1、第 1 页 共 12 页高三第一轮复习 立体几何综合训练题文#1.如图， 是正四棱柱侧棱长为 1，底面边长为 2，E 是棱 BC 的中点1DCBA（1）求证： 平面 ；/1E（2）求三棱锥 的体积.2. 如图，已知棱柱 的底面是菱形，且 面 ，1DCBA1ABCD， =， 为棱 的中点， 为线段 的中点，60DAB1AFM（）求证： 面 ；/MFBCD（）试判断直线与平面 的位置关系，1并证明你的结论；（）求三棱锥 的体积.13. 如图, 在矩形 中, , 分别ABCD2PQ为线段 的中点, 平面 .EABCD（）求证: 平面 ；Q（）求证:平面 平面 ；() 若 , 求三棱锥 的体1EP积.
2、EA1 B1C1D1D CBAA BCDA1 B1C1D1FM第 2 页 共 12 页#4. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， ，点 D 是 AB 的中点。90（）求证： ； （）求证： 平面 。1D5.已知 ABCD 是矩形， ，E、F 分别是线段 AB、BC 的中点， 面4,2ADB PAABCD.(1) 证明：PFFD；(2) 在 PA 上找一点 G，使得 EG平面 PFD.6. 如图所示，在直三棱柱 中， ，1ABC90ACB， ， 2AB13（）证明： 平面 ；1（）若 是棱 的中点，在棱 上是否存在一点D1，使 DE平面 ? 证明你的结论E#7.如图,在长方体 中, ，1
3、ABCD1,2ABC连结 、 .1（）求证： ；1（）求三棱锥 的体积（）求 C 到平面 A1BD 的距离A1B1C1BACD第 4 题图第 5 题图CDBAPEFABCA1B1C1D第 3 页 共 12 页8. 如图，四棱锥 PABCD 的底面为矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面 PAD底面 ABCD，E 是侧棱 PD 上一点，且 PB平面 EAC.(I)求证： E 是 PD 的中点；(II)求证：AE 平面 PCD.9. 如图所示，四棱锥 P-ABCD 底面是直角梯形，底面,2,BADCABPABCD，E 为 PC 的中点PAADAB 1（1）证明：EB平面 PAD；（2）证明： DC平
4、 面 ；（3）求三棱锥 B-PDC 的体积 V#10.如图 ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO 底面 ABCD，E 是 PC 的中点求证：（1）PA/平面 BDE；（2）平面 PAC 平面 BDEEA BCDPPA BDOEC第 4 页 共 12 页AC图图2图DQDB图图1图PCANMCC1ADBA1D1B1MO11. 如图（ 1）是一正方体的表面展开图，MN 和 PB 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将 MN 和 PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题。（）求证：MN平面 PBD； （）求证： 平面 ；AQPBD（）求 PB 和平面 NMB 所成的角的大小#12. 在正方
5、体 中， 为 的中点， 为 的中点，AB=21ABCD1O（I）求证： 平面 ；/（II）求证： 平面 ；1OM（）求三棱锥 的体积1#13.两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为 的正方体中，重合的底1面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”（1）若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求此正子体的体积；（2）在（1）的条件下，求异面直线 与 所成的角DECFABEDFCABEDFC第 5 页 共 12 页14.如图，在长方体 中， ， ， 、 分别为1DCBAaA1B2EF、 的中点1CD1A（）求证： 平面 ；E（
6、）求证： 平面 /F15. 如图，在四棱锥 中，侧面 是正三角形，且与底面 垂直，底面PABCDPAABCD是边长为 2 的菱形， ， 是 中点，过 A、N、D 三点的平面交ABCD60NB于 PM（）求证： ；/N（）求证：平面 平面 M16. 如图，矩形 中， ， ， 为 上的点，ABCDABE平 面2BCFE且 .EF平 面（）求证： ；平 面（）求证； ；BFDA平 面/（）求三棱锥 的体积.GCD1A1B1C1FDA BCPMNA BCDEFG第 6 页 共 12 页第 7 页 共 12 页高三第一轮复习 立体几何综合训练题参考答案1. （1）证明：连接 D1C 交 DC1 于 F，
7、连结 EF正四棱柱，四边形 DCC1D1 为矩形，F 为 D1C 中点.在CD 1B 中，E 为 BC 中点，EF/D 1B.又D 1B 面 C1DE，EF 面 C1DE， 平面 ./BE（2）连结 BD， ，正四棱柱，D 1D面 DBC.BV1DC=BC=2， .2DS.三棱锥 的体积为 .31311VBCDB BC1322. 解：（）（方法一）证明：连结 、 交于点 ，再连结 ABOM且 ， 又 ， 且AOM12/12AF12F/AO四边形 是平行四边形， FM/又 面 面 B/D（方法二）如图：延长至，使，连结，证即可.（） 平面 C1D证明： 底面是菱形， BAC又 面 ， 面1， 平
8、面 BA1平面 MF/（）过点作又于 平面 ， 平面DBHACD， 平面 H11B在tABHk 中， ， 60DA2313111 SVFDFBBDF三 棱 锥三 棱 锥3. 证明: () 在矩形 ABCD 中,AP PB, DQQC,AP CQ.AQCP 为平行四边形. CPAQ. CP 平面 CEP, AQ 平面 CEP, AQ平面 CEP. () EP平面 ABCD, AQ 平面 ABCD, AQEP. AB2BC, P 为 AB 中点, AP AD. 连 PQ, ADQP 为正方形.AQDP. 又 EPDPP, AQ平面 DEP. AQ 平面 AEQ. 平面 AEQ平面 DEP. ()解
9、： 平面 EP 为三棱锥 的高EABCDEAQC所以 .6121331 PPSVQAC A B CDA1 B1 C1D1F MOE第 8 页 共 12 页4. 解：（）证明： 90,ACBCB又在直三棱柱 中，有 ， 平面 11A1BC（）证明：设 与 交于点 P，连结 DP。 易知 P 是 的中点，又 D 是 AB 的中点。 DP。1 平面 ， 平面 ， 平面 D1111D5. 解：(1) 证明：连结 AF，在矩形 ABCD 中， ，F 是线段 BC 的中点， AF FD. 4,2AB又PA面 ABCD，PAFD. 平面 PAFFD. PF FD. (2) 过 E 作 EHFD 交 AD 于
10、 H，则 EH平面 PFD 且 . AH4再过 H 作 HGDP 交 PA 于 G，则 HG平面 PFD 且 . PG1平面 EHG平面 PFD. EG平面 PFD. 从而满足 的点 G 为所找. 6. 证明：（） ， 90ACBAC三棱柱 为直三棱柱， 11B ， 平面 平面 ，11AC ，1BC ，则 A1在 中， ， ， Rt2BC3A ，四边形 为正方形131 ， 平面 111BC（）当点 为棱 的中点时， 平面 EDE证明如下：如图，取 的中点 ，连 、 、 ，1BF 、 、 分别为 、 、 的中点， D1CAB1 平面 ， 平面 ， 平面 AF1ABCEFA1BC同理可证 平面 ，
11、 平面 平面 EED1 平面 ， 平面 FA7. （）证明：连 ， CB 底面 ， 1A1 平面 平面 , ，,1CA1 BD平 面 DAE FAB C A1B1 C1D第 9 页 共 12 页DBQMNPCA（）解： 平面 ， . A1BCD131 ASVBCDBA 21338. 解：() 证：设 AC 与 BD 交于点 O，连结 EO. EO 是平面 PBD 与平面 EAC 的交线.PB平面 EAC， PBEO. 又 O 为 AC 中点， E 为 PD 中点. ()证：由()知 E 为 PD 中点，且PAD 为正三角形，AEPD . 又平面 PAD平面 ABCD 且 CD 平面 ABCD，
12、CDAD .CD 平面 PAD. 又 AE 平面 PAD，CD AE .由、知 AE平面 PCD. 9. 证明：（1）取 PD 中点 Q，连 EQ，AQ，则 12QCDAB QCDABEDEA四 边 形 是 平 行 四 边 形 PPA平 面平 面（2） ABCD平 面平 面QPCBEPCDA平 面 平 面 （3） , BD1S122A BPBDCBDC11VAS33 10. (1) 连接 AC、OE，AC BD=O，在PAC 中，E 为 PC 中点，O 为 AC 中点PA / EO，又EO 平面 EBD ，PA 平面 EBD，PA /BDE（2）PO 底面 ABCD，PO BD 又BD AC，
13、BD 平面 PAC 又 BD 平面 BDE，平面 PAC 平面 BDE 11. 解：MN 和 PB 的位置如右图示： （） NDMB 且 NDMB四边形 NDBM 为平行四边形MNDB- 平面 PDB, 平面 PDBNMDBMN平面 PBD-（） 平面 ABCD， 平面 ，QCACBQ CPDAQCAQP平 面平 面为 的 中 点 PA BDO E C第 10 页 共 12 页EDBQMNPCA又 平面 ,BDACAQC面 ,同理可得 ,QBDB ， 面 PDB P（）连结 PQ 交 MN 于点 E, ,EMNMN 平面连结 BE,则 为 PB 和平面 NMB 所成的角B在直角三角形 PEB
14、中 ， =30. 12PEBE即 PB 和平面 NMB 所成的角为 3012. （I）证明：连结 ，则 与 的交点为 ，DACO为正方形的对角线，故 为 中点； ,AC连结 MO， 分别为 的中点，,OM1,， 平面 ，1/B平面 ， 平面 11/（II） ， 平面 ，ABCD且 平面 ，ACD；且 ， 平面 111B平面 ， ， OBO连结 ，在 中， ，1M1223， ，22619B ， 又 ，11MACO平面 ； BAC（）求三棱锥 的体积O11116332OABMAAOMVBS 62313.（1）因为正子体的各个顶点是正方体各面的中心，所以2)1(正四棱锥 的底面积 ，高 ABCDE21ABSh正子体体积 632hV（2）法一：建立空间直角坐标系OM B1C1D1A1BCDA
