1、平面向量要点归纳由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，因此，在中学数学教材中的的地位也越来越重要，也成为近几年全国高考命题的重点和热点，以下是对平面向量中有关知识要点的归纳整理，供同学们参考一、基本概念与运算1要注意向量不同于数量，它既有大小，又有方向，这两者缺一不可由于方向不能比较大小，因而“大于” 、 “小于”对于向量来说是没有意义的零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系2在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即
2、可，与这两个向量的长度无关在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：（1）有一个为零向量；（2）两个都为零向量；（3）同向且模相等；（4）同向且模不等；（5）反向且模相等；（6）反向且模不等向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形3向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则是统一的，两种方法得到的是同一个向量向量的减法按三角形法则，把减向量与被减向量的起点重合，其差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点，一定要注意向量的方向4两个向量长度的和（差）不一定等于这两个向量和（
3、差）的长度，因为向量的加（减）实施的对象是向量，而长度是数量，长度的加（减）法是数量的加（减）法（1）当两个非零向量 与 不共线时， 的方向不同于 的方向，且ababab，；（2）当向量 方向相同时， 的方向与 （或 ）的方向相同，且ab，；（3）当向量 方向相反且 时， 的方向与 的方ab()abab()ab向相同，且 ()ab5对于向量的数乘运算，应侧重于以下几个方面：（1）数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由 确定a（2）要特别注意 ，而不是 0a0a（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如 都无法进a，行（4）向量数乘运算的运算律与实
4、数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式： 和 ，数乘运算的关键是等式两边向量()a()ab的模相等，方向相同（5）判断两个向量是否平行（共线） ，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段二、基本定理及其坐标表示1平面向量基本定理表明，同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合，即选择了两个不共线向量 和 ，平面内的任何一向量 都可以用向量1e2 a表示为 ，并且这种表示是惟一的，即若 ，则必有12e，12ae1212ee， 这样，平面向量本定理
5、不仅把几何问题转化为只含有 的代数运算，2 ，而且为利用待定系数法解题，提供了理论基础.2在利用平面向量基本定量时，一定要注意不共线这个条件.3平面向量坐标表示的理论基础就是平面向量的基本定理.直角坐标系中与 、 轴xy方向相同的单位向量是一组正交基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量 ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 ， ，使得 于是，平面内的任一xyxiyj向量 都可由 ， 惟一确定，而有序数对 正好是向量 的坐标，这样使得平面直xy()角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示.在引入向量的坐标表示以后，向量的运算完全化为代数运算，从而实现了“形”和“
6、数”的紧密结合.很多几何问题，如共线、共点等较难问题的证明，就都可以转化为代数运算的论证，同时也为解决一些物理问题提供了一种简便有效的方法.4平面向量的坐标与该向量的始点、终点坐标有关，向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标，如：若平面上有点 ，则12()()AxyB，一定要把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有始点在原点时，向2121()ABxy，量的坐标才与终点的坐标相等.两个向量相等时坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，即向量的坐标表示与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关.5要注意区别两向量平行和垂直的坐标表示（1）若 ， ，则向量
7、与 共线的条件为 a1()xyb2()xy，ab1210xy（2）若非零向量 ， ，则向量 与 垂直的条件为12()，10xy（3）要注意 与 共线的条件适合任何向量，而垂直的条件只是适合两非零向量，另ab外， （1） （2）两命题都是可逆的三、平面向量的数量积1 平面向量 与 的数量积 是数量，而不是向量，它的值是两个向量的模abcosab与两个向量夹角余弦的乘积，其中 的取值范围是 0 2 平面向量的数量积与数乘向量、实数与实数的乘积是不同的，在学习平面向量的数量的积时，要注意以下几点：（1） 由 ，且 不能推出 ，因为对任何一个与 垂直的非零向量 ，都有a0bb0abb（2） 由 不能推
8、出 ，例如，当 且 时， ，但不能推出cacabcbc（3） 平面向量的数量积不满足结合律，即 与 不一定相等，因为前者表示与()()c共线的向量，后者表示与 共线的向量，而 与 不一定共线aca（4） 由 为非零向量时， ， 及 ，可知平面向量ab， osb0ab的数量积可用来处理有关长度、角度、垂直等等问题3 为便于区别两向量的数量积、数乘向量、数乘数三种运算，可对照下表记忆：数量积 数乘向量 数乘数运算对象 两个向量 一个实数与一个向量 两个实数运算结果 实数 向量 实数结合律 不满足 满足 满足逆运算 不存在 存在 存在四、平面向量的应用1向量是数学中证明几何命题的有效工具之一，根据平
9、面向量基本定理，任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论一般地，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度等问题；利用数量积可解决长度、角度、垂直等问题2平面向量的应用，体现在高考中主要是在几何中的应用，由于平面向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何中的许多性质，如平移、全等、相似、长度（距离） 、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量的语言和方法来表述和解决几何中的一些问题3用向量的方法解决几何问题时，首先要用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论
