1、 本科毕业论文(设计）题 目 积分不等式的证明 院（系） 数 学 系 专 业 信息与计算科学 学生姓名 学 号 指导教师 职称 论文字数 完成日期: 年 月 日巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计) ，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担.本人签名： 日期： 巢湖学院本科毕业论文 (设计)使用授权说明本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文 (
2、设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文( 设计) 工作的知识产权单位属巢湖学院.学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文 (设计) 被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致.保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定.本人签名： 日期： 导师签名： 日期： 积分不等式的证明积分不等式的证明摘 要本文讨论了积分不等式的证明，给出了几类典型的证明方法，包括黎曼积分性质、多重积分正定性质、积分中值定理、函数单调性、Jensen
3、不等式、有穷不等式经极限运算转化和概率公式，并给出相应的例子给予了说明.关键词：定积分；不等式；凸函数；概率论巢湖学院 2012 届本科毕业论文（设计）IThe Proving of Integral InequalitiesAbstractIn this paper, the proof of integral inequalities is discussed. Several proving methods, including the properties of Riemann integral, the positive definiteness of multiple integr
4、al, integral mean value theorems, function monotonic, Jensen inequality, the method of the limit transforming the finite inequality and probability formula are given. Corresponding examples are given to illustrate the effectiveness of methods above.Keywords: definite integral; inequality; convex fun
5、ction; probability theory积分不等式的证明目 录摘 要 .IAbstract .II前言 .11. 利用黎曼积分性质证明积分不等式 .12. 利用 Jensen 不等式证明积分不等式 .34. 通过有穷不等式经极限运算转化证明积分不等式 .55. 利用重积分的正定性证明单积分的不等式 .66. 其他方法证明积分不等式 .86.1 利用积分中值定理证明积分不等式 .86.2 利用函数单调性证明积分不等式 .86.3 利用概率公式证明不等式 .9结束语 .10参考文献 .11积分不等式的证明0前言在微积分学中，对积分不等式证明的研究是重要而又常见的课题. 通过研究积分不等式
6、，在很大程度上能够帮助我们拓宽解题思路、提升运用数学知识的能力；其次，借助于积分不等式的证明，有助于更好地理解和把握高等数学的整体框架和脉络，因为积分不等式的证明应用了许多高等数学的思想和理论.在以下的讨论中我们将观察到如何利用黎曼积分性质、多重积分正定性质、Jensen 不等式等方法证明积分不等式 1, 2 .1. 利用黎曼积分性质证明积分不等式定义 1.13 设闭区间 上有 个点，依次为,ab1n，02-1 nxxb它们把 分成 n 个小区间 ，这些分点和这些闭子区间,ab-1,ii构成对 的一个分割，记为.0,112 nnTx或 ， ，小区间 的长度为 ，并记i ii，1maiinx称为
7、分割 T 的模.定义 1.23 设 f 是定义在 上的一个新函数，对于 的一个分割,b,ab，任取点 ，并作和式0,1 nx12ii n， ， ，niiifx称此和式为函数 f 在 上的一个积分和，也称黎曼和 .,ab定义 1.33 设 f 是定义 上的一个函数，J 是一个确定的实数.若对任给的,正数 ，总存在某一个正数 ，使得对 的任何分割 T，以及在其上任意选,ab取的点集 ，只要 ，就有iT1,niiifxJ巢湖学院 2012 届本科毕业论文（设计）1则称函数 f 在区间 上可积或黎曼可积；数 J 称为 f 在 上的定积分或黎,ab,ab曼积分，记作 .baJfxd定理 1.13 若 在
8、 上连续，则至少存在一点 ，使得xf, ,ab.bafxfb定理 1.23 对于任何 有如下的三角不等式,-ba例 1.14 设 在 上有连续的导函数，证明：对于 有fx0,1 0,1x(1.1)10.fxftftd证明 由于 在 上连续，因此 在 上也连续，所以由定理 1.1fx, ,知在一点 ，使得0,1. (1.2)10ftdf又因为，xfxfft即.xffftd由定理 1.2 知，, (1.3)10xfxfftdfftd由(1.2)式知，上式可变形为 1010fxffttdtfft因此(1.1)式得证 .本题的解法关键在于积分中值定理和黎曼积分的性质：积分的绝对值不大积分不等式的证明2
9、于绝对值得积分，再结合绝对值不等式的性质证明了上述不等式.由此我们也能看到求解积分不等式往往不是单纯的运用黎曼积分性质，而是要结合其他性质.不过黎曼积分性质是证明积分不等式的基础，其他解法一般都要结合黎曼积分性质共同才能完成证明.在有了黎曼积分性质这个基础之后，我们将探讨利用 Jensen 不等式来求证积分不等式.2. 利用 Jensen 不等式证明积分不等式定义 2.13 若 f 为 上凸函数，则对任意,ab1,01,2 nii ix， ， ， ，有 (2.1)11.nniiifxfx我们称上式为 Jensen 不等式.例 2.1 在 单调递增且 ，证明：fx,ab0fx(2.2).badaf证明 由定积分的定义知(2.3)1 1limlimn nba bafxdfibfin 因为 在 上 ，因此 是 上的凸函数，满足 Jensen 不,b0xfx,a等式的条件，因此可得1 121 1+2nn ni inibabfifiaff(2.4) 由于 ，将(2.4) 式两侧同乘上 可得0baba
