1、平面向量数量积的应用平面向量的数量积及其性质是平面向量的重点内容，在平面向量中占重要的地位.利用平面向量的数量积及其性质可以处理向量的许多问题.下面举例归纳说明.一、求向量的长度（模）求向量的长度的依据是： ；设 ，则 2aa()，xya2xy例 1 已知 ，向量 与 的夹角为 ，求 ， 5abb3b解：依题意，得 ， ， 225125cos3a2()abab同理， .2 525二、求解两向量的夹角问题求两非零向量 与 的夹角 的依据是： ；设 ，abcosab1()xyb，则 2()xy， 122cosxy例 2 已知 是两个非零向量，且 ，求 与 的夹角，ababab解：设 与 的夹角为
2、，由 ，得 2又由 ， 222baab1ab而 ， ，23 3，21()cosAab， 018 30三、判断两向量的垂直问题判断两向量垂直的依据是：若 与 为非零向量，则 ；设非零向ab0ab量 ， ，则 a1()xy， b2()xy， 120xy例 3 已知 ，则当实数 为何值时，43()2abcd向量 与 垂直cd解： ，22da，(2)(2)3cdabab，43，(192)若 ，则 ，()c(1)4(30256四、判断多边形的形状例 4 在平面四边形 中， ， ， ， ，ABCDaBCbDcAd，问该四边形 是什么图形？abcda解： ，bc，即 ；同理， ()0()c()dc由题意，显
3、然有 ；同理， a四边形 是平行四边形ABCD又 ()，bacb四边形 是矩形五、求解最值问题例 5 如图 1，在 中，已知 ，若长为 的线段 以点 为中点，问Rt ABCa2aPQA与 的夹角 取何值时， 的值最大？并求出这个最大值PQBCPQ解法一：如图 2， ， ABC0A，APQQ()()BCPCABQC2 221cosaABaBa故当 ，即 （ 与 方向相同）时， 的值最cos10QP大，其最大值为 0解法二：以直角顶点 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴A建立如图 3 所示的平面直角坐标系设 ， ，则 ，ABcCb(0)(0)ABcCb，且 ， 2PQa设点 的坐标为 ，则 ()xy22()Qxya，( ()()BcCbBCcbPQxy，2)()PQxyxy，22(cosxcbcaaBCA2csxbyaoPQ故当 ，即 （ 与 方向相同）时， 的值最大，其最大值为cos10PQBCBPCQ0六、求解探索性问题例 6 已知点 和 ，问能否在 轴上找到一点 ，使 ，若不能，(12)A，(41)，y90AB请说明理由；若能，求出 点坐标C解：假设存在点 使 ，则 (0)y，90ABACB，(1241)AC， ，4)y20而在方程 中， ，2y0方程无实数解，故不存在满足条件的点 C
