1、第 1 页 共 4 页高考物理中求解极值问题数学方法几例一引言物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。物理极值问题是物理学中的一个重要内容，涉及的知识面广，综合性强。在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。如果在解决这些问题时能与数学知识灵活地整合，运用适合的方法，将会拓展解决物理问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。二数学知识求解物理极值问题的几个例子（一）利用求导的方法求极值通过高等数学知识可知，如果当 x0 时，有极限，我们把这个极限叫做 f(x)在该点(x=x 0)的导数。它正是曲线在该点处切线的斜率 tan。如果 f (x0
2、) =0, 则在 x0处函数有极值。例 1：如图 1 所示，相距 2L 的 A、B 两点固定着两个正点电荷，带电量均为 Q。在它们的中垂线上的 C 点，由静止释放一电量为 q，质量为 m 的正检验电荷（不计重力） 。试求检验电荷运动到何处加速度最大，最大加速度为多少？解：由于对称性，在 AB 的中点受力为零，在 AB 中垂线上的其它点所受合力均是沿中垂线方向的。当 q 运动到中垂线上的 D 点时，由图可知 sin)co/(2sin21LkQF合故其加速度为： )sin(si 322 mkqkqma合发现加速度是一个关于 的函数，令 3sifcosin3cos)( 2f）f的 导 数 为则 0i
3、s,0) 2即令， （ ）3sin解 得 不 合 题 意有 极 值 ,90 图 1第 2 页 共 4 页即 3923)(3arcsin 有 极 大 值 为时 ）f所以当 时，加速度有最大值为：ri 42mLKQq（二）用图像法求极值通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，做出其图像，由图像可求得极值。例 2：从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用 20 秒，前进了 50 米。求这过程中汽车达到的最大速度。解：设最大速度为 vm,即加速阶段的末速度为 vm：画出其速度时间图象，如图 2 所示，图线
4、与 t 轴围成的面积等于位移。即： mVS21即： s）Vm/505解 得(三) 利用三角函数求极值例 3：物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为 ，物体重为 G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力 F 为多大？该题的已知量只有 和 G，说明最小拉力的表达式中最多只含有 和 G ，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力 F可由夹角的不同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到与夹角有关的关系式再作分析。解：设拉力 F 与水平方向的夹角为 ，根据题意可列平衡方程式， 即 0cosfGNinf由联立式解得：,)sinco(sin1cosin2F )sin(12G图 2
5、 N Ff mg 图 3 t0 20V/m.s-1第 3 页 共 4 页其中 , 所以 1tanGF2min1(四) 利用矢量求极值矢量是物理学中常用的数学工具，有时使用矢量可以求出某些极值问题。对于例 3，我们也可以用矢量知识求极值。将摩擦力 f 和地面对木块的弹力 N 合成一个力 F，如图 4，F与竖直方向的夹角为（为一定值） 。这样木块可认为受Nftan到三个力:重力 G,桌面对木块的作用力 F和拉力 F 的作用。尽管 F 大小方向均未确定，F方向一定，但大小未定，但三力首尾相连后必构成三角形，如图 5 所示。只用当 F与 F垂直时，即拉力与水平方向成 角时，拉力 F 最小为sinG而
6、221tan1si 故 2iGF(五) 利用不等式求极值例 5：一轻绳一端固定在 O 点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图 6 所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？ 解：当小球运动到绳与竖直方向成 角的 C 时，重力的功率为：P=mg cos=mgsin 小球从水平位置到图中 C 位置时，机械能守恒有：21cosmvgL解可得： 2sincogLP令 y=cossin F/ N F f G FFGFFFF图 4v mgABCO LT图 5图 6第 4 页 共 4 页)sincos2(1ico2(1in42y2)cos(2i 又根据基本不等式 ，可知：abca3当且仅当 ，y 有最大值22sinco3co1s22 ）得由结论：当 时，y 及功率 P 有最大值。3co三小结以上求极值的方法是求解高考物理极值的常用方法。当然，除了以上方法还可以用配方法、函数法等方法求极值问题。在使用中，必须考虑实际问题，找出符合物理规律的物理方程或物理图象，利用恰当的数学模型，使用合适而有效的方法，提高计算的效率。
