1、数学试题（理）考试用时 120 分钟。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分1设集合 ，集合 ，则 （ 2|30Mx1|()42xNMN）A B |C D|1x|2x2 定 义 映 射 ： ， 若 集 合 中 元 素 在 对 应 法 则 作 用 下 的 象 为 ， 则 中 元fBAf3logxA素 9 的 象 是 （ ）A 3 B 2 C2 D33已知复数 是纯虚数，则 a 的值等于 （ 2()izaR）A B C1 D3324设 ，集合 ， 。若 ，则1a10x20xaxAB的取值范围是 （ ）A B C D33a313a5已知 是公比为 的等比数列，且 成等差数列则
2、 （ anq21a,q）A1 或 B1 C D 226若 ab，则下列不等式中正确的是 （ ）A B C D2ab2ab2ab7下列函数既是奇函数，又在区间 上单调递减的是 （ 1,）A B ()sinfx()fxC D2l1()2xfa8设 为两条直线， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是 （ ab即即）A若 与 所成的角相等，则即 abB若 ， ，则ab C若 ，则 即 D若 ， ，则ab9二次方程 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 （ 210,()ax）A B C D0a1a1a10在 中， 所对的边长分别是 满足Cbcbcaos2则 的最大值是 （ in）A B C D21
3、21211已知 是其定义域上的单调递增函数，它的反函数是 ，且()yfx 1()yfx的图象过 两点，若 ，则 x 的取值范1(4,0)(2,3A1|(|3f围是 （ ）A B C D4,21,12若 是取自集合 中的三个不同的数，且满足 为奇abc234567abc数，则 不同选取方法共有 （ ,BCDEOA）A132 种 B96 种 C60 种 D24 种二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,把答案直接填在题中横线上13 的展开式中，常数项为 （用数字作答）61()x14设 F 为抛物线 的焦点，与抛物线相切于点 的直线 l 与 x 轴的交2yx(4,)P-点为 Q
4、， _P15已知实数 满足 则 的最大值是 xy1,x2y16若球 的表面积为 ，边长为 2 的正三角形 的三个顶点在球 的表面上，O6ABCO则球心 到平面 的距离为 ABC三解答题：本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程17 （本小题满分 10 分）设函数 =pq,其中向量 p= ,q= ()fx(sin,cosi)xx(2cos,sin)xxx R（）求函数 的最大值； ()f（）求函数 的单调递增区间x18 （本小题满分 12 分）如图，等边 与直角梯形 ABDE 所在平面垂直， ，AEAB，ABC/BDA，O 为 AB 的中点2DE（）证明： ；（）求
5、二面角 的大小19 （本小题满分 12 分）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，其中甲袋装有 1 个红球，4 个白球；乙袋装有 2 个红球，3 个白球。现从甲乙两袋中各任取 2 个球。（）用 表示取到的 4 个球中红球的个数，求 的分布列及 的数学期望；（）求取到的 4 个球中至少有 2 个红球的概率。20 （本小题满分 12 分）设数列 的前 项和为 ，且满足 nanS2+3=,211nnS1,3（）求证：数列 为等比数列；1+（）设 ,求证： 2nSb1.21nb21 （本小题满分 12 分）已知双曲线 =1（a0，b0 ）的一条渐近线方程为 y= ,两条准线的距离2yx x3为 1（）求
6、双曲线的方程；（）直线 l 过坐标原点 O 且和双曲线交于两点 M，N，点 P 为双曲线上异于 M，N的一点，且直线 PM，PN 的斜率均存在，求 kPMkPN 的值22 （本小题满分 12 分）设 aR，函数 （ ） ，其中 e 是自然对数的底数1()2xfe12a（） 判断函数 在 R 上的单调性;f（） 当 时，求函数 在1，2 上的最小值01a)(xf参考答案注意：本评分标准仅供参考，其他正确解答请参照评分标准酌情给分一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C D B A D C D C C B A二、填空题： 13 ； 1415； 15 ； 1
7、6 。90o 4263三、解答题：本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程17解：（）p = （sin x,cosx+sinx） ，q=（2cos x,cosxsinx）, = pq= = 函数 f（x）的最大值为 5()fx2sin()42分（）由 2 2x+ 2 + （k Z） 得kk x + （k Z） ，k388函数 f（x）的单调递增区间为 , + （kZ） 10 分k3818方法一：（）证明：因 为等边三角形，且 O 为 AB 中点ABCCAB又 平面 ABDE 平面 ABC CO 平面 ABDE DE 平面 ABDE CO DE 5 分（）解：过 O
8、 作 于 ，连接 ，则由三垂线定理得KDEKKED所求二面角的平面角为在正三角形 中可求得 ，在直角梯形 中可求得 ，ABC3ABDE35O所以所求二面角的大小为 12 分15tan3OK15arctn3方法二：以 的中点 为原点建立直角坐标系（如图） ，则 ，AB0,A，0,1B， ， ，3,0C,12D0,1E（）证明： ， ， ， (3)O,20CODE，E（）解：显然，面 的一个法向量 ，ABE1,0m设面 的一个法向量为 ，则DC,nxyz由 得 ， 由 得 ，nE30xyznDE2yz解得 ， 所以所求二面角的大小为,126cos,4m6arcos419解：（）： ， 23459(
9、0)0CPA2113324455()CP， 123442553()10C1245(3)CPA随机变量 的分布列为0 1 2 3p95015数学期望 8 分6E（）所求的概率 12 分37(2)()()120PP20证明：（） ,+3=1nnS 又 ,)(+1nS 3=1是首项为 ，公比为 的等比数列且 41+nS3 *31,NnS分（） 时， ,=2=1Sa时， 1n )13()(nnn )3(1n12n故 8 分1*23,Na12 1,1()()33nnn nnb )13()(). 1322121 nnn12 分3n21 （）解：依题意有：解得 a2=1,b2=3 所以双曲线方程为 x2 6
10、 分2,1,cbab .13y（）解：设 M（x 0,y0）,由双曲线的对称性,可得 N（x 0,y 0） 设 P（x P,yP）,则 又2000 xykPPPN132所以 同理.320xy,32所以 12 分.20xkPPNM22解：（） 2 分)12(21)1(1)( axeaxeaexf x由于 , 只需讨论函数 的符号:021e 2xg当 a = 0 时, ，即 ，函数 在 R 上是减函数； 4 分1)(xg0)(f)(xf当 a0 时, 由于 ，可知 ，04)(42aa 0)(,)(xfg即函数 在 R 上是减函数； 6 分)(xf当 a0 时, 解 得 ，且 0)(gax1a1在区间 和区间 上， ，a1, , 0)(,)(xfxg即函数 是增函数；在区间 上， ，)(xf a1, )(,)(f即函数 是减函数9 分)(f综上可知：当 a0 时，函数 在 R 上是减函数；当 a0 时, )(xf函数 在区间 上是增函数；)(xf a1,在区间 上是减函数；在区间 上是增函数a,1 ,1a（） 当 时， ,02,1a所以, 函数 在区间1，2上是减函数，其最小值是 12)(xf 215)(ef
