1、四川理工学院数学建模第二次模拟赛赛承 诺 书我们仔细阅读了四川理工学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是(从 A/B/C/D 中选择一项填写)：A 我们的参赛报名号为(如果设
2、置报名号的话)： 16 所属学校(请填写完整的全名)： 四川理工学院参赛队员 (打印并签名) ：1. 王 蕊 2. 刘 明 宇 3. 王 敏 日期： 2012 年 8 月 19 日评阅编号(由评委团评阅前进行编号)：四川理工学院数学建模第二次模拟赛赛编 号 专 用 页评阅编号(由评委团评阅前进行编号)：评阅记录表评阅人评分备注1温室中的绿色生态臭氧(O 3)病虫害防治摘要本文讨论了温室中的绿色生态臭氧病虫害防治的问题，运用了灰色关联度分析等方法，建立了幂指模型、臭氧的扩散方程等模型并对其进行了求解，得出了相应的结论。针对问题一，首先采用幂指模型来模拟害虫密度和生长作物产量间的关系针对中华稻蝗和
3、稻纵卷叶螟对水稻的影响进行了研究，讨论了不同密度的害虫对水稻的不同程度的影响，模拟出了病虫害与生长作物之间的相互关系曲线。然后结合表 1 和表 2的相关数据运用灰色关联度对模型进行了分析和求解，得出了中华稻蝗对水稻的影响：最严重是穗花被害率，再是结实率，最后才是千粒重；稻纵卷叶螟对水稻的影响：最严重的是卷叶率，再是空壳率。针对问题二，我们先对问题一所得的评价结果进行分析，结合题目中的相关信息对问题二进行了深入的思考，建立了生长作物、病虫害、和杀虫剂之间作用的数学模型 =788.7110 +-788.6310。从而得出了分y3*056.8tpe2*016.tpt.别以水稻的产量和水稻利润为目标的
4、模型 - -111.2 以及农药08yR04*Qe锐劲特的使用方案。针对问题三，综合考虑一、二问的相关影响因素之后，通过查阅资料了解到温室中不同浓度的臭氧对农作物的综合影响，再根据题目中的各表数据进行了拟合，最后综合其结果并得出臭氧在农作物生长过程中的使用方案。针对问题四，通过分析臭氧在温室里扩散速度和扩散规律，对臭氧在温室中的扩散引入高斯扩散模型进行模拟，然后再用数学模拟来评价此模型。由此来设计臭氧在温室中的扩散模型，及对此方案的评价。关键词：幂指模型 灰色关联度分析 数据拟合 高斯烟雾扩散模型 2一、问题重述最近温室效应再次成为国际社会的热点。如何有效地利用温室效应来造福人类，减少其对人类
5、的负面影响成为全社会的聚焦点。臭氧对植物生长具有保护与破坏双重影响，其中臭氧浓度与作用时间是关键因素，臭氧在温室中的利用属于摸索探究阶段。假设农药锐劲特的价格为 12 万元/吨，锐劲特使用量 11mg/kg-1水稻；肥料 150 元/亩；水稻种子的购买价格为 5.60 元/公斤，每亩土地需要水稻种子为 2 公斤；水稻自然产量为 750 公斤/亩，水稻生长自然周期为 5 个月；水稻出售价格为 2.48 元/公斤。根据背景材料和数据，回答以下问题：（1）在自然条件下，建立病虫害与生长作物之间相互影响的数学模型；以中华稻蝗和稻纵卷叶螟两种病虫为例，分析其对水稻影响的综合作用并进行模型求解和分析。（2
6、）在杀虫剂作用下，建立生长作物、病虫害和杀虫剂之间作用的数学模型；以水稻为例，给出分别以水稻的产量和水稻利润为目标的模型和农药锐劲特使用方案。（3）受绿色食品与生态种植理念的影响，在温室中引入 O3型杀虫剂。建立 O3对温室植物与病虫害作用的数学模型，并建立效用评价函数。需要考虑 O3浓度、合适的使用时间与频率。（4）通过分析臭氧在温室里扩散速度与扩散规律，设计 O3在温室中的扩散方案。可以考虑利用压力风扇、管道等辅助设备。假设温室长 50 m、宽 11 m、高 3.5 m，通过数值模拟给出臭氧的动态分布图，建立评价模型说明扩散方案的优劣（本题的相关数据表见附件 1） 。二、基本假设1、生长作
7、物的产量对于稻纵卷叶螟的生存需要总是有限的；2、中华稻蝗对水稻的减产与稻纵卷叶螟对水稻减产是独立的；3、假设病虫害与生长作物之间相互影响的数学模型是在自然条件下建立的，并不随其他条件的改变而改变；4、忽略水稻在不同的生长阶段对杀虫剂的敏感度的不同给本题结果所带来的影响；5、在考虑施肥量对水稻的影响的时候，假设其他对水稻生长有影响的因素的影响程度都处于同一水平；6、假设水稻的产量之手杀虫剂和施肥量多少的影响，忽略其他因素；7、中华稻蝗和稻纵卷叶螟之间不存在竞争关系；三、问题分析根据题目中所给的相关信息，并通过查阅相关资料，我们知道水稻的生长环境中一般不能保证没有害虫影响的可能，那么，我们就此假设
8、水稻的生长体系中有一定数量的害虫并且水稻也正常生长的一个稳态模型，如果害虫数量超过了稳态所需的基本数量值，或者是水稻生长环境中的其他因素发生变化，那么虫害就会对水稻的生长造成一定的影响。我们建立了一般情况下水稻生长环境中害虫的数量的一个稳定模型并讨论其因素发生改变时病虫害对水稻的影响。3对于问题一，需要研究在自然条件下，病虫害与生长作物之间相互影响关系的数学模型，结合所给表中华稻蝗和水稻作用和稻纵卷叶螟与水稻作用的数据相关数据，通过查阅资料，可以用幂指函数来拟合病虫害与密度与作物产量之间的关系。然后利用所给条件，求解分析病虫害对水稻生长过程中的综合影响。下图 a 是虫害与生物生长的关系。中华稻
9、蝗稻纵卷叶螟作物生长共同抑制图 a 虫害与生物生长的关系对于问题二，第一点、要求建立生长作物、病虫害和杀虫剂之间作用的数学模型，并以水稻为例，给出分别以水稻的产量和水稻利润为目标的模型和农药锐劲特使用方案，而我们在分析问题二发现它是在问题一的基础上进行附加了一个条件，所以我们先列出病虫害与杀虫剂的关系式，然后利用问题一中病虫害与生长作物之间的数学模型，建立生长作物、病虫害和杀虫剂之间的数学模型。在确定水稻的产量的模型时，我们采用采用问题一的结论，对其简化，列出关系式。问题中让我们解决以水稻利润为目标的模型，我们先根据农药残留与时间的函数关系，确定最佳喷药周期，来制定出农药锐劲特使用方案，计算出
10、水稻成熟周期的总喷药量，再根据水稻利润=产量单价-肥料投入-种子投入-农药投入，列关系式求解即可。第二点、当未考虑杀虫剂的作用时，害虫的密度变化可用 Logistic 模型来描述，一旦喷施农药，害虫种群将出现一个急速死亡的过程，但并非所有的害虫全部死亡，必定有一小部分害虫生存下来；农药的作用是持续的，在喷施农药后的一段时间内还将有一部分害虫陆续死亡，直到农药失效。药效基本消失后，害虫种群又会呈现一个正常增长的过程，但其内禀增长率有可能因农药的作用而发生变化。当害虫的密度达到一定程度时，需要再次喷施农药。由此，可建立作物与杀虫剂的模型。再根据问题一已解决的病害虫与生长作物的关系，可以得到病害虫和
11、杀虫剂的关系。下图 b 是杀虫剂、虫害、生长作物之间的关系。4杀虫剂 病虫害生长作物抑制抑制某种关系图 b 杀虫剂、虫害、生长作物之间的关系对于问题三，臭氧对作物的作用于臭氧的浓度和作用时间有关，浓度越大，作用时间越长，危害越大，而不同浓度不同作用时间也会有不同的危害程度。对臭氧与病害虫的关系，可以通过回归分析得到两者之间的关系。而效用评价函数是经臭氧处理后害虫的死亡率，死亡率越高，效用也就越高。下图 c 是臭氧、生长作物、病虫害之间的关系。臭氧 生长作物病虫害高浓度抑制生长适宜浓度促进生长抑制 抑制图 c 臭氧、生长作物、病虫害之间的关系对于问题四，要设计出合理的臭氧在温室中的扩散方案，首先
12、需要知道臭氧的扩散规律。因此考虑使用扩散方程并求出解，来表示出臭氧的浓度与扩散时间与扩散距离的关系。由此可以得到浓度降到最小理想值时的最大扩散半径。当温室内布置多个臭氧发生器时，还需要考虑叠加区域浓度的增加，因此要对最大扩散半径作修正。然后把铺设方案转化成在温室地面上尽可能多地布置以发生器为圆心、修正半径为半径的圆，使其不相交。最后把圆的覆盖面积与底面积的比值作为有效覆盖率。下图 d 是臭氧扩散示意图。5臭氧长方体图 d 臭氧扩散示意图四、建模过程41 问题一411 基本假设1、假设中华稻蝗对水稻产量减产的影响与稻种卷叶螟对水稻减产是相互独立的；2、在考虑施肥量对水稻的影响的时候，假设其他对水
13、稻生长有影响的因素，如环境条件、种植密度、土壤条件、气候条件等的影响程度都处于同一水平；3、假设病害虫与生长作物之间的相互作用仅仅是病害虫密度对生长作物的产量造成影响，而影响作物产量的因素可以是多种的，如结实率，千粒重，空壳率等等；4、假设病虫害与生长作物之间相互影响的数学模型是在自然条件下建立的，并不随其他条件的改变而改变。4.1.2 符号说明符号 含义y存在害虫危害时的作物产量（公斤/亩）LM无害虫时作物的最大产量（公斤/亩）d害虫密度（头/m 2）a害虫对作物危害的强度系数b作物对害虫危害的反映系数P作物产量损失率（%）LM作物产量的最大损失率4.1.3 模型的建立幂指模型的建立:通过查
14、阅资料得知所谓的幂指模型, 就是指幂函数与自然指数函数的复合模型, 其表达式为： （1）exp()ayCb式中， 是常量,它是由自变量和因变量所确定的。它涉及 的生物机制与实践经验, C xy边界条件通常是选择的依据之一。 是待定常数,且 共同决定了图像的形状、走,ab势, 一般情况下 值越接近于 1 曲线曲率就越小; 值越大 曲线越陡,而且 决定了曲a a6线类别, 决定曲线陡降程度 1。b针对 的情况, 由(1)式有 时, , 时, 。曲0,ax0xyCx0y线的这一特征恰好地反映了害虫对作物的危害关系, 即当害虫密度为零时,田间不存在害虫对作物的危害,所以,此时作物的产量为正常产量；当田
15、间存在害虫对作物的危害时, 不论害虫密度有多大, 作物产量的产率不会小于零, 即作物产量的最大损失率 ；LMP当害虫密度很低时, 由于不存在害虫种内竞争,单头害虫对作物的危害最大, 此时,作物产量的产率随密度的增加而直线下降(损失率随密度的增加而直线上升),但是,当害虫密度增大时,害虫种内出现竞争,单头害虫对作物的危害力随之降低,此时,随着害虫密度的增加,作物产量的产率呈减速减少(损失率呈减速增加),作物产量的产率(损失率)与害虫密度呈曲线关系。根据上述特征,害产量间关系可以用幂指虫密度与作物模型来描述： (2)exp()aLMybd根据作物产量损失率的定义,由此可写出害虫密度与作物产量损失率
16、( )的预测模P型：（3）()10aLMPy即 （4）10expbd由（4）可以得到，当 时，模型具有以下特征：当 时， ；当,ab0dP时， 。d10P4.1.4 参数的估计整理(4)并取两次自然对数, 可转化为一元线性回归方程:（5）01YBX其中， ，根据“非线性化中的加权最小10ln(),ln,l,PYxdba二乘法”原理可求得:（6）10iiT（7）122/()iiiiiXYYTB式中， ，然后由 ， 得到参数 的辨识。本文对模2/iTdPY0expbB1a,ab型的预测准确度的比较采用回归的估计标准误:（ 为理论预测值）2.()pdPSnP4.1.5 模型求解用拟合法求式 中的参数
17、 。为提高精确度，先对上式左右两边10abdPe,b求两次对数得： 。令 ， 。 对于稻ln()ln10ln()ylnxd纵卷叶螟密度与水稻产量，用 MATLAB 画图得到关系图如下：71 1.5 2 2.5 3 3.5 4-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1data 2linear得到 。1.08,.198ab对中华稻蝗密度与水稻产量得到关系图如下：0 5 10 15 20 25 30 35 40707580859095100105与 与与与与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与data 2cubic得到 。.936,.1ab用拟合的 值，作出害虫密度与实际产量关系的模型
18、预测与实际图如下：,ab8得到稻纵卷叶螟密度与水稻产量的函数关系为： 1.08.98xye得到中华稻蝗密度与水稻产量的函数关系为： .3560.74.1.6 灰色关联度分析利用关联度分析方法研究中华稻蝗和稻种卷叶螟对水稻影响的综合作用分别以中华稻蝗的密度为参考数列 ，水稻穗花被害率为比较数列 ，水稻0()xn1()xn结实率为比较数列 ，水稻千粒重为比较数列 ，计算三种因素对中华稻蝗密2()xn3()度的关联度；以稻纵卷叶螟的密度为参考数列 ，水稻卷叶率，空壳率分别为比较0y数列 ， ，计算两种因素对稻种卷叶螟密度的关联度。1()yn2第一步，对各数列做均值化处理中华稻蝗：表 1 均质化处理数
19、列表密度 穗花被害率 结实率 千粒重0 0 0.1738 0.16990.0291 0.0146 0.1698 0.18760.0971 0.1907 0.1678 0.15580.1942 0.2151 0.1667 0.16300.2913 0.2464 0.1691 0.16380.3883 0.3332 0.1600 0.1600稻纵卷叶螟：表 2 均质化处理数列表密度 0.01020.0204 0.0306 0.0408 0.0510 0.0816 0.1020 0.1531 0.2041 0.3061卷叶率0.00990.0144 0.0288 0.0459 0.0613 0.08
20、86 0.0990 0.1936 0.1937 0.2647空壳率0.07910.08030 .0853 0.0865 0.0938 0.0951 0.0963 0.1145 0.1290 0.1400第二步，计算各比列数列同参考数列在同一时期的绝对差当 n=0 时， 0123()|.738|0.169再分别计算其与密度下的绝对差，全部结果如表 所示。从中找出最大值和最小值为：中华稻蝗： 表 3 绝对差计算表密度 穗花被害率 01结实率 02千粒重 030 0 0.1738 0.16993 0.0145 0.1407 0.158510 0.0936 0.0707 0.058720 0.0209 0.0275 0.031230 0.0449 0.1294 0.1275
