1、正方形 一.本节课的地位和作用 ：正方形是人们日常生活中应用较广的一种几何图形，也是四边形一章中的重要研究对象。正方形的性质和判定方法是本大节讲的平行四边形、矩形、菱形的性质和判定的综合，是在已有知识的基础上作进一步研究。本大节的学习还多次运用到了平行线和全等三角形的知识，从这个角度上看，本章内容也是对前面内容的应用与深化。由于正方形是最特殊的平行四边形，兼备矩形、菱形的所有性质，所以是四边形一章中许多综合性题目常以正方形为背景。二、教学目标分析了解正方形与矩形、菱形的关系，掌握正方形的概念、性质和判定，了解正方形中的旋转关系，并能运用这些知识进行有关的证明和计算通过正方形性质和判定方法及相关
2、问题的证明，可进一步发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。通过对正方形中旋转关系的认识，发展几何直觉；通过对不同问题的探究及相关问题的证明，可进一步发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。三、重难点分析正方形的知识包括正方形的定义、性质和判定方法，掌握好定义是学好本小节的关键。正方形与矩形、菱形的关系，是教学的重点，也是难点，可通过图形或教具、集合关系图搞清他们之间的关系。利用正方形的性质与判定，证明有关命题也是难点。对正方形知识的深化，可以从多个角度把知识进行整合，认识正方形中的旋转关系，是教学的重点，也是难点可通过图形或教具使学生搞清他们之间的关系，了解常见的几种旋转方式。注意在
3、规范证明的基础上，推理论证能力有所提高和发展。本节的重点难点确定还要根据学生前面学习矩形、菱形的具体情况综合地分析，要通过本节的教学，归纳前面所学内容，澄清一些模糊概念。在此处还可通过一些综合性性题目渗透新课标中所倡导图形变换和理论联系实际的观念。四、教学内容解析1定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2正方形的性质：因为正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形，所以正方形既具有矩形的所有性质，又具有菱形的所有性质：正方形对边平行且相等；正方形四个角都是直角；正方形对角线相等且互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形的两条对角线将它分成四个全等的等
4、腰直角三角形；正方形既是轴对称图形，它有 4 条对称轴，同时它又是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点。若正方形的边长为 a，则对角线的长为 ，面积是 。3正方形的判定：自主思考：（1）正方形是矩形吗？如何使一个一般的矩形成为正方形？（2）正方形是菱形吗？如何使一个一般的菱形成为正方形？（3）正方形是平行四边形吗？如何使一个一般的平行四边形成为正方形？得出：（1）先判定是矩形，再证明邻边相等；或对角线互相垂直（2）先判定是菱形，再证明有一个角是直角；或对角线相等五、例题解析例 1一位小姐在商店里看到一块漂亮的纱巾,她拿起看时总感觉这块纱巾不是正方形的. 商店老板看到她犹豫不决的样子, 走
5、过来拿着纱巾拉起一组对角, 让小姐看另一组对角是否对齐(如图), 这位小姐还是有些疑惑, 老板又拉起另一组对角, 让小姐检验. 小姐终于买下了这块纱巾. 你认为这位小姐买的这块纱巾一定是正方形吗? 如果你是这位顾客, 你准备用什么方法来检验这块纱巾是不是正方形呢? 答：可以采用如图所示的方式检验如图，将一张矩形纸片 折叠，使 落在边上，然后打开，折痕为 ，顶点 的落点为 则四边形 是正方形分析：本题考查正方形的实际应用例 2. （1）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A对角线互相平分 B四角都相等C四条边都相等 D对角线互相垂直（2）若正方形对角线长为 d，则正方形的边长为_，面积为_。
6、（3）如图，正方形 中， 是 延长线上一点，且 ， 交于点 =_度， =_度若正方形的边长为 3，ACE 的面积是_。（4）如图，等边三角形 ADE 在正方形 ABCD 内部，连接 BE、EC，问：图中共有几个等腰三角形，它们的顶角分别是多少度？ 如图，若等边三角形 ADE 在正方形 ABCD 外部，则BEC=_分析：本题考查正方形的性质及相应的简单运算，应充分意识到正方形兼具矩形和菱形的性质，能用它们解决具体问题解：（1）B (2) , (3)22.5,112.5, (4)四个，顶角分别为 60,30,150，BEC=30例 3.填空： 一组邻边_的菱形是正方形； 一组邻边_的矩形是正方形；
7、一组邻边_的平行四边形是正方形。对角线_的菱形是正方形；对角线_的矩形是正方形；对角线_的平行四边形是正方形；对角线_的四边形是正方形；分析：本题考查正方形的判定解：一组邻边垂直的菱形是正方形； 一组邻边相等的矩形是正方形；一组邻边垂直且相等的平行四边形是正方形。对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线垂直且相等的平行四边形是正方形；对角线相等且垂直平分的四边形形是正方形例 4如图，正方形 中， ， ， ， 分别为四条边上的点，并且（1）探究：四边形 是何种特殊的四边形？（2）若 AB=2，AE=t，四边形 的面积为 y，求 y 与 t 的函数关系式。分析及解答：（1）四
8、边形 是正方形可以证明 EF=FG=GH=HE 且AHE=BEF即四边形 EFGH 是菱形又AEH+AHE=90AEH+BEF=90从而 HEF=90所以四边形 EFGH 是正方形（2）AB=2，AE=t，所以 AH=2-t四边形 的面积为 y =22-4 =2t2-4t+4(0t2)例 5.解答下列系列问题： (1)已知：如图，正方形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，连接 AE，过 D 作 DFAE，交 AB 于F，探究 AE 与 DF 的数量关系，并证明你的结论。分析：可以证明DAFABE则 AE=DF (2) 已知：如图, 点 F 在 AB 上， 点 M 在 AD 上，过 M 作 M
9、NDF，交 BC 于 N，问：是否还有 MN=DF？分析：MN 相当于把上一题的 AE 平移到 MN，因此可以过 A 作 AE/MN,交 BC 于 E由上题可知 DF=AE，同时可证四边形 AMNE 是平行四边形，从而 MN=AE=DF（3）已知：正方形 中， 过对角线的交点 ，且 EFGH试判断被分得的四个小四边形的面积有何关系？为什么？分析：可以应用正方形是一个中心对称和轴对称图形的观念直观理解，这四部分的面积是相等的事实上，从旋转角度理解更好例 6、把正方形 绕着点 ，按顺时针方向旋转得到正方形 ，边 与交于点 （如图）试问线段 与线段 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想分析：本题
10、考查正方形的旋转，并且是绕其中一个顶点旋转的问题注意对多种解法的探究解： 证法 1：连结 ，四边形 ， 都是正方形由题意知 ，又 ，证法 2：连结 四边形 都是正方形，由题意知 例 7、如图，正方形 绕点 逆时针旋转 后得到正方形 ，边 与交于点 （1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；（2）若正方形的边长为 ，重叠部分（四边形 ）的面积为 ，求旋转的角度 分析：例 6、例 7 研究的都是两个相同的正方形绕顶点旋转并重叠的问题解：（1）我连结的两条相交且互相垂直的线段是_AO_和_DE_理由如下：证
11、明： 在 与 中， ，（即 平分 ）（等腰三角形的三线合一）注：其它的结论也成立如 （2）旋转角度为 四边形 的面积为 ，三角形 的面积 ， 例 8、四边形 ABCD、 DEFG 都是正方形，连接 AE、 CG （1）求证： AE=CG；（2）观察图形，猜想 AE 与 CG 之间的位置关系，并证明你的猜想分析：本题是两个不同正方形绕顶点旋转并不重叠的问题解：(1) 证明： 如图， AD=CD， DE=DG， ADC= GDE=90o， 又 CDG=90o + ADG= ADE， ADE CDG AE=CG （2）猜想： AE CG 证明： 如图，设 AE 与 CG 交点为 M， AD 与 CG
12、 交点为 N ADE CDG， DAE= DCG 又 ANM= CND， DAE+ ANM= DCG+ CND=90o AMN= ADC=90o AE CG 例 9、已知：如图，在 ABC 中， AB=AC， AD BC，垂足为点 D， AN 是 ABC 外角 CAM的平分线， CE AN，垂足为点 E，（1）求证：四边形 ADCE 为矩形；（2）当 ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？并给出证明（1）证明：在 A BC 中， AB=AC， AD BC BAD= DAC AN 是 ABC 外角 CAM 的平分线， DAE= DAC+ CAE= 180=90又 AD BC，
13、CE AN， =90， 四边形 ADCE 为矩形 （2）例如，当 AD= 时，四边形 ADCE 是正方形证明： AB=AC， AD BC 于 D DC= 又 AD= ， DC=AD由（1）四边形 ADCE 为矩形， 矩形 ADCE 是正方形例 10、 如图 10-1，已知 P 为正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点(不与 A、 C 重合)，PE BC 于点 E， PF CD 于点 F.(1) 求证： BP=DP；(2) 如图 10-2，若四边形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形 ABCD
14、的两个顶点，分别与四边形 PECF 的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .分析与解答： 解法一：在 ABP 与 ADP 中，利用全等可得 BP=DP. 解法二：利用正方形的轴对称性，可得 BP=DP. 不是总成立 .当四边形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转，点 P 旋转到 BC 边上时，DP DCBP，此时 BP=DP 不成立. 连接 BE、 DF，则 BE 与 DF 始终相等.在图 10-1 中，可证四边形 PECF 为正方形， 在 BEC 与 DFC 中，可证 BEC DFC . 从而有 BE=DF【同步练习】一、填空题(每题 3 分，共 30 分)1正方形的一边长 5cm，则周长为 cm，面积为 cm22E 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，且 AEAB，则ABE 3E 是正方形 ABCD 内一点，且EAB 是等边三角形，则ADE
