1、299第 24 部分 图形的相似第一课时(比例、成比例的线段)课标要求1、 掌握比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段的概念。2、 了解黄金分割、比例尺概念。3、 知道相似多边形的性质(特征)及识别方法。中招考点 比、比例及有关概念 比例的基本性质 比例尺 判断四条线段是否成比例 典型例题例 1 在比例尺是 1：38000 的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约 7cm，则它的实际长度约为_Km。 若 ba= 32 则 b=_ 若 = 59 则 a：b=_ 已知: 2= = c 且 3a+2b-c=14 ,则 a+b+c 的值为_ 某同学想利用影子的长度测量操场上旗杆的高度，在某一时刻他测得自己
2、影子长为 0.8m，立即去测量旗杆的影子长为 5m，已知他的身高为 1.6m，则旗杆的高度为_m。解： 设实际长度约为 x cm。则 3801 = x7 x=266000cm=2.66Km，即它的实际长度约为 2.66Km。 ba= 32 设 a=2k, b=3k = kx= 5 ba2= 9 设 a= 51k b= k a：b= 519k: k =19:13 由 = 3= c 得 设 cb32 a=2k b=3k c=5k 又 3a+2b-c=14 32k+23k-5k=14解得 k=2 a=4, b=6, c=10 故 a+b+c=4+6+10=20a+2b=9k2a-b=5k300 设旗
3、杆高度为 x m，则 8.061= 5x 解得 x=10(米)即旗杆的高长为 10m. 评注： 利用关系式：比例尺 = 实 际 距 离图 上 距 离 可计算出实际距离。在关系式中任意给出两个数，可求出第三个。计算时注意单位换算：1Km=10 5cm . 对于 小题比例式的计算，一般用设比值 k 的方法。k 在解题中起桥梁作用。常用设法是：若 ba= nm 则设 a=mk, b= nk; 若 ba= dc 则设 = c=k. 有 a=bk, c=dk; 若 a：b： c=m:n:l 则可设 a=mk, b=nk ,c=lk 等，对于一般的比例式计算题，用此法都可解决。 在相同时刻物高与影长是成比
4、例的，由此可列出比例式，再通过方程来求解。例 2 已知线段 a=3cm, b=4cm ,c=5cm, d=2cm.那么这四条线段是否成比例？解： 将 a、b、c、d 从小到大排列为 d、a、b、c。有 ad= 32, cb= 54 ad cb 因此这四条线段不成比例。评注 判断四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，如果前两条线段的比例等于后两条线段的比，那么这四条线段就叫成比例线段，否则，就不是成比例线段。除此法外，还可用以下方法，即在这四条线段中，若最长线段和最短线段的长度的积等于中间两条线段的长度的积，则这四条线段成比例；否则不成比例。例 3如图 18-1 中的两个梯形相似，
5、求出未知边 x、y、z 的长度和 、 的大小。解：由相似多边形对应边成比例，得 2x= 4y= z5.= 238= x=3，y=6，z=3。 由于对应角相等， =D=180-A=118=B /=180-C /=70评注： 应用相似多边形特征求边和角时，关键是找对对应边和对应角，从而列出等式，通过解方程求解。 一般地，相等的角是对应角，对应角所夹的边是对应边；对应边所夹的角是对应角；最大(小)的边是对应边；最大(小)的角是对应角。例 4 如图 18-2 所示，在一块长和宽分别为 a 和 b(ab)的长方形黑板的四周，镶上宽度为 x(x 2ba)的木条，得到一个 新的长方形。试判断原来D x C4
6、.8 4.5A 62 y BD/ 2 C/3.2 zA/ B/4 116图 18-1图 18-2301的长方形与新长方形是否相似。解：新长方形的长为 a+2x，宽为 b+2x。 ax2- b= abx2= ab)( a b ,x0 . bx2- a= abx22= x)(2= )(ab x ba x2 .由、知，这两个长方形对应边不成比例。这个新长方形与原长方形不相似。评注： 此题看对应边是否成比例，用了作差的方法。若差等于零，则两比值相等；若差不等于零，则比值不相等。 找对应边时，注意矩形的长宽都要检查，不能只考虑一种情况。例 5一个钢筋三角架的三边长分别是 20cm、60cm、50cm，现
7、要作一个与其相似的钢筋三角形。因为只有长为 30cm 和 50cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，问有几种截法，并指出余料最少的截法截出的三边长各为多少？解： 若截 30cm 的钢筋，设截成的两段为 a cm、b cm a20= b5= 6 a= 350 b=12 a+b30 故此截法不成立。 若截 50cm 的钢筋，设截成的两段长分别为 x cm 和 y cm.有 x= 30= y 解得 x=12，y=36 .又因为 x+y=12+36=4850，符合题意； 2= 5= 6 解得 x=10，y=25 又因为 x+y=10+25=3550，符合题意
8、。所以共有两种截法。因为 50-48=2，50-35=15，所以余料最少的截法截出的三边长分别为 12 cm、30 cm、36 cm。评注：本题两次运用了分类的思想，将一个比较复杂的问题转化为一个较简单、易302解的问题。动用分类法解题的关键是如何正确分类。303强化训练一、填空题： 已知：x：y=1：2，则 (x+y)：y=_ 若 3ba ，则 ba =_ 梯形的中位线与两底之和的比是_ 在比例尺为 1：6000000 的中国地图上，量得北京到延安的地图上距离为 12cm，那么北京到延安的实际距离为_Km。 李明同学想利用树影的长测量校园内一棵大树的高度，他在某一时刻测得一棵小树的高为 1.
9、5 米 ，其影长为 1.2 米。同时，他测得这棵大树的影长为 3 米，则这棵大树的实际高度为_米。 若 3：(x+3)=x：(x+4)，则 x=_。 已知 75fedcba 则 fdbeca72=_， dbca2 =_。 已知 x：y：z=3：4：5，则 zyx =_。 如图，已知线段 AB，点 C 在 AB 上，且有 AC:AB=BC:AC，则 AC：AB 的数值为_；若 AB 的长度与中央电视台的演播舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在_位置最好。10.一个六边形的边长依次为1、2、3、4、5、6。与它相似的另一个多边形最大边长为 12，则另一个多边形的周长为_。二、选择题：(四选一)
10、若 a：b=3：2，且 b2= ac，则 b：c=( )A. 4：3 B. 3：2 C. 2：3 D. 3：4 下列线段中，能成比例的是( )A. 3cm、6cm、8cm、9cm B. 3cm、5cm、6cm、9cm C. 3cm、6cm、7cm、9cm D. 3cm、6cm、9cm、18cm 下列命题中正确的是 ( )A. 所有的等腰三角形都相似 B.所有的菱形都相似 C.所有的矩形都相似 D.所有的等腰直角三角形都相似 要做甲乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm、60cm、80cm，三角形框架乙的一边长为 20cm，那么符合条件的三角形框架乙共有( )A
11、. 1 种 B. 2 种 C. 3 种 D. 4 种 如图 18-3，一张矩形报纸 ABCD 的长 ABa cm，宽 BCb cm，E、F 分别是 AB、CD 的中点，将这张报纸沿着直线 EF 对折A C BD CA BFE图 18-3304AB D C图 18-4后，矩形 AEFD 的长与宽之比等于矩形 ABCD 的长与宽的比，则 a：b 等于（ ）A. 2：1 B.1： 2 C. 3 ：1 D.1： 3 已知正数 a、b、c，且 kccb ，则下列四个点中在正比例函数 y=kx 图象上的点的坐标是（ ）A. (1， 21 ) B. (1，2) C. (1，- 21) D.(1，-1)三、解
12、答题： 已知四条线段 a、b、c、d 的长度，试判断它们是否成比例线段？a=2cm，b=30m， c=6cm ，d=10m。 小明家的园子里有一三角形的花圃，将它的大小按 1：100 画在纸上，如图 18-4。现量得所画图形中 BC 边长为 3.5cm，高 AD 为 2cm，求花圃的面积。 市场上供应的纸都有以下特征：每次对折后。所得的长方形均和原长方形相似，问纸张的长和宽应满足什么条件？ 人体下半身(脚底到肚脐的长度)与身高的比例越接近 0.618，越给人美感。遗憾的是，即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美。某女士，身高 1.68m，下半身1.02m，她应选择多高的高跟鞋看起来更美呢
13、？21.某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得 1m 长的竹杆竖直放置时的影长为1.5m，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上。他测得落在地面上的影长为 21m，留在墙上的影高为 2m。你能帮助他求出旗杆的高度吗？305第二课时（相似三角形的识别和特征）课标要求1、 了解两个三角形相似的概念，掌握、识别两个三角形相似的条件(方法)。2、 掌握相似三角形的性质(特征)，并能够利用性质解决实际问题(如利用相似测量旗杆的高度)。3、 了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。中招考点1、 相似三角形的识别(判定)方法。2、 相似三角形的特征(
14、性质)的应用。3、 利用相似三角形解决简单的实际问题。4、 相似三角形的知识与方程相联系或与二次函数相联系，或与圆的有关知识相联系，以综合题的形式出现，从而考查学生的逻辑 思维能力。典型例题例 1如图 18-5，ABC 中，P 为 AB 上一点，在下列四个条件下， ACP=B ； APC=ACB； AC2=APAB； ABCP=APCB。能得出ABCACP 的是( )A. B. C. D. 解：由图形可得，在ABC 和ACP 中，A=A，若 ACP=B 或 APC=ACB。根据三角形相似的识别方法有两组对应角相等的三角形相似，知ABCACP；若 AC2=APAB，则 ACPB，又因A=A，依据
15、两边对应成比例，夹角相等，两个三角形相似，知ABCACP；若 ABCP=APCB，则 ABPC，无法依据识别方法说明ABCACP。因此，符合三角形相似的条件是，故选 D。评注:在三角形相似的三个识别方法中，每一种方法都需要两个独立条件，而一般相似三角形识别中，一个条件已存在，这个条件可以是已知，或者是图中的公共角、对顶角等，如本题中的A 是公共角。若有一组对应角，则证另一组对应角相等或夹这个角的两边成比例；若已知两边成比例，则证夹角相等或第三边对应成比例。例 2如图 18-6，在 ABCD 中，E 是 AB 延长线上一点，连结 DE，交 AC 于点 G，交 BC 于点 F，那么图中相似的三角形
16、(不含全等三角形)共有( )A. 6 对 B. 5 对 C. 4 对 D. 3 对解：由 AEDC，可得AEGCDG，DFCEFB由 BCAD，可得BFEADE，FCGDAG，DCFEAD故选 B评注:本题主要是考查相似三角形识别的掌握情况。可运用平行线去直接找相似三角形，也可利用相似三角形的判定定理来找相似三角形，但要注意不要漏找。B CAP图 18-5A DGCBEF图 18-6306例 3如图 18-7-，铁道口的栏杆短臂长 1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降 0.5m 时，长臂端点升高( )A. 12.25 m B. 6.6m C. 8m D. 10.5m解：易知图 18-7-中，
17、等腰AOCBODOA=1 m，OB=16 m。高 CE=0.5 m由相似三角形性质可得： DFCEOBA即 F5.016 ，解得 DF=8(m)故选 C。评注:本题是一个实际问题，可抽象为数学问题：由AOCBOD，然后利用相似三角形性质来解决。但要特别注意并不是求 BD 之长。而是点 D 到 AB 的垂线段之长(即BOD 的高 DF)，此题学生易认为是求 BD 之长。例 4如图 18-8，点 D 在ABC 的边 AB 上，满足怎样的条件时，ACD 与ABC 相似？试说明理由。解：由图知：当满足下列三个条件之一时，ACDABC条件 1：1=B；条件 2：2=ACB；条件 3： ABC即：AC 2
18、=ADAB评注:此题属于探索性问题，由于A 是这两个三角形的公共角，要使这两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找另一个条件。可先假设ACDABC ，然后寻找两个三角形中对应边的关系或对应角的关系例 4在直角梯形 ABCD 中.AD=7 AB=2 DC=3 P 为 AD 上一点,以 P、A、B 的顶点的三角形与 P、D、C 为顶点的三角形相似,那么这样的点 P 有几个?为什么?解：由图 18-9 知,不妨设 AP=X 则 PD=7-X当PABPDC 即A=D=90 1APB=DPC 时 327x X= 514当PABCDP 即A=D=90 2APB=PCD 时 x x 2-7x+6=0x
19、 1=1 x 2=6因此 AP 的值有三个,也就是这样的点 P 有三个1.6m0.5m1m 图 18-7- D A E O F BC图 18-7-ADB C21图 18-8CBDAP图 18-9307评注: 此题要注意分类的思想, PAB 与PDC 各有一个直角，所以分两种情况: 1APB=DPC 和APB=PCD 分别求解此题可以看成是一个探索性问题,相似是条件,求 AP 的值是结论。 2例 5如图 18-10-（1）在ABC 中，AB=AC AD 是中线，P 是 AD 上一点，过点 C 作CFAB，延长 BP 交 AC 于点 E，交 CF 与点 F，试证明：BP 2=PEPF分析:证明 b
20、 2= a c 型的一般方法是把等积式写成比例式,然后再观察所在的两个三角形是否相似.如本题 BP、PE、PF 在一条直线上，就要看能否通过等量代换，自然要连结 PC ，用 BP 的等量 PC 代入，再找出两个三角形相似，即可得解。证明：连结 PC。 AB=AC，AD 是中线 ADBC (三线合一性质)AD 是 BC 的垂直平分线 BP=PC又 PBC=PCB又 ABC=ACB ABP=ACP而 ABCF ABC=F F=ACP又EPC=CPF EPCCPF CPEF 即 PC2=PEPF故 BP2=PEPF评注:证形如 b = a c 时，还要注意两个基本图形如图 18-9- 、18-9-所
21、示如图 18-10-。因为CDBADCACB，易得 BC2=BDAB AC2=ADAB CD2=ADDB如图 18-10-，当A=1 时，C 是公共角。所以ABCBDC易得 BC 2=DCAC。 在图 18-10-中，ACB 是直角三角形，CD 是斜边上的高，还要注意面积的应用，易得 ACCB=ABCD 的结论。例 6已知如图 18-11 中，D 是 BC 边上的中点，且 AD=AC，DEBC，DE 与 BA 相交于点 E，EC 与 AD 相交于 F。 求证：ABCFCD。DPBACFE图 18-10-AD CB 1图 18-10-DBAC图 18-10-C PD MFEA12图 18-11B
22、308 若 S FCD =5. BC=10，求 DE 的长。解： 证明： D 是 BC 边上的中点，DEBC EB=EC B=1又 AD=AC ACD=2 ABCFCD。 解：过 A 点作 AMCB 于 M，由知，ABCFCD，且 BC=2CD 14)(2CDBSF 又 S FCD =5 S ABC =20 S ABC = BCAM AM= BCA= 102 = 4而 DEAM BMAE 即 254 DE 38评注: 首先用“两组角对应相等有两个三角形相似” ，证明ABCFCD；问可由相似三角形的性质求得。 从复杂的图形中分析线段的特点和联系，找到切入点是解较复杂问题的关键。例 7如图 18-
23、12,ABC 中，C=90，BC=8cm，5AC-3AB0，点 P 从 B 点出发，沿BC 方向以 2m/s 的速度移动，点 Q 从 C 出发，沿 CA 方向以 1m/s 的速度移动。若 P、Q 同时分别从 B、C 出发，经过多少时间CPQ 与CBA 相似？解：设经过 t s 时，(0t4), CPQ 与CBA 相似，此时，BP2t，CQt，则 CP8-2t 又 RtABC 中，BC8，5AC-3AB0.AC2+BC2AB 2可得：AB10，AC6 当 PQAB 时，CPQCBA，有 CBPAQ 。即 826tt t= 51当CPQCAB 时，有 CP 即 862t t= 132答：经过 秒或 13秒时，CPQ 和 CBA 相似B B AC B BQP B图 18-12
