1、长沙理工大学备课纸数学金融学第八章连续时间市场第 1 页 共 31 页第八章 连续时间证券市场本章开始讨论连续时间问题.我们假定读者具有初步的随机分析知识,如果读者还有一些控制理论方面的知识,则更好.有关随机分析的一些定义和结果,读者可以参阅本书的附录口另外,我们作如下说明: 在随机分析中,人们遇到的等式或不等式往往是以概率 1 成立的(未必是对所有的 均成立),在一般的文献中,常常用记号 来表示(英文 almost surely 的缩写).sa为了记号简便起见,我们约定一般不用 (除非有特别的强调),但是所有遇到的等式或不等式.sa均理解为“以概率 l 成立”.8.1 证券市场的描述假定在一
2、个金融市场(记作 )中有, + l 种资产: 1 种是所谓的无风险资产(即其市场价Mn值始终是上升的) ,我们称之为债券或投资者的银行账户; 另外 种是所谓的风险资产(它们的n市场价值未必总是上升的),为了方便起见,通常这些风险资产可以认为就是普通的股票.我们知道,在真实的金融市场中,所有涉及的量均是离散的: 资产的市场价值是离散的(比如精确到分); 交易时刻是离散的( 比如精确到秒 );交易量是离散的(比如至少 l 手)等等.利用前面章节中的结果,原则上我们可以解决许多问题(未定权益定价、最优投资问题,等等).但是,如果我们面临的是一个具有 1000 个状态(它们可以代表 1 000 个有影
3、响的投资机构或个人独立地参与投资所带来的不确定因素)、1000 个时段(如果每 10 秒采一次样,则 3 小时就有 1080 个时段)和 100 种股票的市场,则很难想象用前面章节中的方法能得到深刻而简洁的结果.另一方面,不难想象,将离散的问题“连续化”, 比如,允许交易时刻是任何实数 .交易量也允许是任何实数(尽管 股股票听起来有点滑稽),则许多诸如微积分、随机分析等强有力的数学工具就能2够在处理金融市场问题中发挥作用.事实上,这种“连续化” 的近似使得原来非常复杂的问题变得相对容易了,我们将建立这种连续化市场模型下若干数学金融问题的一般理论.在学习这些理论之前,首先介绍一些测度论及随机过程
4、方面的知识.一、预备知识设 为概率测度空间,PF(一) 随机变量的概率测度积分定义 1.0.0 (1) 若简单随机变量 ,其中 ( 或 )为A1iniXaI12,An 的一个剖分,若 存在,则称该值为 在概率测度空间 上的积分,记1Aniia,PF. (1.0.1)iiXdP(2) 若 为非负可测随机变量,且非负简单随机变量列 满足A1| 0,1kinikiXaIk,若 存在,则称该极限为 在概率测度空间 上的积分,记klimkkdP ,PF. (1.0.2)XdP(3) 若 为可测随机变量,设 , ,若X00,XXII存在,则称该值为 在概率测度空间 上的积分,记 ,P长沙理工大学备课纸数学
5、金融学第八章连续时间市场第 2 页 共 31 页. (1.0.3)XdPXdP注: 1 0 ,E20 设 .R, ,RxFxFB若离散型随机变量 分布律为 ,则 ;X1iPEXdP1iixX若连续型随机变量 的概率密度为 ,则 .yfRf40 AAEIId(二) 随机积分1.随机积分定义 1.0.1 设 、 ( , 或 )为随机过程,令tXtY0T1iniiI其中 . 0111,niiiiiiisasstssY若 存在,则称该极限为 的关于 随机积分.记为1max0liliin isIXY.atXtY, . (1.0.4)tsaXdYtT2. Lebesgue积分定义 1.0.2 设 为随机过
6、程, , ,则(1.0.4)为t,0abtY0TtsadY01liminis若 存在 ,则称该极限为 的 Lebesgue积分.记为01liiniXs.atX. (1.0.5)tsad3. Ito积分定义 1.0.3 在域流的概率空间 上的一个 -值 -适应的随机过程0,tPFR0tF( )称为标准的始于 0 的一维 Brown 运动(简称标准的 Brown 运动) ,若 满足tw0 tw(1) (2) , 在 上连续; :,T(3) 对 ,均有 ; t0,tttwNt:(4) 对 ,均有 与 独立,即对 及 ,均有 0ttttFaRAtFAAtPwaPa注: 若 服从标准的 Brown 运动
7、,则t长沙理工大学备课纸数学金融学第八章连续时间市场第 3 页 共 31 页10 增量 具有平稳性,即 与 分布tttwtttw0,tttwNt:相同,记为 .dtttt20 具有独立增量,即对 , 相互独t 1012ktk 1|iiitk立.事实上:对 ,均有 ,又 与 独立,则102kt 11iii ktxFkt11kkii iiki iPwxPwx1iikiPwPx.21 1k kiikkiiii Pxx30 对 ,均有0ts(1.0.6)22 22| 0;| .t tstsst tststsEwEwEwDEwt独 立 性 独 立 性 平 稳 性F从而得到 22222 2| ; | |
8、|0.tst stsstsstssstst tPEwtEwwEt P : 线 性 性 是 鞅 是 鞅FF(这是因为: 若关于 -域 可测随机变量 与 ( 是 的 -子域)独立,则有.事实上: 对 , EAcF则 ,故 ,A,0;1,.cbIIbEAAPaIbPaIb所以 与 独立; 对 , , AAdEEdP所以, )E40 若 ,记 ,则当 时,2(,0;fgTRFLtw0tls(1.0.7)stldw(1.0.8)()()ss st tll lEfEgfdF(事实上, 令01;ntt 11(),2,iiiiiwttn1|nniijjti jfwg F长沙理工大学备课纸数学金融学第八章连续时
9、间市场第 4 页 共 31 页21 1, ()n nijijiiitij iEftgwgtfw F1,1 |nijijtijftF211()|niiitiEgtfw 11max, |ijijij ttij t 1211()|iniiittigtf F1min,max, ax, j ijijij ttttijEfwE F1211()|iniiittigtf (.06) 1 1| |niiit iiiti itgftF则 ()()sstllEgdwf11max0linniijjtti jEftwgt F11max0inniijjtti jftgtw F1ax0liniiittiEgtf)1max0
10、liniiitttf ()stlEgfdF推论 . (1.0.9)22() ,0s st tl lfdwflsF定义 1.0.4 设 是二阶矩过程(若对每一个 ,二阶矩 均存|0,tXTtT2EXt在,则称随机过程 为二阶矩过程), ( , 或 )为一维 Brown 运tw动,若 存在, 则称tsad, . (1.0.10)tsXw0tT为 关于 的 Ito积分.ttW长沙理工大学备课纸数学金融学第八章连续时间市场第 5 页 共 31 页(三) Ito 过程和 Ito引理1. Ito过程(1) 设 d 维随机变量 取值于 Rd .1,Tdtwtt设 服从 d 维正态分布 ,其中 , twtN1
11、 ,Tttt2112212 2321122cov ddt dd dttttttttttt ,;, ,0.iijij ijjijdijjittt 则, 连续型 d 维随机变量 的概率密度为w; 1, 11 1, exp22Tt x Ttttdtfx w x ;,ititNi: 为 与 的相关系数, ;ijijwtij 为对角矩阵 , 相互独立;t0ij1,dwtt(2) 标准的始于 0 的 维 Brown 运动.d定义 1.0.4 称 ( )维随机过程 ( , 或 )21,Tdttt 0T服从标准的始于 0 的 维 Brown 运动(简称标准的 维 Brown 运动) ,若 满足tw(1) 具有
12、独立增量 ,即对任何 , 相互独立;tw01ktt 1|iiittk(2) , 在 上连续;:T(3) , ,I 是 阶单位矩阵ItNtd(4) .0注: 10 , , , .0Ittt 2it1id 0tT20 服从 Brown 运动, , .iwt ,0,iii iwNwtt:30 相互独立1,dt(3) Ito 过程定义 1.0.5 若随机过程 满足tX(1.0.11)1,dttjtjdXabt长沙理工大学备课纸数学金融学第八章连续时间市场第 6 页 共 31 页1,dttttjtjjXaXbXwttot 其中, 为带域流的概率空间 上的一个 d 维标1,Tdw 0,tPF 准 Brow
13、n 运动,其中 为 Brown 运动 生成的自然 -域流.则称随机过程 为 Ito0tF tX过程( 广义布朗运动) .2. Ito引理定理 1.0.6 (Ito引理)若随机过程 为广义 Ito 过程 ,且 具有二阶连续偏导数,则tXfxt. (1.0.12)221 1, ,d dt jt jtjt t tf f fdfaXbbXw 证明: 222,ffffffxtfxttxtxt. (1.0.13)2211,t t t tt t tfXXXt 1,dttjtjdabw,其中 为 的高阶无穷小.,ttjtjttt令 ,则1 1,d dtjtjt jtjgaXbXaXbX . (1.0.14)2
14、2t t 21,dt jtjt, (1.0.15)3/21, ,ditjtij tjtjj jbXaXbt又 222 2varr;0,vvar,.j jjijij ijijEtEtttij,其中 为 的高阶无穷小1.05221,djtgbX1.04221,dtjtot1.03 1,dt tjtjtf ffabXwttX 2 2221,djt tt tffbot Xt长沙理工大学备课纸数学金融学第八章连续时间市场第 7 页 共 31 页221 1, , ,d dt jt jtjt t tf f faXbXbXwo .221 1, , ,d dt jt jtjt t tf f fdf X 例 1.
15、0.7 , 均为正常数, . (1.0.16)0;.ttwXcc0,tT几何布朗运动. , 但ttttt tdXd d.0 00lnlTTtT t Tww 可以证明满足(1.0.16) 的 有 , .取 ,则t0t,lnfxt,lnttfX21ltt t tttffdfXXddX21tdw2 200001lnlnTTTTt t Tddw. (1.0.17)2211TTwwTXece(三) 测度转换设 在带域流的概率空间 上服从 R-值标准的 Brown 运动.假定随机tw0,tPF过程 是的存在,且满足下述所谓的 Novikov 条件:, 201exp(|)|TEsd令(1.0.18)2001
16、()()|()|,0t ttwdtT(1.0.19)A,(),APPETIP F定理 1.0.8 (1) , . (1.0.20)0()1()()ttdw0t(2) . (1.0.21)(),stsTF2 000exp|()|()()()1tEdwEtt (3) 是与概率测度 等价的概率测度PP证明: (1) 设 满足()t长沙理工大学备课纸数学金融学第八章连续时间市场第 8 页 共 31 页, ()();01.ddw则 .又由 Ito 公式知 ,0tt tT,22 21ln()()()()()()()ffdddwdw故 ,则.2001|t tt w,()exp()|()|2t tddtT所以
17、,.20 001()1()()exp()|()|,0t t tt dtT(2) 由(1.0.20)知 ,于是(1.0.7)知tstdw()()()()(),tss sEt Est FF(3) 由(1.0.18)、(1.0.19)知 .A0,P由(1.0.21)知 .()()()(0)1T设 ,则 ,则A,12,nijnij 1n1A()()nTII 1A111()()()nnn nPETIPETIEIP .()0A()(),dP F定理 1.0.9(Giranov 定理) 令. (1.0.22)0),twtstT则 是带域流的概率空间 上服从 R-值标准的 Brown 运动.( 0,tF(四)
18、 Holder 不等式定理 1.0.10 (Holder 不等式 ) (1) 若 在 上 Lebesgue 可积,则,fxg,T, . (1.0.23)11000TTTpqfsgdfsdsd1pq(2) 若 , 则, ,pEXPEYP. (1.0.24)1111pqpqYdXXdYP (3) 若 在 上 Lebesgue 可积, ,则,fxg0,T,长沙理工大学备课纸数学金融学第八章连续时间市场第 9 页 共 31 页. (1.0.25)110 00TTTpqEfsgdEfsdEfsd证明: (1) 1 100 0/ /Tp qp qffxgx0 01exln/ln/TT Tp qsfdgsx
19、ds0 1pl/ /p qffx0 01/ /1TTTfsfdgsxdsq所以 11000TTTpqfsgdfsfs(2)证明略.(3) 111.23000TTTpqfsfsdfsdpqEfgdsEff 1 11.0240 0p qT Tp qfsfsd: :.1100TTpqEfdEf例 1.0.9 证明 , (1.0.26)10|TqNsPs1220|qTNsd21120|qqTEPsd其中, .21证明：对于任何 有2110|TqENsPds1 212 221 1.050 0| |q qqqTTENsdEPsds: :. 1220|qTs21120|qqTPs二、基本假设和债券、价格过程
20、1. 基本假设长沙理工大学备课纸数学金融学第八章连续时间市场第 10 页 共 31 页定义 1.1 称市场 M 为无摩擦的,如果(1) 资产的交易时间和额度是连续的;(2) 不存在交易费和税收 ;(3) 对资产的交易没有约束(比如,可以卖空等) ;(4) 存款与借款的利率相同.无摩擦市场是一种理想化的市场.研究这样市场的日的是揭示市场的许多内蕴性质.以后,在无特殊声明的情况下,我们总假定市场 M 是无摩擦的 .仁面所说的市场比较抽象.2. 债券、股票价格过程现在.让我们来给出一个具体的市场模型,即给出市场中债券和股票的价格过程.记债券的价格过程为 ,假定它满足如下常微分方程:0P, (1.1)
21、0,1dttrdt其中 称为时刻 t 的短期利率.我们记股票的价格过程为 , .它们在时间区)(r iP01,2n间 内满足如下的随机微分方程( 过程):,TIto(1.2) 1,1;0.diiiiijjjiidPttbtPwtinp在方程(1.2)中 , 为带域流的概率空间 上的一个1,Tdw 0,tPF d 维标准 Brown 运动,其中 为 Brown 运动 生成的自然 -域流, 为第 i 种股0tFib票的平均回报率, 称为股票价格的波动系数(它表示第 j 种不定因素 对第 i 种股票ij jw价格过程的影响) , pi0 第 i 种股票的初始价格.我们记 ,1,.,Tnijndb由上
22、面(1.1) 和(1.2) 可知 ,当 和 给定时 ,债券和股票的价格过程就完全确定了.,rb因此,当 和 给定时,人们就认为一个(连续时间的)证券市场给定了.我们将用 M,rb来记这个市场以强调市场对 和 的依赖.,为了研究(1.1) 和(1.2), 让我们引人一些空间 ,它们将在后面的讨中反复用到.00,;R:0,R| ,pmmtTT是 适 应 的F FL 0|()|TpEsd;1;0,:,| ,t是 适 应 的 有 界 的;0;0;,1pmqmppFFL. (1.3)1,RRqTTL现在,我们对市场 M 引人三种可能的假定:,rb(M1) 为 -循序可测的有界随机过程 .,:0ndr b0tF(相空间 ,对 均有 )EA,:,AtuXuF(M2) 为有界可测函数.,:RndT
