1、用基本不等式证题的技巧与策略在使用基本不等式证明问题时，根据所证不等式的结构，常常需要配合一定的变形技巧与转化策略，才可以使用基本不等式把问题现举例说明如下一、凑项 在凑“和 ”或“积”为定值时，还需要注意凑 “等号”成立，此时必须合理凑项例 1 设 a、 b、c 均为正数，且 a + b + c = 1，求证： + +14ab 4c2分析：考虑等号成立的条件时，必须注意 a、b、c 在问题中的对称地位，即只有 a = b = c = 时，才有可能达到最值，而此时 4a + 1 = 4b + 1 = 4c + 311= 37证明： = ，14a7337)14(a23714a同理 ， b2bc7
2、c + + 4(a + b + c) + 3 + 7 = 14a143221当且仅当 4a + 1 = 4b + 1 = 4c + 1= ，即 a = b = c = 时，上式“=”号成立7二、配项在使用基本不等式时，若能巧妙地添式配项，就可以把问题转化例 2 已知 a ，a ， a 均为正数，且 a + a + + a = 1，求证：12n12n+ + + 21312n证明：因 a ， a ，a 均为正数，故 + a ， + 12n21a421132a ，4322， + a 1n41nn又因 + + + = ( a + a + + a ) = ，2a341n212n21所以，把以上各同向不等
3、式相加，得：+ + + + a + a + + a = 1 21a3212n12n故 + + + 2132a12n三、构造根据问题的整体结构，用基本不等式构造对偶式，然后经过某些运算，促使问题的转化与解决例 3 已知 a ，a ， a 均为实数，且 a + a + + a = A (A0)，a12n12n+ a + + a = (n N，n2) ，求证：0a ( k =1，2，n) 212nAk证明：构造基本不等式如下： a ( ) + a ， a ( ) + a ，1n21n21nA321nA23 a ( ) + a AnA2n将上述(n 1)个同向不等式相加得：( a + a + + a
4、) (Aa ) + a + a + + a ，1n23n212)(12232n即 + a na 2a A0， 0a )A1(A21211A同理可求得 0a ( k =1，2，n) knA四、平方通过平方运算，一可以把和(积)凑成定值，二可以把和(积)问题转化为积(和)问题例 4 若 a、 b、c R+，a + b + c =3，求证： + + 312ab12c3证明：( + + ) = 2a + 1 + 2b + 1 + 2c + 1 +2122c2+2 + 2 2(a + b + c) + 3 + )ba1)(b)(a(2a + 1) + (2b + 1) + (2b + 1) + (2c
5、+ 1) + (2c + 1) + (2a + 1) = 6(a + b + c) + 9 = 27 + + 3 12ab12c五、引参通过巧妙地引入参数，把问题转化成基本不等式结构，使参数在用不等式证题过程中起到一个桥梁作用例 5 已知 a、b、c R+，a + b + c = 1,，求证： + +13ab4 13c证明：引入待定正参数 t ，t = (t + 13a + 1) ，a)13(2at2同理 t = (t + 13b + 1) ，1bbt = (t + 13c + 1) 。3c)(2ct2 + + 得：t( + + ) (3t + 13a + 13b + 13c + 3) = t
6、 + 8 1ab13c223t0 ， + + t + 13ab13c28由于 t0 ，则 t + 2 = 3 8t当且仅当 t = = = ，即 t = 时，式取等号，13ab1c34将 t = 代入 得： + + 4 43六、换元通过换元，把生疏的结构转化为基本不等式形式，使证题思路自然、简捷例 6 已知 a、b、c 为ABC 三边的长，求证：abc (a + bc)(b + ca)( c + ab)证明：设 m = b + ca，n = c + ab，p = a + bc，则由三角形两边之和大于第三边，得 m0，n0，p0，且 a = ， b = ，c = 2n2pmn于是 abc = =
7、 mnp = (a + bc)(b + 2mca)( c + a b)七、配对根据已知不等式的某一边结构，给其配上一个与之对称的代数式，然后将两个代数式联立再使用基本不等式，完成不等式的证明例 7 设 a ， a ，a 和 b ，b ，b 均为正数，且 a + a + + a12n12n12= b + b + + b ，求证： + + + ( a + a + + n12n12anb212a )n证明：设 M = + + + ，12ba2nba2给 M 配对：N = + + + 12ba2nba2则 MN = + + + 122n2= (a b ) + (a b ) + + (a b )= (a + a + + a )(b + b + + b ) = 0 12n12nM = N 当注意到 a + b (a + b) 和 a + a + + a = b + b + + b 得：2212n12nM + N = + + + 12n (a + b ) + (a + b ) + + (a + b )221= (a + a + + a ) + (b + b + + b )12n1n= a + a + + a 由 M = N，所以 + + + ( a + a + + a )12b2nb212n
