，每一项的次数依次少 1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。 方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。 解：原式 = )1162(222 xxxxx = 6)1()1(2222 xxxxx设 txx 1 ，则 21 222 txx原式 = 6)22 22 ttx （ = 102 22 ttx = 2522 ttx = 215222 xxxxx= 21522 xxxxxx= 12252 22 xxxx = )2)(12()1( 2 xxx （ 2） 144 234 xxxx 解：原式 = 22241(
11、 4 1 )x x x xx = 1141222 xxxxx设 yxx 1 ，则 21 222 yxx原式 = 22( 4 3)x y y= 2 ( 1)( 3)x y y = )31)(11(2 xxxxx = 131 22 xxxx 六、添项、拆项、配方法。 例 15、分解因式（ 1） 43 23 xx 解法 1 拆项。 解法 2 添项。 原式 = 331 23 xx 原式 = 4443 23 xxxx = )1)(1(3)1)(1( 2 xxxxx = )44()43( 2 xxxx = )331)(1( 2 xxxx = )1(4)4)(1( xxxx = )44)(1( 2 xxx
12、= )44)(1( 2 xxx = 2)2)(1( xx = 2)2)(1( xx （ 2） 3369 xxx 解：原式 = )1()1()1( 369 xxx = )1()1)(1()1)(1( 333363 xxxxxx = )111)(1( 3363 xxxx = )32)(1)(1( 362 xxxxx 七、待定系数法。 例 16、分解因式 6136 22 yxyxyx 分析：原式的前 3 项 22 6yxyx 可以分为 )2)(3( yxyx ，则原多项式必定可分为)2)(3( nyxmyx 解：设 6136 22 yxyxyx = )2)(3( nyxmyx )2)(3( nyxm
13、yx = mnymnxnmyxyx )23()(6 22 6136 22 yxyxyx = mnymnxnmyxy )23()(6 22 对比左右两边相同项的系数可得613231mnmnnm ，解得 32nm原式 = )32)(23( yxyx 例 17、（ 1）当 m 为何值时，多项式 6522 ymxyx 能分解因式，并分解此多项式。 （ 2）如果 823 bxaxx 有两个因式为 1x 和 2x ，求 ba 的值。 （ 1 ）分析：前 两项可以 分解为 )( yxyx ，故 此多项式 分解的形式 必为)( byxayx 解：设 6522 ymxyx = )( byxayx 则 6522 ymxyx = abyabxbayx )()(22 比较对应的系数可得：65ababmba ，解得：132mba 或132mba 当 1m 时，原多项式可以分解； 当 1m 时，原式 = )3)(2( yxyx ； 当 1m 时，原式 = )3)(2( yxyx （ 2）分析： 823 bxaxx 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如 cx 的一次二项式。 解：设 823 bxaxx = )(2)(1( cxxx 则 823 bxaxx = cxcxcx 2)32()3( 23 82323ccbca解得4147cba， ba =21
