1、1排列组合题型拓展一、涂色问题1、引例：引例 1(2001 年全国高中数学联赛第 12 题) 在一个正六边形的 6 个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有四种不同的植物可供选择，则有_种栽种方案引例 2(2003 年全国高考 新课程卷理工第 15 题) 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图） ，现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种 （以数字作答）引例 2分析： 首先栽种第 1 部分，有 种栽种方法；14C然后问题就转化为用余下 3 种颜色的花，去栽种周围的 5 个部分（如右
2、图所示） ，此问题和引例 1 是同一题型，因此我们有必要对这一题型的解法做一深入探讨。2、剖析为了深入探讨这一题型的解法，（1）让我们首先用 m（m3）种不同的颜色（可供选择） ，去涂 4 个扇形的情形（要求每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色） ，如图所示以 1 和 3（相间）涂色相同与否为分类标准： 1 和 3 涂同一种颜色，有 m 种涂法；2 有 m1 种涂法， 4 也有 m1种涂法， 共有 种涂法。(1) 1 和 3 涂不同种颜色，有 种涂法；2 有 m2 种涂法，4 也有 m2 种涂法，mA 共有 种涂法。2()综合和，共有 + 种涂法。12()m4326（）下面来分析引例 1(
3、2001 年全国高中数学联赛第 12 题)在一个正六边形的 6 个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有四种不同的植物可供选择，则有_种栽种方案以 A、C、E（相间）栽种植物情况作为分类标准： A、C、E 栽种同一种植物，有 4 种栽法；B、D、F 各有 3 种栽法， 共有 4333108 种栽法。B、D、F 共有322 种栽法（：若 A、C 栽种同一种植物，则 B 有 3 种栽法，D 、F 各有 2 种栽法） ，2A、C、E 种 3 种植物，有 栽法；B、D、F 各有 2 种栽法， 共有 222192 种栽法。34A34A综合、，共有 108+432+
4、192=732 种栽法。（）上述(1)、(2) 给出了“设一个圆分成 P1，P 2，Pn，共 n（n 为偶数）个扇形，用 m 种不同的颜色对这 n 个扇形着色（m3 ，n3） ，每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法”这类问题的一般解题思路：即 以相间扇形区域的涂色情况作为分类标准，再计算其余相间扇形区域的涂色种数。（4） 那么， “设一个圆分成 P1，P 2，Pn，共 n（n 为奇数）个扇形，用 m 种不同的颜色对这 n 个扇形着色（m3，n3） ，每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的解题思路又如何呢？分析： 对 扇形
5、P1 有 m 种涂色方法，扇形 P2 有 m1 种涂色方法，扇形 P3 也有 m1 种涂色方 法，扇形 Pn 也有 m1 种涂色方 法于是，共有 种不同的涂色方法。但是，这种涂色方法可能出现 P1 与 Pn 着色相()同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从 中减去这些不符合题意的涂色方1()nm法。那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把 P1 与 Pn 看作一个扇形，其涂色方法相当于用 m 种颜色对 n1（n1 为偶数）个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙） 。而用 m 种颜色对偶数个扇形的涂色问题，已在上述的（）中给出了解题思路。下面，就让我们把这种解题思路应用于引例 2(2
6、003 年全国高考 新课程卷理工第 15 题)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图） ，现要栽 种 4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种 （以数字作答）分析： 首先栽种第 1 部分，有 种栽种方法；14C然后问题就转化为用余下 3 种颜色的花，去栽种周围的 5 个部分（如右图所示） ，对 扇形 2 有 3 种栽种方法， 扇形 3 有 2 种栽种方法，扇形 4 也有 2 种栽种方法， 扇形 5 也有 2 种栽种方法，扇形 6 也有 2 种栽种方法于是，共有 种不同的栽种方法。但是，这种栽种方法可能出现区4域 2 与 6 着色相同
7、的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从 中减去这些不符合题意的栽种方法。432这时，把 2 与 6 看作一个扇形，其涂色方法相当于用 3 种颜色的花对 4 个扇形区域栽种（这种转换思维相当巧妙） 。而用 3 种颜色的花对 4 个扇形区域的栽种问题，已在上述的（1）中解决了。综合和，共有 种栽法。2332(1)(81)3012CA当然此式中的 18 也可以直接用（1）中的公式算出：即13A34326m43263183、拓展上面，我们分别就 n 为偶数和奇数给出了“设一个圆分成 P1，P 2，Pn，共 n 个扇形，用 m 种不同的颜色对这 n 个扇形着色（m 3，n3） ，每一个扇形着一种颜色，
8、相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的解题思路。那么，这类问题有没有更为一般的解法（即通法）呢？ n 为不小于 3 的整数分析： 设 为符合要求的对 n 个扇形的涂色方法。na对 扇形 P1 有 m 种涂色方法，扇形 P2 有 m1 种涂色方法，扇形 P3 也有 m1 种涂色方法，扇形 Pn 也有 m1 种涂色方法于是，共有 种不同的涂色方法。但是， ，因为这种涂色方法()n na1()nm可能出现 P1 与 Pn 着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从 中减去这1()n些不符合题意的涂色方法。那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把 P1 与Pn
9、看作一个扇形，其涂色方法相当于用 m 种颜色对 n1 个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙） ，不同的涂色方法有 种，于是，有1na （n3） ， 显然， na()m 3(1)2am上述的式就是数列的递推公式，由此，我们就可以推导出 的通项公式：n （读者若对这一推导有困难，我可以在人教论坛n(1)(1)()n的“高中数学论坛” http:/chat.pep. 中发帖）至此，我们就找到了“设一个圆分成 P1，P 2，Pn ，共 n 个扇形，用 m 种不同的颜色对这 n 个扇形着色（m3，n 3） ，每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的通项公式：即 na
10、(1)(1)(3)mn注意：上述问题中的 m 种颜色是可供选择的，而不是全部都要用上的。4、迁移练习1(2003 年全国高考新课程卷 理工第 15 题改编)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图） ，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，现有 5 种不同颜色的花可供选择，则不同的栽种方法有_种； 若要求 5 种不同颜色的花全部栽种，则不同的栽种方法有_种（以数字作答）42(2001 年全国高中数学联赛第 12 题改编)在一个正六边形的 6 个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有四种不同的植物可供选择，则有_种栽种方案；若要求四
11、种不同的植物全部栽种，则有_种栽种方案 参考答案：11200，600 ； 2732，480 待续附：第十章复习小结第十章复习小结一 知识系统二 知识要点(一).两个计数原理:1.分类计数原理:做一件事,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有m1 种不同的方二项式定理 二项式展开式 通项公式二项式系数应用概率随机事件的概率 等可能事件的概率互斥事件有一个发生的概率相互独立事件同时发生的概率相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验应用排列、组合 两个计数原理组合应用排列数公式排列的概念排列应用题组合数公式组合的概念组合数性质组合应用题排列组合应用5法,在第二类办法中有 m2 种不同的方法 ,在第
12、 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N= m1+ m2+ m2+ mn 种不同的方法 .(分类满足的条件是不重不漏).2.分步计数原理:做一件事,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,做第 n 步有 mn 种不同的方法 ,那么完成这件事共有 N= m1 m2 m2 mn 种不同的方法.( 注意分步的标准,既不重步也不漏步).3.注意:两个原理是解决以后问题的基础 ,多数的问题在解决的最后,都可以归结到这两个原理上来,特别要注意分步与分类的区别.(二)排列1.排列的定义:从 n 个不同元素中 ,任取 m(mn)个元素(
13、被取出的元素各不相同),按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个元素中取出 m 个元素的一个排列 (有序性是排列的本质 ).2.排列数的定义:从 n 个元素中取出 m(mn)个元素的所有排列的个数 ,叫做从 n 个元素中取出 m 个元素的排列数,用符号 表示.A3.排列数公式:(1)当 mn 时,排列称为选排列,排列数为 (必须熟记.)(1)2(1)mnAnm(2)当 m=n 时,排列称为全排列,排列数为 .规定 .3! 0(3)排列数公式的另一种形式: (在计算,化简 ,证明中用途比较大).!)mn(4)两个性质: ; .1mnA1mnnA(三).组合1.组合的定义:从 n 个不同元素中 ,任
14、取 m(mn)个元素并成一组 ,叫做从 n 个元素中取出 m 个元素的一个组合(组合中的元素与顺序无关).2.组合数的定义:从 n 个元素中取出 m(mn)个元素的所有组合的个数 ,叫做从 n 个元素中取出 m 个元素的组合数,用符号 表示.mC3.组合数公式:(1)基本公式 (必须熟记.)(1)2(1)mnAn (2)组合数公式的另一种形式: (在计算,化简,证明中用途比较大). 规定!(,*)mnCnN.01nC(3)两个性质: ; .(两个很重要的公式,一定要记住).mn11mmnn4.排列组合常见问题解题策略:(1).特殊元素优先安排的策略;(2).合理分类与准确分步的策略;(3).排
15、列、组合混合问题先选后排的策略;(4).正难则反、等价转化的策略;(5).相邻问题捆绑处理的策略;6(6).不相邻问题插空处理的策略;(7).定序问题除法处理的策略;(8).分排问题直排处理的策略;(9).“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;(10).构造模型的策略.(四)二项式定理1.二项式定理:一般地,对于任意正整数 n,都有:01 ()nnrnabCabCabN 这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做 的二项展开式,其中系数nab叫做二项式系数,式中的 叫做二项式的通项公式,用 表示,式展开式中的第(0,12)rnn rn 1rTr+1 项.2.二项式系数的性质对称性:
16、与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即 .mnC增减性与最大值:如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大.当 n 是偶数时,n+1 是奇数,展开式共有 n+1 项,所以展开式有中间一项,并且这一项的二项式系数最大,最大为 .2C当 n 是奇数时,n+1 是偶数,展开式共有 n+1 项,所以展开式有中间两项,并且这两项的二项式系数相等并且最大,最大为 .12nC各项二项式系数的和: .012nnnC奇数项的二项式系数和等于偶数项的系数和: .02413512nnnnnC 3.展开式中各项的系数和:只需要将变元值令为 1
17、,算出值即可.4.二项展开式中系数最大问题由二项式系数性质可知,当项数 n 是偶数时,展开式中二项式系数最大的项是中间项,最大为 ;当 n 是2C奇数时,展开式中二项式系数最大的项为中间两项,最大为 .12nC展开式中系数与二项式系数不同,设 是展开式中 项的系数,若 项为系数最大的值,则必有1rt1rT1rT.由此不等式组,可确定 r 的值,从而确定系数最大的项.12,0rtrn(五)概率1.随机事件的概率(1)基本概念随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.必然事件:在一定条件下必然要发生的事件.不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件.7基本事件:一次试验连同其中出现的每一个结
18、果称为一个基本事件.(2)随机事件的概率定义:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 总是接近于某一个常数,在它附近摆动,mn这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作:P(A).必然事件的概率为 1,不可能事件的概率为 0,所以随机事件的概率 0P(A)1.(3)等可能事件的概率一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常一次试验中的某一事件 A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,即此试验由 n 个基本事件组成,而且每一个结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是 .如果某个事件 A 的结果有 m 个,那么事件 A 的概率为1
19、.()mPAn求等可能事件的基本步骤:A.算出基本事件的总个数 n;B.算出事件 A 中包含基本事件的个数 m;C.算出事件 A 的概率, .()n2.互斥事件有一个发生的概率(1)基本概念:互斥事件:事件 A 与 B 不可能同时发生,这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.对立事件:其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件,事件 A 的对立事件记作 .A两个对立事件一定是互斥事件,反之两个互斥事件不一定是对立事件;两个事件对立是两个事件互斥的充分非必要条件;两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件.(2)事件 A+B 的意义及其概率运算公式若事件 A,B 互斥,事件 A+B 的含义是 A,
20、B 中有一个发生且只有一个发生,只有对于互斥事件才能运用概率运算的加法公式.如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B).如果事件 A1,A2,A3,An 彼此互斥,则 P(A1+A2+An)= P(A1)+P(A2) +P(An).对立事件 A 与 的概率和等于 1,即 .) 1)3.相互独立事件同时发生的概率(1)相关概念:相互独立事件:如果事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,那么这样的两个事件叫做相互独立事件.性质:如果事件 A 与 B 相互独立,那么 也都是相互独立的.,与 与 与事件 AB:表示相互独立事件 A 与 B 同时发生的事件.(2)两个相互独立事件 A 与 B 同时发生的概率公式: P (AB)=P(A)P(B).(3)推广:如果事件 A1,A2,A3,An 相互独立,则 P(A1A2An)= P(A1)P(A2)P(An).(4)两个相互独立事件 A 与 B 至少有一个发生的概率: .)(5)相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求概率的解题步骤:确定诸事件是相互独立的;确定诸事件会同时发生;先求每个事件发生的概率,再求其积.4.独立重复试验8n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率记为 ,设在一次试验中事件 A 发生的概率是 P,()nPk则 .()(1)knkPCP
