1、用极坐标处理二次曲线问题圆锥曲线的极坐标方程知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点 F 作相应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： .cos1ep其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p0 当 0e1 时，方程表示椭圆； 当 e1 时，方程表示双曲线，若 0，方程只表示双曲线右支，若允许0，方程就表示整个双曲线；当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cose
2、p则 0e1 当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆当 e=1 时时，方程表示开口向左的抛物线当 e1 方程表示极点在左焦点上的双曲线（2 ）若 -sinep当 0e1 时，方程表示极点在下焦点的椭圆当 e=1 时，方程表示开口向上的抛物线当 e1 时!方程表示极点在上焦点的双曲线用极坐标处理二次曲线问题（3） 1+sinep当 0e1 时，方程表示极点在上焦点的椭圆当 e=1 时，方程表示开口向下的抛物线当 e1 时!方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求例 1.确定方程 表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。1053cos解法一： 21ss305eP，2 258101
3、03cacab255()83154e方 程 表 示 椭 圆 的 离 心 率 ， 焦 距 ， 25长 轴 长 ， 短 轴 长解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为 ，因此只0需令 ，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左0右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。（2）圆锥曲线弦长问题用极坐标处理二次曲线问题若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F，1、椭圆中， ， .cbap22 22cos)cos(1sabeppMN2、双曲线中
4、， （注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。 ）若 M、N 在双曲线同一支上， ；22cs)cs(se若 M、N 在双曲线不同支上， .22o1oabpMN3、抛物线中， 2sin)cs(1ospp例 1 过双曲线 的右焦点，引倾斜角为 的直线，交双曲线2xy-453与 A、B 两点，求 AB 解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系即得所以又由得注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v 加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。点睛由于椭圆,抛物线的弦的两个端点极径均为正值, 所以弦长都是 ;对于两个端点都在双曲线右支上的弦,其端点极径均为
5、正值, 所以弦长也是 ;对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦,其端点极径一个为正值一个为负值, 所以弦长是 - 或 为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用 523cos12(,)(,)3AB|5580| |723coscs()31212 12-用极坐标处理二次曲线问题变式练习：等轴双曲线长轴为 2，过其右有焦点，引倾斜角为 的6直线，交双曲线于 A,B 两点，求 AB求 AB 解：附录直角坐标系中的焦半径公式设 P（x,y）是圆锥曲线上的点，1、若 、 分别是椭圆的左、右焦点，则 ，1F2 exaPF1；exa22、若 、 分别是双曲线的左、右焦点，12当点 P 在双曲线右支上时， ， ；
6、aexPF1 aexPF2当点 P 在双曲线左支上时， ， ；3、若 F 是抛物线的焦点， .2px利用弦长求面积高考题（08 年海南卷）过椭圆 的焦点 作一条斜率为 22154xyF的直线与椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，求 的面AOB积简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式 求弦长，然2|1cosepAB点极径一个为正值一个为负值,长是 或 12 1212()12| |12cos12(,),()612|AB1|cos2cos()66（ ） 2|64用极坐标处理二次曲线问题后利用公式 直接得出答案。B1|sin2AOSFAO变式(2005 年全国高考理科)已知点 为椭圆 的左焦点.过点2
7、1xy的直线 与椭圆交于 、 两点，过 且与 垂直的直线 交椭圆于F1lPQ1l2l、 两点，求四边形 面积的最小值和最大值.MNMN解析以点 为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为： 21cos设直线 的倾斜角 ，则直线 的倾斜角为 ，由极坐标系1l 2l 09中焦点弦长公式知：，2|1cosPQ202|11cos(9)sinMN用他们来表示四边形的面积1|2SPA21sinco4A21sin6即求 的最大值与最小值2sin16由三角知识易知：当 时，面积取得最小值 ；当si1169时，面积取得最大值 sin202利用弦长公式解决常量问题例一过椭圆 的左焦点 F，作倾斜角为 60 的直线
8、)0(12bayx交椭圆于 A、B 两点，若 ，求椭圆的离心率.l FBA简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。用极坐标处理二次曲线问题设椭圆的极坐标方程为 则 ，cos1ep 0024cos1,6cos1epFBepFA ，解得 ；21epe32变式求过椭圆 的左焦点，且倾斜角为 的弦长 和左焦cos4AB点到左准线的距离。解：先将方程 化为标准形式：231cos则离心率 ， ，13e2p2p所以左焦点到左准线的距为 2。设 ，代入极坐标方程，则弦长125(,)(,)4AB45173coss4（3）定值问题例 1. 抛物线 的一条焦点弦被焦点分为 a,b 的两段，2(0)y
9、px证明： 定值。1ab解：以焦点 F 为极点，以 FX 轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为 ，设1cosp(,),)AaBb将 A,B 两点代入极坐标方程，得 ,1coscs()pp则 = = （定值）1abcos1s()p2用极坐标处理二次曲线问题点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。推论：若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F，则有 epNFM21例二：经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦 AB 和弦 CD,求证 为定1ABCD值。证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为 ，cos1ep又设 则代入可得 12343A,B,+C,D+22， 则2|cosep|1sinep
10、A1-=BCD注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。注意使用的范围。推广 1 若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。需要以原点为极点建立极坐标方程。推广 2 若不取倒数，可以求它们和的最值。例三(2007 重庆理改编)中心在原点 的椭圆 ，点 是其左O21367xyF焦点，在椭圆上任取三个不同点 使12P,01231PFPF 证明： 为定值，并求此定值213解析：以点 为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：F，设点 对应的极角为 ，则点 与 对应的极角分别92cos1P2P3为 、 ， 、 与 的极径就分别是 、010223 1|F92cos与 ，因此2|FP09co
11、s(1)3|F02cos()用极坐标处理二次曲线问题，而在三2131FP00cos2s(1)2cos(1)999角函数的学习中，我们知道 ，因00sco()s()此为定值 2131FP点睛：极坐标分别表示 、 与 ，这样一个角度对应一个1|FP2|3|FP极径就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径） ，这就是极坐标表示圆锥曲线的优点推广 1 若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？推广 2 设 椭圆上的 n 个点，且 圆周角等分123Pn 是 123NFP,则 也为定值ni=1iO作业（2003 年希望杯竞赛题）经过椭圆 的焦点 作倾斜21(0)xyab1F角为 60的直线和椭圆相交于 A，B 两点， |2|AB（1）求椭圆的离心率 ；e（2）若 ，求椭圆方程15|4AB
