1、第五章时变电磁场,主要内容： 本章在介绍法拉第电磁感应定律及位移电流假说之后，导出麦克斯韦方程组和它在电磁边界上的形式，再由麦克斯韦方程组的限定形式，导出坡印廷定理及波动方程；在引入动态位的概念之后，导出动态位所满足的达朗贝尔方程，并通过其解的物理意义，引入滞后位；在介绍时谐场的复数表示之后,介绍麦克斯韦方程组、坡印廷定理、波动方程及达朗贝尔方程的复数形式。最后，介绍电与磁的对偶性 。,5.1 法拉第电磁感应定律,一、 法拉第电磁感应定律 感应电动势：法拉第发现当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中就会出现感应电流，表明此时回路中存在电动势，这就是感应电动势 。 著名的法拉第电磁感应定律：法
2、拉第发现进一步的研究发现，感应电动势的大小和方向与磁通量的变化有密切关系。 当通过导体回路所围面积的磁通量 发生变化时回路中就会产生感应电动势 ，其大小等于磁通量的时间变化率的负值，方向是要阻止回路中磁通量,的改变，即 (5-2) 式中负号即表示回路中感应电动势的作用总是要阻止回路中磁通量的变化。这里已规定：感应电动势的正方向和磁力线的正方向之间存在右手螺旋系。 设任意导体回路围成的曲面为，其单位法向矢量为，如图5.1所示。图5-1 感应电动势的正方向和磁通的方向,回路附近的磁感应强度为，穿过回路的磁通 于是（5-2）可以写成 （5-3） 二、法拉第电磁感应定律的积分与微分形式 从一般意义上讲
3、，电流是电荷的定向运动形成的，而电荷的定向运动往往是电场力对其作用的结果。所以，当磁通量发生变化时导体回路中产生感应电流，这一定预示着空间中存在电场。这个电场不是电荷激发的，而是由于回路的磁通量发生变化而引起的，它不同于静电场。当一个单位正电荷在电场力的作用下绕回路c一周时，电场力所做的功为 它等效于电源对电荷所做的功，即电源电动 势。此时电源电动势就是感应电动势 , 有,（5-4） 式（5-3） 右边的表示穿过面积s的磁通量随时间的变化率，而磁通量变化的原因可以归结为两个：回路静止（既无移动又无形变），磁场本身变化；磁场不变，回路运动（包括位移和形变）。1.法拉第电磁感应定律的积分形式 当回
4、路静止时，磁通量的变化是因磁场随时间变化而引起的，时间导数 可以换成时间偏导数 ，并且可以移到积分内，故有 (5-5),2. 法拉第电磁感应定律的微分形式 利用斯托克斯公式， 并考虑到回路c(或面积s)的任意性，得 (5-6) 这就是，是时变场的一个基本方程，同时也是麦克斯韦方程组中的一个方程。对法拉第电磁感应定律的解释： 式中的电场强度 是因磁场随时间变化而激发的，称为感应电场。 感应电场是有旋场，其旋涡源为 ，即磁场随时间变化的地方一定会激发起电场，并形成旋涡状,的电场分布。故又称 为涡旋电场。 式（5-6）虽然是对导体回路得到的，但是它对任意回路（不一定有导体存在）同样成立。 当磁场随时
5、间的变化率为零时，有 ,这与静电场所得的形式完全相同，因此静电场实际上是时变电场的特殊情况。 如果空间中还存在静止电荷产生的库仑电场 , 则总电场为 ，这时 （5-7） （5-8）, 当导体回路 以速度运动 时，利用关系式 和 ，可以得到 （5-9） 等式右边的两个积分分别对应着磁场变化和导体运动的贡献。当磁场不随时间变化时，有 （5-10） 比较等式两边， 。得当导体在磁场中运动时，其内部的电荷随之运动，导体中电荷受到的洛伦兹力为 。显然，导体中的感应电场实际上是导体中单位电荷所受的洛仑兹力，同时也可以说明，感应电场是由于电荷在磁场中运动而形成的。,5.2 位移电流,矛盾分析: 静态下: ，
6、非静态下: (法拉第电磁感应定律所揭示的一个极为重要的电磁现象变化的磁场可以激发电场)。静态下，安培环路定律 ，非静态下，安培环路定律是否也有所变化呢？如果发生变化，又会产生什么物理现象呢？ 非静态情况下, 再由电荷守恒定律 得 （这一个结果是由电荷守恒定律得到的，而电荷守恒定律是大量试验总结出的普遍规律，显然这,显然这个结果应该是正确的）。假定非静态情况下方程 仍然成立，对此方程边取散度，有 。利用恒等式 ,得 （一个结果是在假定静态场的安培环路定律在非静态时仍然成立的条件得出的）。解决矛盾的方法:必须对静态情况下所得到的安培 环路定律作相应的修正。修正的思路： 1. 在方程的右边加入一个附
7、加项 ,即有 , 且 满足 ; 2. 加入的 应该具有合理的物理意义。,对高斯定理的 两边求时间的偏导数，得: 。如果令 ,可得: （5-11） 显然，此时 。式（5-11）就是 时变场的安培环路定律的微分形式，是麦克斯韦方 程组中的一个，其中的 ,即为位移电流密度。 这里已经解决了前面所述的矛盾，但是附加项位 移电流密度 的物理意义如何？是否符合物理事实？ 下面将进一步讨论。 时变场的安培环路定律也具有积分形式，即:,（5-12） 式中，和 分别为穿过回路 所围区域的真实电流（传导电流和运流电流）和位移电流。 对安培环路定律和位移电流的诠释： 1.在时变电场情况下，磁场仍然是有旋场，但其旋涡
8、源除了传导电流外，还有位移电流。 2. 位移电流代表的是电场随时间的变化率,当空间中电场发生变化时，就会形成磁场的旋涡源，从而激发起旋涡状的磁场，即变化的电场会激发磁场这就是位移电流的物理意义，同时也是前面分析所期望的。,3. 位移电流是一种假想的电流。麦克斯韦用数学方法引入了位移电流，深刻地提示了电场和磁场之间的相互联系，并且由此建立了麦克斯韦方程组，从而奠定了电磁理论的基础。赫兹实验和近代无线电技术的广泛应用，完全证实了麦克斯韦方程组的正确性，同时也证实了位移电流的假想。 4.将 , 代入位移电流的定义式中，得 ,式中第一项 为真空中的位移电流，仅表示电场随时间的变化，并不对应于任何带电质
9、点的运动，而第二项 表示介质分子的电极化强度随时间变化引起的极化电流。,【例5-1】 海水的电导率为 ，相对介电常数为81 ，求当频率为1 时，位移电流与传导电流的 比值。 解:设电场是正弦变化的，表示为 则位移电流密度为 其振幅值为 传导电流密度的振幅值为 故,5.3 麦克斯韦方程组一、 非限定形式的麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组是整个宏观电磁场理论的核心。用 四个场量写出的方程称为麦克斯 韦方程的非限定形式。 积分形式包括如下的四个方程 (5-13a) (5-13b) (5-13c) (5-13d), 相应的微分形式为 (5-14a) (5-14b) (5-14c) (5-14d) 式中，
10、 , 为外部强加的电流源， 为传导 电流。本书中若没有特别说明，将无外部强加的电 流源 时的 记为 。 习惯上把上述四个方程称为麦克斯韦第一、二、三、四方程 。 关于麦克斯韦方程组的讨论： 时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还,有变化的电场。电场和磁场互为激发源，相互激发 电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体电磁场，电场和磁场分别为电磁场的两个分量。 在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。所以，麦克斯韦方程组实际上已经预言了电磁波的存在，而
11、这个预言已被事实证明。 在无源空间中，两个旋度方程分别为 和 。可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得电场和磁场构成一个相互,约束的关系，即当磁场减小时，电场的旋涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，将使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小，。但是，如果没有这个负号的差别，电场和磁场之间就不 会形成这种不断继续下去的激励关系。 麦克斯韦方程可以以不同的形式写出。用 四个场量写出的方程称为麦克斯韦方程的 非限定形式。因为它没有限定 与 之间及 与 之间的关系，故适用于任何媒质。 二、限定形式的麦克斯韦方程组 用 和 两个场量写出的麦克斯韦方程组，是 麦克斯韦方程的限定形式。,对于
12、线性和各向同性媒质，有 (5-15) (5-16) (5-17) 这是媒介的本构关系。利用本构关系，麦克斯韦方程组可用 和 两个场量写出 (5-18a) (5-18b) (5-18c) (5-18d) 麦克斯韦方程组是宏观电磁现象的总规律，静 电场与恒定磁场的基本方程是麦克斯韦方程的特例。,5.4 时变电磁场的边界条件 在时变电磁场中,分析两种不同媒质分界面上的 边界条件,与静态电磁场一样,必须应用麦克斯韦方程的积分形式。 一、 的切向分量边界条件 图5-2表示两种媒质的分界面，1区媒质的参数为 、 ; 2区媒质的参数为: 、 、 ; 设分界面上的面电流密度 的 的方向垂直于纸面向内，则磁场
13、矢量在纸上。在分界面上取一个 无限靠近分界面的无穷小闭合路 图5-2 的边界条件,径，即长为无穷小量 ，宽为高阶无穷小量 ，把积分形式的麦克斯韦方程(5-13a)应用于此闭合路径，得 式中， 的模是有限量。当 时， ， 于是得 （5-23） 表示为矢量形式 （5-24） 式中，为从媒质2指向媒质1的分界面法线方向的单位矢量。 若分界面上不存在传导面电流，即 ，则有：,（5-25） （5-26）结论：在两种媒质分界面上存在传导面电流时， 的切向分量是不连续的，其不连续量就等于分界面上的面电流密度。若分界面上没有面电流，则 的切向分量是连续的。二、 的切向分量边界条件 把积分形式的麦克斯韦方程(5
14、-13b)应用于图5-3所示的闭合路径，得式中， 的模是有限量。当 时， , 于是得 （5-27）,图5-3 的边界条件表示为矢量形式 （5-28）说明，在分界面上的切向分量总是连续的。三、 的法向分量边界条件 与恒定磁场相同，时变电磁场中 的边界条件为 （5-29）,（5-30）这说明：在分界面上 的法向分量总是连续的。四、 的法向分量边界条件 与静电场相同，时变电磁场中的 边界条件为 （5-31）表示为矢量形式 （5-32）这说明，在分界面上 的法向分量是不连续的，不连续量等于分界面上的自由电荷密度。 若分界面上不存在自由电荷，则 （5-33） 或 （5-34）,这说明，若分界面上没有自由
15、面电荷，则 的法向分量是连续的。 在研究电磁场问题时，常用到以下两种重要的特殊情况： （1）两种无损耗媒介的分界面此时两种媒质的电导率为零，在分界面上一般不存在自由电荷和面电流，即 ， ，则边界条件为 或 （5-35） 或 （5-36） 或 （5-37） 或 （5-38） （2）理想介质和理想导体的分界面,理想导体是指其电导率为无穷大的导体，理想导体中电场强度和磁感应强度均为零。理想介质是指其电导率为零的导体。 设1区为理想介质（ ），2区为理想导体（ ），如图5-4所示 图 5-4,则得 、 、 。此时的边界条件为 或 （5-39） 或 （5-40） 或 （5-41） 或 （5-42） 显然
16、：在理想导体表面上，电场始终垂直于导体表面，而磁场平行于导体表面。理想导体实际上是不存在的，但它却是一个非常有用的概念。因为在实际问题中常遇到金属导体边界的情形。电磁波投射到金属表面时几乎是产生全反射，进入金属的功率仅是入射波功率的很小部分。如果忽略此微小的,的功率，则金属表面可以用理想导体表面代替，使边界条件变得简单（ 变为零），从而简化边值问题的分析。 5.5 坡印廷定理和坡印廷矢量 时变电磁场中的一个重要现象就是电磁能量的流动。因为电场能量密度随电场强度变化；磁场能量密度随磁场强度变化。空间各点能量密度的改变引起能量流动。我们定义单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位表面的能量为能流矢量
17、，其意义是电磁场中某点的功率密度，方向为该点能量流动的方向。,电磁能量如其他能量服从能量守恒原理。下面将从麦克斯韦方程出发，导出表征时变场中电磁能量守恒关系坡印廷定理，并着重讨论电磁能流矢量坡印廷矢量。 重新写麦克斯韦方程(5-14a)、(5-14b)由上二式得,设线性且各向同性的媒质内无外加源，媒质的参数 、 、 均不随时间变化，则上式中式中， , 分别是磁场与电场的能量密度， 是单位体积内的焦耳热损耗。于是得 （5-43）,利用矢量恒等式故式（5-43）变为 （5-44）对上式取体积分 将散度定理用于上式左边使体积分变为面积分，同时改变等式两边的符号，得到坡印廷定理或能流定理,式中， ,
18、。式（5-45）右边第一项是体积内电场能量和磁场能量每秒钟的增加量；而第二项是体积内变为焦耳热的功率。由于闭合面之内没有能量来源，根据能量守恒原理，这些能量的来源只能来自闭合面之外，因而式（5-45）左边必是自外界流入 的功率的净流量。这就是能流定理的含义。,根据这个物理含义，式（5-45）左边的被积函数 应具有单位面积上流过的功率的量纲单位为 ，把它定义为能流矢量(实为功率流密度矢量)，也称为坡印廷矢量，并用 表示 （5-46） 需特别说明的是：坡印廷矢量 与面积元 中的 是两个不同的物理量，应加以区别。 坡印廷矢量是时变电磁场中一个重要的物理量。从式（5-45）可看出，只要知道空间任一点的
19、 和 就知道该点电磁能量流的大小和方向。 【例5-5】如图5-8所示，理想的导电壁限定的区域 存在一个如下的电场。,求这个区域中坡印廷矢量的瞬时值。 图5-8 无限大导体平行板之间的电磁场 【解】由 得 得,故 5.6 波动方程 从限定形式的麦克斯韦方程式（5-18）可导出波动方程。在均匀无损耗媒介的无源区域内， ， ，麦克斯韦方程变为 （5-50a） （5-50b） （5-50c） （5-50d）,为了用解析法求解，还需把 和 分离到两个方程中。为此，对等式（5-50b）两边取旋度 应用矢量恒等式 ，并将公式（5-50a）和式（5-50d）代入，得 （5-51） 此即 的波动方程。式中的 为
20、矢量拉普拉斯算符。 用同样的方法可导出的波动方程 （5-52）,无源区域中的 或 可以通过求解式（5-51）或式（5-52）的波动方程得到。在直角坐标系中，波动方程可以分解为三个标量方程，每个方程中只含一个未知函数。例如，式（5-52）可以分解为 或 (5-53a) 或 (5-53b) 或 (5-53c),而其他坐标系中分解得到的三个标量方程都具有 复杂的形式。 波动方程的解是在空间中一个沿特定方向传播的电磁波。研究电磁波的传播问题都可归结为给定边界条件和初始条件下求波动方程的解。当然，除最简单的情形外，求解波动方程往往是很复杂的。5.7 动态位与滞后位 静态位: 静态场的各种位函数 动态位:
21、 时变场的各种标量位、矢量位(由于电场和磁场的不可分割，动态位是成对的)。 本节引出动态标量位和矢量位后，导出关于他们,他们的非齐次波动方程达朗贝尔方程，由其解引入滞后位的概念。一、 动态位-借助于辅助的位函数可以减少未知函数的数目，简化求解 因为 的散度恒为零 ,可以令 （5-54）代式（5-14b），得 （5-55）式中，方括号部分 以看成一个矢量。又由于无,旋的矢量可以用一个标量函数的梯度代替，令 （5-56）则 （5-57）式中， 称为动态矢量位，或简称为矢量位，单位是韦伯/米( )。 称为动态标量位，或简称标量位，单位是伏 ( )。和就是时变电磁场的一个动态位对。二、 达朗贝尔方程
22、引入 ， 后，电磁场除了能用 和 描述，同时也可用矢量位 和 标量位描述。这两种描述是等价的。但 ， ， ， 之间并不存在唯一的对应关系,同,样的 ， 对应着多个 ，。也就是说， ， 是不唯 一的，均具有任意性，但由于存在规范不变性，并 不影响电磁场的唯一性。而且，利用规范函数的任 意性可以灵活地规定 及 之间的关系，以简化辅助 位 及 的方程。为了唯一地确定 及 ，需要规定 其散度。 将式(5-54)和式(5-57)代入式(5-14d)和式(5-14a)， 得 （5-58） 及,利用矢量恒等式 ,得 即 （5-59）根据亥姆霍兹定理，要唯一地确定矢量位 ,除规定它的旋度外，还必须规定它的散度
23、。故令 （5-60）代入式（5-59）和式（5-58），得,（5-61） 和 （5-62）式(5-60)称为洛伦兹条件。采用洛伦兹条件使 和 分离在两个方程里，式(5-61)和式(5-62)称为达朗贝尔方程(它是关于动态位 和 的非齐次波动方程, 此方程显示 的源是 ,而 的源是 ,这对求解方程是有利的)。当然，在时变场中 和 是相互联系的。洛伦兹条件是人为地规定 的散度值，如果不采取洛伦兹条件而采取另外的值，得到的 ，和 的方程将不同于式(5-61)和式(5-62)，会得到另一组 和 的解。但,最后由 和 求出的和是不变的。求出的 和 是不变的。三、 达朗贝尔方程的解 式(5-61)和式(5
24、-62)两个非齐次波动方程，实际上是四个相似的标量方程的集合，故只需求解一个标量方程。在这里我们不去严格求解，而是采用类比方法求方程(5-62)的解，并把重点放在理解所得解答的物理意义上。 设标量位 是由足够小的体积 内的电荷元产生的，因此在 之外不存在电荷，式(5-62)变为齐次波动方程。,(5-63) 可把 ，视为点电荷。利用点电荷周围空间的场具有球对称性的特点，得知标量位 在球坐标系中仅于 有关，即 ，则式（5-63）可简化为 （5-64）引入一个新的函数 ，使 ,则式 （5-64）变为 （5-65）式中 ,式（5-65）是一维波动方程。用直接代入法可证明任何以 为宗量的二次可微分函数都
25、是（5-65）的解，即,（5-66） 此式表示一个以速度沿+ 方向行进的波。故标量位函数为 （5-67） 为了求函数 的特定形式，将式（5-67）与同样位于坐标原点的静止点电荷元 产生的标量电位 （5-68）类比，可看出，时变场的标量位应取为 （5-69）,对位于 处的点电荷元 ，应将上式右端的换成，即 （5-70）式中， 。因此，由体积 内分布的电荷产生的标量位为,式中 的代表响应函数（在此即是与电荷相距为 的位函数）与源（在此即是位于 的时变电荷）之间的时延。即离开源为 处，在 时刻的标量位由稍早时刻 ,的电荷密度所决定。也就是说，观察点的位场变化滞后于源的变化，滞后的时间 正好是源的变动以速度 ,传播距离所需的时间。故式(5-71)表示的标量位 ,称为标量滞后位。 对于矢量位 ，可将其分解为三个分量，即,这时 的矢量运算可化为标量运算，故可仿照上述过程求出矢量滞后位的表达式 (5-72) 求出 和之后，就可由式（5-57）和式（5-54）求出电场和磁场。事实上，由于 和 之间关系已由洛伦兹条件 ,给出，所以不必把 和 都解出来，通常只需求出 就可求得电场强度 和磁场强度 。 应该指出，考虑“滞后”并非总是必需的。“滞后”究竟是重要的还是可以忽略的，取决于时间延迟,
