1、 1 利用数形结合思想探究与圆有关的最值问题 庄晓燕 2018.9.12 一、 问题的提出 在运 动变化中，动点到直线、圆的 距离会发生变化，在变化过 程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等常常涉及圆上一点到直线的距离最值问题、切线长最值问题、圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题、过定点的圆的弦长最值问题等 .这些问题常常利用平面几何知识或圆的参数方程或设圆上点的坐标，直接求出最值或转化为函数的最值问题，利用函数求最值的方法求解 ,与圆有关的长度最 值问题有以下题型： 二、 问题的探源 这些与圆有关的最值问题常常利用平面几何知识或圆的参数方程或设圆上点的坐标，直接求出最值或转化为函
2、数的最值问题，利用函数求最值的方法求解 三、 问题的佐证 1.已知含参数直线与圆位置关系，求直线方程中参数取值范围问题 画出圆图像，利用直线过定点，结合图像即可确定直线方程中满足的条件，利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离 公式 ，列出关于参数的不等式或方程，即可求出参数的范围 . 例 1 若直线 2xym 与曲线 21 | 4 |2yx恰有三个公共点，则实数 m 的取值范围是 . 思路 分析： 直线 2xym 与曲线 21 | 4 |2yx恰有三个公共点，实数 m的取值范围，可以转化为直线 2xym 的图象与曲线 21 | 4 |2yx的图象有三个交点时实数 m 的取值范围，作出两个函数的
3、图象，通过图象观察临界直线，从而求出 m 的取值范围；本题曲线 21 | 4 |2yx的图象是易错点， 画图时要分类讨论，知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成 2 解析： 由题意知，曲线 21 42yx的图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成，故直线 2xym 与曲线 21 42yx恰有三个公共点的临界直线有：当直线 2xym 过 点 (2,0) 时，即 01m ，故 1m ；当直线 2xym 与椭圆的上部分相切，即221244 xy x ，即 2x ， 22y 时，此时2m ，故实数 m 的取值范围是 (1, 2) . 点评： 本题主要考查的是直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题 2
4、.已知点满足与圆有关 的某个 条件，求圆中参数或点的坐标的取值范围问题 作出相应的图形，利用数形结合思想找出圆中相关量，如圆心坐标、圆心到某点距离、圆的半径、圆的弦长或圆的弦心距等满足的条件，列出不等式或方程或函数关系，再利用相关方法求出参数的范围 . 例 2 设点 0,1Mx ，若在圆 22: + 1O x y 上存在点 N ，使得 45OMN ，则 0x 的取值范围是 . 思路分析： 作出图像，由图知，圆心 O 到直线 ON 的距离小于等于 1，从而得出 2OM ，列出关于 0x 的不 等式，即可解出 0x 的范围 . 解析： 依题意，直线 MN 与圆 O 有公共点即可，即圆心 O 到直线
5、 MN 的距离小于等于 1即可，过 O 作 OA MN ，垂足为 A ，在 Rt OMA 中，因为 =45OMA ，故 2= sin 4 5 12O A O M O M，所以2OM ，则 20 12x ，解得 011x . 点评： 本题主要考查了直线与圆的位置关系及数形结合思想，解决本问题的关键是通过数形结合找出点 M 满足的条件 . 3. 与距离有关的最值问题 3 在运 动变化中，动点到直线、圆的 距离会发生变化，在变化过 程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等常常涉及圆上一点到直线的距离最值问题、切线长最值问题、圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题、过定点的圆的弦长最值问题等
6、.这些问题常常利用平面几何知识或圆的参数方程或设圆上点的坐标，直接求出最值或转化为函数的最值问题，利用函数求最值的方法求解 ,与圆有关 的长度最值问题有以下题型： 圆外一点 A 到圆上距离最近为 AOr ，最远为 AOr ； 过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦； 直线与圆相离，则圆 上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离 dr ，最近为 dr ； 过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定 点为直径端点的圆的面积 . 圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题常转化为圆心与曲线上的动点距离问题，利用两点间距离公 式转化二元函数的最值问题，利用消元法转化一元函数在某个区间上的最值问
7、题求解 . 例 3 在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P 为圆 C ： 22( 2) 5xy 上的任意一点，点 Q (2 , 2)aa ，其中 Ra ，则线段 PQ 长度的最小值为 . 思路分析： 由首先要看出 (2 , 2)Q a a 是直线 2 4 0xy 上的点，要求 PQ长度的最小值实质上是求圆上的点到直线的距离的最小值为 dr ， 则 2 0 4 6555d ， PQ 长度的最小值为 6 5 5555 解析： 显然 (2 , 2)Q a a 是直线 2 4 0xy 上的点，圆心 (2,0)C ，半径为 5 ，圆心 C 到直线 2 4 0xy 的距离为 2 0 4 6555d ，所以
8、 PQ 长度的最小值为 6 5 5555. 点评： 本题表面上考查两点间距离，实质上由圆的几何性质知，与圆上的点有关的距离的最值问题都要与圆心联系起来，直线与圆相离时，圆心到直线4 的距离为 d ，圆半径为 r ，则圆上的点到直线的距离的最大值为 dr ，最小值为 dr 另外动点问题，要注意的是动点必在某条曲线上，找到这条曲线后可借助曲线的性质分析、解决问题 4. 与面积相关 的最值问题 与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想， 利用数形结合思想求解 . 例 4 动圆 C 经过点 (
9、1,0)F ，并且与直线 1x 相切，若动圆 C 与直线2 2 1yx 总有公共点，则圆 C 的面积 . 思路分析： 设出动圆圆心坐标与半径，根据条件找出半径与圆心满足的关系 式，利用动圆 C 与直线 2 2 1yx 总有公共点，列出某个量的不等式，求出其取值范围，从而求出圆的半径的取值范围 ,作出正确选择 【 解析 】设圆心为 (, )ab ，半径为 r ， | | | 1|r CF a ，即 2 2 2( 1) ( 1)a b a ，即 214ab ，圆心为 21( , )4bb， 21 14rb，圆心到直线 2 2 1yx 的距离为22| 2 2 1 |4 142b b bd ， 2(2
10、 2 3)b 或 2b ， 当 2b 时，min 1 4 1 24r ， 2min 4Sr. 点评： 本 题主要考查直线与圆的位置关系、转化与化归思想及运算求解能力，转化与化归思想是解题的关键 . 5.圆上点的坐标满足关系式的最值或取值范围 问题 本类问题有三种解题思路 ： 思路 1：充分利用所给式子的几何意义，利用数形结合思想解题； 思路 2：设所给式子等于 z，代入圆的方程化为一元二次方程，利用判别式即可求出参数的范围； 思路 3：利用圆的参数方程或消元法化为函数问题，利用函数求最值的方法求最值 ,注意留下变量的范围 . 5 例 5 实数 x、 y 满足 223 2 6x y x，则 22
11、 yx 的最大值为 . 思路分析： 22 yx 表示曲线 223 2 6x y x上点到坐标原点距离，故可用消元 法 化为关于 y 的函数，再求最值 . 解析： 由题： 223302y x x ， 02x ，因此2 2 2 21 1 93 ( 3 )2 2 2x y x x x ，所以当 2x 时， 22xy 取得最大值 4 ，故222xy 点评： 本题考查了消元法及函数的最值的求法，要掌握本类试题中一些式子的几何意义，如 22) ( )x a y b （ 表示曲线上点 (, )xy 与点（ a,b）之间距离的平方； ybxa 表示曲线上点 (, )xy 与点（ a,b）连线的斜率； z Ax
12、 By注意将直线 z Ax By在坐标轴上的截距与 z 联系起来解题 . 综上所述，解决与圆相关的最值问题的关键要善于利用数形结合思想，利用几何知识求最值，要善于利用转化与化归思想将最值问题转化为函数的最值求解 . 四、 问题的解决 1、 设点 P(x， y)在圆 x2 (y 1)2 1 上，求 22( 2)xy的最值 【解析】 22( 2)xy的几何意义是圆上的点与定点 (2,0)的距离 因为圆心 (0,1)与定点的距离是 22( 2 0) ( 0 1) 5 ，圆的半径是 1， 所以， 22( 2)xy的最小值是 51 ，最大值是 5+1 . （ 1） 化为求斜率问题 求 21yx 的最小值
13、 【解析】法一：令 21yx = t，则方程组2221( 1) 1y txxy 一定有解消去 y，整理得 (1 t2)x2 2(t2 3t)x (t2 6t 8) 0 有解所以， 4(t2 3t)2 4(1 t2)(t2 6t 8) 0，即 6t 8 0，解得 t 43.故 y 2x 1的最小值是 43. 6 法二：令 21yx = k， 则 k 表示圆上任一点与 ( 1， 2)点连线的斜率， kx y k 2 0， 由 |0 1 k 2|k2 1 1， 得 k 43. y 2x 1的最小值为 43. （ 2） 化为求圆心到直线距离问题 求直线 x y 2 0 上的点到圆的距离的最值 解析：圆
14、心为 (0,1) ，到直线 20xy 的距离为 12 3222 ， 因此直线上的点和圆上的点的最大距离为 32+12 ，最小距离为 3212 .（ 3） 化为求圆心到直线距离问题 若圆上有且只有四个点到直线 3x 4y C 0 的距离为 12，求 C 取值范围 【解析】由题意，圆心 (0,1)到直线的距离小于 12即可， 则 | 4 C|32 42 12， 解得 32 C 132.所以 C 的取值范围为 313( , )22 . 解与圆有关的最值问题，要明确其几何意义： (1) ybk xa 表示圆上的点 (x， y)与定点 (a， b)连线的斜率，直线方程可与圆的方程联立得到关于 x 的一元
15、二次方程，利用 0 求 k 的最值；也可用圆心到直线的距离 d r，求 k 的最值 (2)直线与圆相离时，直线上的点到圆的距离的最大值为 d r，最小值为7 d r. 纵观近几年高考对于圆的的考查，重点放在与圆相关的最值问题上 ,主要考查与圆相关的参数范围问题和圆相关的长度或面积的最值问题 .要求学生有较强的数形结合能力、转化与化归意识和准确的计算能力，才能顺利解答 .从实 际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目 .分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理 .本文就高中阶段出现这类问题加以类型的 总结和方法的探讨 .
