1、1 球磨机技术参数工作原理及球磨机技术参数研磨体运动分析 1.1 球磨机工作原理及研磨体运动的基本状态 1.1.1 球磨机工作原理 球磨机的主要工作部分是一个装在两个大型轴承上并水平放置的回1.1 球磨机工作原理及研磨体运动的基本状态1.1.1 球磨机工作原理 球磨机的主要工作部分是一个装在两个大型轴承上并水平放置的回转圆筒，筒体用隔仓板分成几个仓室，在各仓内装有一定形状和大小的研磨体。研磨体一般为钢球、钢锻、钢棒、卵石、砾石和瓷球等。为了防止筒体被磨损，在筒体内壁装有衬板。图 1 磨机粉磨物料的作用当球磨机回转时，研磨体在离心力和与筒体内壁的衬板面产生的摩擦力的作用下，贴附在筒体内壁的衬板面
2、上，随筒体一起回转，并被带到一定高度（如图 1 所示），在重力作用下自由下落，下落时研磨体像抛射体一样，冲击底部的物料把物料击碎。研磨体上升、下落的循环运动是周而复始的。此外，在磨机回转的过程中，研磨体还产生滑动和滚动，因而研磨体、衬板与物料之间发生研磨作用，使物料磨细。由于进料端不断喂入新物料，使进料与出料端物料之间存在着料面差能强制物料流动，并且研磨体下落时冲击物料产生轴向推力也迫使物料流动，另外磨内气流运动也帮助物料流动。因此，磨机筒体虽然是水平放置，但物料却可以由进料端缓慢地流向出料端，完成粉磨作业。1.1.2 研磨体运动的基本状态 球磨机筒体的回转速度和研磨体的填充率对于粉磨物料的作
3、用影响很大。当筒体以不同转速回转时，筒体内的研磨体可能出现三种基本状态，如图 7.2 所示。图 7.2(a)，转速太慢，研磨体和物料因摩擦力被筒体带到等于动摩擦角的高度时，研磨体和物料就下滑，称为“倾泻状态”，对物料有研磨作用，但对物料的冲击作用很小，因而使粉磨效率不佳；图 7.2(c)，转速太快，研磨体和物料在其惯性离心力的作用下图 7.2 筒体转速对研磨体运动的影响（a）低转速；（b） 适宜转速；（c） 高转速贴附筒体一起回转（作圆周运动），称为“周转状态”，研磨体对物料起不到冲击和研磨作用；图 7.2(b)，转速比较适宜，研磨体提升到一定高度后抛落下来，称为“抛落状态”，研磨体对物料较大
4、的冲击和研磨作用，粉磨效率高。2实际上，研磨体的运动状态是很复杂的，有贴附在磨机筒壁向上的运动；有沿筒壁和研磨体层向下的滑动；有类似抛射体的抛落运动；有绕自身轴线的自转运动以及滚动等。所谓研磨体对物料的基本作用，正是上述各种运动对物料的综合作用的结果，其中主要的可以归结为冲击和研磨作用。分析研磨体粉碎物料的基本作用，目的是为确定研磨体的合理运动状态，这是正确选择与计算磨机的适宜工作转速、需用功率、生产能力以及磨机机械计算的依据。1.2 球磨机内研磨体的运动分析 球磨机的粉磨作用，主要是研磨体对物料的冲击和研磨。为了进一步了解磨机操作时研磨体对物料作用的实质，以便确定磨机的工作参数，如适宜的工作
5、转速、功率消耗、生产能力、研磨体装填量以及掌握影响磨机粉磨效率的各项因素、筒体受力情况与强度计算等，都必须对研磨体在磨机内的运动状态加以分析研究。1.2.1 基本假设 研磨体运动的实际状态是很复杂的，为了使问题分析简单化，作如下基本假设：(1) 当磨机在正常工作时，研磨体在筒体内按所在位置的运动轨迹只有两种：一种是一层层地以筒体横断面几何中心为圆心，按同心圆弧轨迹随着筒体回转作向上运动；另一种是一层层地按抛物线轨迹降落下来；(2) 研磨体与筒壁间及研磨体层与层之间的相对滑动极小，具体计算时略去不计；（3） 磨机筒体内物料对研磨体运动的影响略去不计；(4) 研磨体作为一质点，因此最外层研磨体的回
6、转半径，可以用筒体的有效内径表示。研磨体按圆弧随筒体回转作向上运动，当达到某一高度时，开始离开圆弧轨迹而沿抛物线轨迹下落，此瞬时的研磨体中心称为脱离点，各层研磨体脱离点的连线称为脱离点轨迹，如图 7.3 中 AB 线。当研磨体以抛物线轨迹降落后，到达降落终点，此瞬时的研磨体中心点称为降落点，各层研磨体降落点的连线称为降落点轨迹，如图 7.3 中的 CD 线。图 7.3 研磨体层示意图 7.4 磨体内研磨体所受作用力1.2.2 研磨体运动的基本方程式 取紧贴筒体衬板内壁的最外层研磨体作为研究对象，研磨体以质点 A 表示如图 7.4 所示。研磨体在随筒体作圆弧轨迹向上运动的过程中，当达到某一位置时
7、，其离心力 Pc 小于或等于它本身重力的径向分力 Gcos，研磨体就离开圆弧轨迹，开始抛射出去，按抛物线轨迹运动。由此可见，研磨体在脱离点开始脱离应具备的条件为3PcGcos (1)Ggv2RGcos 又 v=Rn30 代入上式中，得cos2Rn2900g由于 2g1所以cosRn2900 (7.2)式中:Pc离心力，N;G研磨体的重力，N;v研磨体运动的线速度，m/s；R筒体的净空半径,m;研磨体脱离角；g重力加速度，m/s2；n筒体转速,r/min。公式（7.2）为磨机内研磨体运动基本方程式，从此方程式中可以看出：研磨体脱离角与筒体转速及筒体有效半径有关，而与研磨体质量无关。1.2.3 研
8、磨体运动脱离点轨迹 当磨机在一定转速下工作时，研磨体运动的基本方程式（7.2）代表任一层研磨体脱离点三个量间的关系，它有着普遍意义。图 7.5 脱离点和降落点轨迹把式（7.2）改写成Rcos=900n2=R1cos=Ricosi=常数 (7.3)式中:R1、Ri 及 1、i 代表意义参阅图 7.5。从图中看出：OO1E 是直角三角形，直角边 OO1=R1，夹角为 1 的直角三角形，其斜边大小如果不改变，保持恒量时（即 OE=2Rt=常数），这个三角形的顶点 O1 的轨迹是一个圆。故 2Rt=Rcos=900n2=常数因此，这个圆的半径为Rt=450n2 (7.4)由此得出结论:球磨机筒体内研磨
9、体脱离点的轨迹 AC 是一个圆的部分圆弧,这个圆弧的圆心位于 Y-Y 轴上,半径为 450n2,且在圆周通过坐标原点 O 所作的圆上。1.2.4 研磨体运动降落点轨迹 4研磨体自脱离点 A 抛出后，沿抛物线轨迹下落，其降落点位置仍在原来上升时研磨体层的圆弧轨迹上。由此可见，降落点正是这两个轨迹，即抛物线和圆弧的交点。为求得降落点坐标，必须列出抛物线及圆的轨迹方程式，联立求解这两式，所得结果即为降落点的轨迹。取脱离点 A（图 7.5）为坐标原点，则抛物线方程式为:x=vtcos (7.5)y=vtsin-12gt2 (7.6)式中:v研磨体自脱离点抛出时的初速度，m/s；t时间，s。将上式消去
10、t 得抛物线方程式y=xtan-gx22v2cos2 (7.7)以 O 点为圆心，XXYY 轴为坐标基准，半径为 R 的圆的方程式为 X2+Y2=R2 此圆对 xx-yy轴之方程式应为(x-Rsin)2+(y+Rcos)2=R2 (7.8)将公式（7.7）、公式(7.8)联立求解，其结果就是降落点 B 的坐标。x=4Rsincos2 (7.9)y=-4Rsin2cos (10) 式中:“-”号表示降落点在横坐标之下。以绝对值表示y=|4Rsin2cos|由图 7.5 可把方程式（10）改写成|y|=4Rcos2sin 又可写成|y|=R(sin+sin)所以4Rcos2sin=R(sin+si
11、n)则 sin=4cos2sin-sin=3sin-4sin3=sin3所以 =3 (11)根据上述这些夹角关系，降落点的轨迹就可按下法作出：从脱离点的轨迹曲线 AC 上取一系列点 Oi，由各点与筒体中心 O 连成直线，因而作出一系列角 i、i，还可作一系列角i，其大小为 的三倍（=3），它与脱离点对于 O 之同心圆的交点轨迹为 DB，即为降落点的轨迹曲线。显然降落点的轨迹曲线应通过筒体中心 O，故脱离点和降落点均应汇交在一起。1.2.5 研磨体运动最内层半径 研磨体最内层是指运动着的研磨体在某一最小半径 R2 圆弧上，随筒体回转提升至一定高度后，仍能按抛物线轨迹降落，降落点处于极限位置（图
12、7.5 中 D）。欲求得此最内层半径 R2，首先应按降落曲线求得横坐标 X 的最小值，因 Xmin(图 7.5 所示)处在降落点的极限位置。把方程式（7.9）移轴至 XXYY 为坐标基准（如图 7.5 所示）,则 X=x-Rsin=4Rsincos2-Rsin (12)为了求得最小值，取导数 dXd=0。在求解时将公式（7.3）代入上式，简化整理后得16cos4-14cos2+1=0 根据代数公式解得 X 为最小值时的脱离角为 2=7344与此脱离角相对应的研磨体最内层的半径即为研磨体最内层半径 R2，运用公式（7.3）得R2=900n2cos2=900n2cos7344=252n2 (13)
13、式中:R2研磨体最内层半径，m；2脱离角。5因此在确定研磨体装填量时，务必使研磨体最内层的半径比 252/n2 要大，否则研磨体在降落时，将会互相干扰、碰撞，这就会损失它们的能量，降低粉磨效率。1.2.6 研磨体在磨机筒体横断面的分布 磨机筒体内研磨体在工作过程中是连续不断地运动，主要可分为两种运动状态：一种是贴着筒体一起回转（如图 7.6 所示），用斜线表示的横断面 F1，另一种是研磨体呈抛落状态的横断面 F2。图 7.6 研磨体的分布（1） 面积 F1采用微量概念分析如下：dF1=(+)RdR=(+3)RdR=4RdR 因为R=2Rtcos=2Rtcos(90-)=2Rtsin 对 R 微
14、分得dR=2RtcosddF1=16R2tsincosd=8R2tsin2d 进行积分得F1=8R2t12sin2d=8R2tsin2-2+sin2412 (14)(2) 面积 F2在时间 t 内抛出的微小面积 dF2 为dF2=vtdR (15)由式（7.5）x=vtcos=vtcos(90-)=vtsin 由式（7.9）x=4Rsincos2=4Rcossin2 则得 vtsin=4Rcossin2所以 t=4Rcossinv (16)将上式中 R=2Rtsin 代入，得 t=42Rtsincossinv=8Rtsin2cosv 把上式代入式（15）中得 dF2=v8Rtsin2cosv2
15、Rtcosd=16R2tsin2cos2d 进行积分得F2=1216R2tsin2cos2d=R2t2-sin2cos212 (17)式中:1、2 分别为磨机内研磨体的最外层和最内层的脱离角的余角。当磨机筒体净空（有效）直径和转速一定时，1 即可确定，2 则与磨机内研磨体的填充率有关。6图 7.7 Z- 图线（3） Z 计算图线磨机内研磨体的填充系数（填充率） 可用下式确定F1+F2=R21 (18)式中:R1 磨机筒体有效半径，m。 把式（14）和式（17）代入式（18）中，得R2t8sin2-4+2sin2+2-sin2cos212=4R2tsin218sin2-2+sin2(2-cos2
16、)12=4sin21 (19) 上式为超越函数，为便于求解,宜采用图解法。设 Z=8sin2-2+sin2(2-cos2) (7.20)取 Z 为纵坐标轴, 为横坐标轴。将 分别以 5、10、1550代入式（7.20）中求出相对应的 Z 值，便可将坐标上的各点连成一条曲线，如图 7.7 所示。此 Z 曲线能适应一般情况下的磨机转速 n 及研磨体填充系数 的变化。【例 1】已知磨机筒体转速 n=32.2D1，=0.3，求 1、2、R2R1、F1、F2 各占全部研磨体的比例，研磨体最大填充系数 max 的理论值。【解】(1) 求 1由式(7.2)得 cos1=R1n2900=R132.2D1290
17、0=0.576 所以 1=5450则 1=90-1=90-5450=3510(2) 求 2由|Z|12=4sin21=40.33.14sin23510=1.25 在图 7.7 中，过 1=3510作垂线交于曲线，由此交点向下取 Z1=1.25，再作水平线交于曲线，由此交点作垂线交于 轴，此交点所指的 值，即为 2=2410。(3) 求 R2R1R2R1=2Rtsin22Rtsin1=sin2410sin3510=0.71 所以 R2=0.71R1由式（13）知 R2min=252n2=25232.2D12=0.486R1 由于 R2R2min，因此在 n=32.2D1 及=0.3 时，最内层的
18、研磨体仍作分层运动，而不互相干扰、碰撞，且最内层半径 R2 为磨机筒体有效半径 R1 的 0.71 倍。7(4) 求 F1F1+F2 和 F2F1+F2F1F1+F2=8R2tsin2-2-sin24124R2tsin21将 1=3510和 2=2410代入上式，可得 F1F1+F2=55%而 F2F1+F2=45%这两个数值说明，n=32.2D1 和 =0.3 时，贴着筒体一起回转上升的研磨体占全部加入研磨体的 55%，而处于抛落状态的研磨体则占 45%。(5) 求 max 的理论值当最内层研磨体仍能保持有规律的分层循环运动时的极限条件为 2=7344。2=90-2=90-7344=1616
19、将极限条件的 1=3510和 2=1616代入式（19）中得 max=8sin2-2+sin2(2-cos2)124sin21=0.42 对于短筒球磨机，研磨体的填充系数 一般为 0.350.45，这是由于研磨体最内层实际上存在着局部向下滑落的缘故。对于水泥厂的管磨机，由于磨筒体较长，研磨体填充系数可选取小些，常取=0.250.35。合理的填充系数必须与筒体转速和衬板提升力以及粉磨工艺特点相适应，才能得到最佳的综合技术经济指标。1.2.7 动态研磨体作用力的分析 在确定机器零件的强度和尺寸时，必须先确定该零件所受到的外载荷。为了解决这个问题，必须在理论上分析动态研磨体所产生的各种作用力。磨机在
20、正常运转时，动态研磨体所产生的作用力有以下三个方面：（1） 研磨体生产的离心力 Pc从微量概念出发，在图 7.8 中，取一小块微质量 dm，以角速度 运转时所产生的筒体单位长度上的离心力 dPc 为:dPc=R2dm (7.21)dm=dV式中: 研磨体的容积密度，kg/m3；dV微小体积，m3，又 dV=微小面积单位长度=dRdR1；d 角的微小增量， 角如图 7.8 所示。将 dV 代入 dm 式中dm=RdRd (7.22)将式（7.22）代入式（7.21）中，得 dPc=2R2dRd 因 R=2Rtsin，则dR=2Rtcosd 代入上式中得dPc=82R3tsin2cosdd (7.
21、23) 离心力在垂直方向的分力 PcydPcy=dPcsin=82R3tsin2cosdsindPcy=82R3t12sin2cosd3-sind=82R3t12sin2cos(4sin2cos)d=322R3t12sin4cos2dPcy=162R3t8+cossin53-sin312-sin812 (7.24)设函数 fcy()=8+cossin53-sin312-sin812 又因=n30，2=2n2900，Rt=450n2，则 2=22Rt。把上述式代入式（7.24）中，并 2g,得Pcy=8R2tfcy() (7.25) 离心力在水平方向的分力PcxdPcx=dPccos (7.26
22、)Pcx=82R3t12sin2cosd3-cosd=82R3t12sin2cos4sin(1-sin2)d=322R3t12(sin3cos-sin5cos)d=162R3tsin42-sin6312 (7.27)8设函数 fcx()=sin42-sin6312 将 2=22Rt 代入式（7.27）中，并 2g,得Pcx=8R2tfcx() (7.28) 筒体单位长度上研磨体产生的离心力PcPc=P2cy+P2cx=8R2tfcy()2+fcx()2 (7.29)离心力 Pc 的方向（与铅垂轴的夹角 c）tanc=PcxPcy=fcx()fcy()所以c=arctanfcx()fcy() (
23、7.30)(2) 研磨体的重力 G1筒体单位长度上由 F1 部分研磨体的重力 G1 为G1=F1单位长度=8R2tsin2-2+sin2412 (7.31)设 G()=sin2-2+sin2412 则G1=8R2tG() (7.32)图 7.8 研磨体对筒体的作用力G1 方向恒垂直向下。（3） 研磨体产生的冲击力 Ps在磨机筒体运转过程中，研磨体处于不断的抛落状态，它所产生的冲击力，则连续不断地传给筒体，犹如瀑布冲击岩石，岩石只承受水流的冲击而不承受水流的自重。基于这一概念出发，可作如下推导。在图 7.8 的降落点轨迹 BD 上任取一点 E，此质点以 R 为半径绕 O 点沿 EE 运动，当到达
24、 E 点时便开始抛射，其抛射速度为 v0，当降落到 E点时，便产生冲击力 Ps，此瞬时的速度为 v，因冲击力与冲击速度方向一致，为便于运算，将 v 分解为 vx 和 vy。当忽略物料层的缓冲作用，取微小质量 dm，以速度 v 在单位冲击时间内所产生的冲击力为 dPs 时,则dPs=vdm (7.33)dPsy=vydmdPsx=vxdm 又因 dm=dV，而抛射的微小体积为 dV=微小面积单位长度=v0dR1 所以dm=v0dR由抛物线方程知 vx=v0sinvy=v0cos+gt 由式（7.5）知 t=xv0cos=xv0sin 又由式（7.9）知 x=4Rsin2cos根据前述知：v0=R
25、，R=2Rtsin,dR=2Rtcosd。又 2g=12Rt 把这些关系式代入 dPsy 及 dPsx 中，并积分，则得在筒体单位长度上的冲击力为Psy=12R2t12sin2cos2d=12R2t142-sin4821=3R2tfsy() (7.34)Psx=4R2t12sin3cosd=3R2tsin4312=3R2tfsx()(7.35)其合力（总的冲击力）为Ps=P2sy+P2sx=3R2tfsy()2+fsx()2 (7.36)Ps 与铅垂轴（y 轴）夹角 s 为 tans=PsxPsy=fsx()fsy()所以s=arctanfsx()fsy() (7.37)(4) 动态研磨体产生
26、的合力 P在垂直方向上的合力为 Py=Pcy+G1+Psy 在水平方向上的合力为 Px=Pcx+Psx 总合力为P=P2y+P2x (7.38)总合力 P 与 y 轴夹角 p 为 tanp=PxPy 所以p=arctanPxPy (7.39)9【例 7.2】已知磨机筒体转速为 n=32.2D1，研磨体填充系数 =0.3。求磨机筒体所受的总合力 P。【解】在例 1 中已求得 1=3510，2=2410，由式（7.4）知Rt=450n2=45032.2D12=0.434D1 按上述计算方法运算后，可得到磨机筒体每米有效长度的动态研磨体所产生的离心力 Pc、重力 G1 以及冲击力 Ps 的数值如下P
27、cy=0.0268D21,Pcx=0.0458D21,Pc=0.0531D21,c=5939,G1=0.132D21,Psy=0.0796D21,Psx=0.0154D21,Ps=0.0811D21,s=1058式中:D1 磨机筒体有效直径，m； 研磨体的容积密度，kg/m3。上式中力的单位均为 N。设装载研磨体部分筒体的有效长度为 L，研磨体总装载量为 G，则在垂直方向的合力 Py 为Py=(Pcy+G1+Psy)L=(0.0268+0.132+0.0796)D21L=0.2384D21L(N)G=4D21L=4D21L0.3=0.2355D21L(N)所以 D21L=G0.2355(N)即
28、Py=0.2384G0.2355=1.012G(N)在水平方向的合力 Px 为 Px=(Pcx+Psx)L=(-0.0458)+0.0154D21L=-0.0304D21L(N)即 Px=-0.0304G0.2355=-0.129G(N)所以总合力P=P2y+P2x=(1.012G)2+(-0.129G)2=1.02G(N)由式（7.39）知 P 与 y 轴的夹角 p 为p=arctanPxPy=arctan0.129G1.012G=715由此结论说明：当磨机筒体转速 n=32.2D1和填充系数 =0.3 时，动态研磨体所产生的合力 P 只比静态研磨体的自重 G 大 2%。因此，只要筒体转速
29、n 和填充系数 变化不大时，在设计计算动态研磨体所产生的外载荷时，就可以用研磨体的自重 G 来近似地代替繁杂的动态分析和计算（按动态研磨体的合力 P 进行运算）。(5) 物料的动态力在计算研磨体动态作用力的同时，还应把混合在研磨体之间被粉磨物料的动态力计算进去，设研磨体和物料所占体积为 V，物料在 V 中所占的体积为 Vw，研磨体在 V 中所占的体积为Vn，即 V=Vw+Vn,则可求得填充在研磨体之间的物料质量 Gw 为 Gw=1-aw (7.40) 式中:Gw填充物料质量，t/m3； 研磨体的密度，如图 7.9 所示，一般取中间值为 4.5t/m3；a钢球的密度，为 7.85t/m3;w被粉
30、磨物料的密度，细碎状态的水泥熟料和石灰石生料，均为 1.5t/m3。图 7.9 研磨体的密度将上述数值代入式（7.40）中，可得单位容积研磨体中所含的物料质量，即 Gw=1-4.57.851.5=0.64(t/m3)若以单位体积的研磨体质量的百分数来表示物料的质量，即Gw100%=0.644.5100=14.2% (7.41)即物料的质量相当于研磨体质量的 14.2%。10对于湿法粉磨作业来说，还应将相当于物料质量的 33%左右的水分质量计算进去。若研磨体用钢棒，钢棒的密度 b=6.1t/m3，代入式（7.41）可求得填充在钢棒之间物料质量，相当于钢棒质量的 5%。1.3 球磨机主要参数的确定
31、 1.3.1 球磨机的转速 （1） 球磨机的临界转速 n0当磨机筒体的转速达到某一数值时，研磨体产生的离心力等于它本身的重力，因而使研磨体升举至脱离角 =0，即研磨体将紧贴附在筒壁上，随筒体一起回转而不会降落下来，这个转速就称为临界转速，用 n0 表示。由于磨机在某一转速下进行工作时，筒体内各层研磨体运动的脱离角各不相同，在确定磨机筒体转速时，一般均以最外层研磨体为基准，也就是取磨机筒体的有效内径 D1 作为基准进行参数计算。在图 7.4 中，当研磨体处于极限位置 E 点即它升举至顶点时，脱离角 =0，此为临界条件，把它代入式（7.2），可得临界转速 n0cos=cos0=1 即 1=R1n2
32、0900 所以n0=30R1=42.4D1 (7.42)式中:n0临界转速，r/min；R1最外层研磨体至磨筒体断面中心的距离（即筒体有效半径），m；D1磨机筒体有效直径，m。从理论上讲，当磨机转速达到临界转速时，研磨体将紧紧贴附在筒体内壁上，随筒体一起回转，不会降落，不能起任何粉磨作用。但实际上并非如此，因为在推导研磨体运动的基本方程时，只考虑离心力，而忽略了研磨体的滑动、自转及物料对研磨体运动的影响。因此球磨机的实际临界转速比上述的理论计算值要高一些。(2) 球磨机的理论适宜转速 n当磨机筒体达到临界转速 n0 时，由于研磨体紧贴筒壁上，不能起到粉碎作用，因此对物料的粉碎功为零。当筒体转速
33、较慢时，研磨体呈泻落状态运动，对物料的粉碎作用很弱，即对物料的粉碎功很小，可见研磨体对物料的粉碎所消耗的功是筒体转速的函数。因此，使研磨体产生最大粉碎功时的筒体转速就称为球磨机的理论适宜转速 n。要想得到最大的粉碎功，研磨体必须具有最大的降落高度。如图 7.5 所示，筒体内研磨体的总降落高度 H 为H=h+y (7.43)研磨体由脱离点 A 抛射上升的高度为 h，根据抛射体运动学知h=v2y2g=(vsin)22g (7.44)以式（1）中 cos=v2gR(即 v2=gRcos)代入式（7.44）中，得h=gRcossin22g=12Rsin2cos (7.45)以式(10)和式（7.45）
34、代入式（7.43）中，得H=12Rsin2cos+4Rsin2cos=4.5Rsin2cos (7.46)研磨体总降落高度 H 是其脱离角 的函数。为了求得 H 的最大值，必须取导数 dHd=0，即dHd=(4.5Rsin2cos)=0 (7.47)4.5Rsin(2cos2-sin2)=0 由研磨体脱离条件得出脱离角 0，则 sin0，因此2cos2-sin2=0tan2=2 所以 =5444所以，当靠近筒壁的最外层研磨体的脱离角 =5444时，可获得研磨体最大的降落高度。将 =5444代入式（7.2）中，就可求得最外层研磨体获得最大粉碎功时的转速 n 为cos5444=R1n2900 n=22.8R1=32.2D1 (7.48)
