1、梯形知识要点：1梯形的定义： 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形说明：（1）梯形是一种特殊的四边形；（2）证明梯形时除了证明一组对边平行外，特别注意还要证明另一组对边不平行；有时证明不平行比较困难，还可以证明平行的这一组对边不相等2梯形常用的辅助线做法： (1) 过一顶点作一腰的平行线，分解成一个平行四边形和一个三角形；(2) 过一顶点作一条对角线的平行线，构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形； (3) 过一腰中点作另一腰的平行线，构造出平行四边形和一对全等的三角形；(4) 过一底边的端点作另一底边的垂线, 构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全
2、等;(5) 延长梯形的两腰使其交于一点, 构成两个形状相同的三角形；(6) 连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交，构造一对全等的三角形， 将梯形作等积变换；3特殊的梯形1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形例题分析例 1已知：如图，四边形 ABCD 为矩形，四边形 ABDE 为等腰梯形， 。求证：证明：四边形 ABCD 为矩形，四边形 ABDE 为等腰梯形，且 为其对角线
3、， 。在 和 中， ，又 ，例 2已知，如图，梯形 ABCD 中， ，延长 AB 到 E，使 ，求证：证法一：由四边形 ABCD 是等腰梯形，又 ， ADC=CBE在 与 中， ，于是 ，故 。证法二：如图，连结 BD，由 可知四边形 DCEB 为平行四边形，所以又四边形 ABCD 为等腰梯形，于是 ，故证法三：如图，作 于 于 M。在 与 中，所以又 ，故又由 ，可得 MF=BE所以所以 F 为 AE 的中点， CF 为 AE 的垂直平分线，所以证法四：如图，连结 BD。由 知四边形 BECD 为平行四边形，所以 。又四边形 ABCD 是等腰梯形，所以又由 ，可知 。所以1=2所以1=3所以
4、 AC=CE 说明：本题采用了几种常用的作辅助线的方法证得结论，目的是说明解与梯形有关的问题经常用这些作辅助线的方法。例 3如图，把边长为 2cm 的正方形剪成四个全等的直角三角形请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙） ，并把你的拼法画出来： （1）不是正方形的菱形一个；（2）不是正方形的矩形一个；（3）梯形两个；（4）不是矩形、菱形的平行四边形一个；（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形一个。解： 例 4如图，已知：四边形 ABCD 是等腰梯形，其中 ，若 ， . 求：梯形 ABCD 的面积. 解答：过点 D、 C 作 于 E， 于 F. 则根据等腰梯形的轴
5、对称性可知： . ， 四边形 CDEF 是矩形. . 在 中，根据勾股定理有， .例 5如图，已知：在梯形 ABCD 中， ， AC、 BD 相交于点 O. 求证：. 证明： ，A、D 两点到 BC 的距离相等. 即 中 BC 边上的高与 中 BC 边上的高相等. （等底等高）. 例 6已知梯形 ABCD 中， ADBC ， AD=5cm BC=7cm， AB=6cm 求另一腰 CD 的取值范围解：如图，过 D 点作 DEAB ，交 BC 于点 E ADBC ， DEAB ，四边形 ABED 是平行四边形， DE=AB=6，在 DEC 中， ，4（cm） DC 8（cm） 例 7如图，已知：在
6、等腰梯形 ABCD 中， （1）若 ， ，梯形的高是 4，求梯形的周长；（2）若 ， ，梯形的高是 ，求梯形的周长 ；（3）若 ， ， ，求证： 解：（1）如图，过点 A 作 于点 ，则在等腰梯形 ABCD 中， 在 中， 所以，等腰梯形 ABCD 的周长是 （2）类似（1） ， 在 中，所以，等腰梯形 ABCD 的周长是（3）如图，过点 D 作 ，交 BC 的延长线于点 F， 即得平行四边形 ACFD，则 ， 在等腰梯形 ABCD 中， 而 在 中，所以BDF=90，即 BDDF又因为所以例 8如图，在梯形 ABCD 中，对角线 于点 P求证：证明：由 ，可知 ，且 所以，解答问题：（1）上
7、述证明得到的性质可以叙述为：_（2）已知：如图，等腰梯形 ABCD 中， ，对角线 于点 P， ，利用上述的性质求梯形的面积解析：（1）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半（2）先利用例 7（3）的方法，求出 ；再利用上述性质，求出 例 9已知：梯形 ABCD 中，ADBC，E 为 DC 中点，EFAB 于 F 点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形 ABCD 的面积解：如图，过 E 点作 MNAB，分别交 AD 的延长线于 M 点，交 BC 于 N 点DE=EC，ADBC，可以证明DEM CNE，四边形 ABNM 是平行四边形EFAB，S 梯形 ABCD=SABNM =ABEF=
8、3cm5cm=15cm2例 10已知：梯形 ABCD 中， AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形 ABCD 的面积。解：如图，作 DEAC，交 BC 的延长线于 E 点。ADBC四边形 ACED 是平行四边形BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5DE=AC=4在DBE 中，BD=3，DE=4，BE=5BDE=90作 DHBC 于 H，则例 11已知：梯形 ABCD 中，ADBC，E 是 AB 的中点，ECD 的面积为 10，求梯形ABCD 的面积。解：如图 12，取 DC 的中点 F，连结 EF，作 DHBC 于 H 点。AE=EB，DF=FC，ADBC，EFADBC，DHEFEF
9、DH=20例 12有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图上） ，并给予合理的解释图（1） 图（2） 分析：思路（一）连接梯形上、下底的中点思路（二） 在下底上截一边及另一腰为边的三角形，使它们面积为原梯形面积的一半思路（三） 取梯形一条对角线的中点，连接另外两个顶点所得的两个四边形解：设梯形上、下底分别为 、 ，高为 方案一：如图（1） ，连接梯形的上、下底的中点 E、 F，则方案二：如图（2） ，延长 BC 至 F，使 ，取 的中点 E，连接 AE，则 方案三：如图（3） ，连接 AC，取 AC 的中点 E，连接 BE、 ED，则四边形 ABED 的面积等于梯形 ABCD 的面积的一半分析可知，因为 ，所以 ， ，所以 ，故有四边形 ABED 的面积等于梯形 ABCD 的面积的一半【同步练习】一、填空题
