1、第九章 Laplace 方程的圆的 Dirichlet 的傅氏解（14）一、内容摘要1Laplace 方程或调和方程：3 20 ,0xyzxyuuu如果一个函数 在某个区域 内连续，且满足 Laplace 方程，则称该函数是D内的调和函数，或者说，函数 在 内调和。D2Dirichlet 问题：2/0 , 2, .rurrllf 其中 为已知函数，并有 ，上述边值问题习惯上称为圆内()f()(f的 Dirichlet 问题。由分离变量法可求得其解为：这个积分称为泊松积分。222201, .coslrurf dl3 函数（1）定义：满足下列条件的函数称为 函数：，且 一般地，0, ()x()d1
2、.x有 ，且 00, ()xx0d1.x（2） 函数的性质：对于任意的连续函数 ，均有： 或者()fx()0, fxdf00()fxd 函数的导数记 则有 ，d()(),xaxa() fxadxf,) 函数的原函数阶跃函数（Heaviside 函数）定义为：0, ,() .xxHtd 函数可视为阶跃函数的导函数：()x如果 的实根 全是单根，0xk则 ().kk1ax 函数是一种广义函数：021lim1sinlkxxrectlxx上述极限是就积分意义上而言。3 函数的 Fourier 变换；1122ixGFxedi ied严格而言， 函数不满足 Fourier 积分定理的条件，其 Fourie
3、r 积分和变换不存在。单从广义函数的角度出发，可以将这些函数的 Fourier 变换的极限定义为 函数的 Fourier 积分和 Fourier 变换。这时的 Fourier 变换称为广义 Fourier 变换。二、习题1填空题（1） =_1xed（2） _121sin3x（3） _2cosxd2证明 函数的性质。（1） （2） 1()ax ()x（3） 2 ,0xaa（4） 1nnfxdf3求解下列定解问题：是常数220,cosrauurarAA4求定解问题：0,0,.xyxayybuybf5求解 Poisson 方程的边值问题：(0,)(,)0xyuAab6求的 Dirichlet 问题：
4、0, 2, 01 (,)()1 , 2.xyuxyx7求解扇形区域中的 Dirichlet 问题：220, , 0, 4(,), , .xyuxyxxy8在圆域 内，求定解问题：a210, , 02 (,)(, .uuaa三、参考答案1填空题(1) (2) (3) cos132 解:(1) 因为 函数的所有运算性质都是通过与连续函数的积分来体现的,对任意连续函数 ，有积分fx/,0=,1 /=0tfadtaxfdt xfadtffda 因此 1()ax(2)对任意连续函数 ，有积分fx 0x xxdf fxdffdf =x d，因此 x xffdf()(3) ，作变换， +2 2 2=a ax
5、axxf f fdx 令 ，则在第一段积分中： ，在第二段积分中：=22,=duu，这里的根式皆取算术根，于是有：22+,duaaxu2 2+ +2 2 22 2+=aa duduaafxf f =+af xfx因此得证： 21xaa(4) = aafdfxdfxfxdxa 即： ，类似的我们易于推得ffxdxa1nn3解: 利用三角函数族的正交性, 由 2 20 01=cos,=sinmmfdfd 得 , , , 。A1将这些式子代入 式01()()cosi)2mmrura得 ),(rucosa4解：令 ，则有：,uxyXYy0XY,.Y由边界条件可得: 00; .a求解本征值问题: X易得
6、仅当 时,本征值问题有如下非平庸解:2nacos,01,nnxXxA此时关于 Y 的方程的解为：0expexp() 0nnCyDynaa由边界条件 可得: 0yu0;.CD这样就得到原方程满足部分边界条件的特解： ,cosinh,12,nnAuxxya叠加这些解，得到：001, cosinhn nuxyxyxyAa代入非齐次边界条件：01cosihnyb buAafx函数 的 Fourier 级数的展开系数 :fx0 02, cossi()a an ndfdx这样就可以得到原定解问题的解为：01, sih2naxyuxya其中：00 02, cossih()an nfdfxdxbab5解 :(
7、0,)(,)0xyuAab z=1,sininuxyXxybA 则 = ，将、式带入0 122sinb nn Ad 4,01,2Am方程和边界条件并对比方程两边 的系数得：siyb2 =0mmXxAa 其中 22+14,1mb由于式对应的齐次方程的通解为： 12=+xxXCe式的另一解，为： 12=xxXxe其中， 和 满足下列方程组：1Cx2120xxmeeA 解方程组、，得:122=xmxACxe其中 为常数，于是，由、和式可得式的通解，为：,1222xxxxmmm AXxXCeee122xmAae将代入边界条件，得：解之得： 于是得：122mxxAae 122sinh1iamaAe122
8、2sinhsinhaammxxmmAeAeAXxa2si 将和式一并代入式得原定解问题的解，为：23302141, sinsinsisi21nmAbuxy ybmaxab 6解 :令 并将其代入到)(),(yYxXyu中齐次方程得12, ,()( )(, .xyfacdagbgcfxdfxb,0)()“ yYXy,)()(“x(1)“()0, 2 (0), 2.Xxx（2）)(“yY(1)便是原定解问题的特征值问题，其解为， ， .2)(nxnxXn2si)(1将 代入到（2）中得n， （3）0)()(“yYn该方程有两个线性无关解 ， . 由于 ， 也是（3）的yne2yn2si2nhyco
9、s2nhy解且线性无关，故（3）通解为.ydycyYnnn cssi)(令（4）11(,)()(sincos)in22n nuxyXxYychydhyx则 满足原定解问题中方程和关于 的齐次边界条件. 利用关于 的边界条, x件可如下确定 ， ，ncd,12sinx. （5）02i(1)nndd,xncxn1 si)coh2sih()(. (5)2sinhco)1(2sinh)1(416)(32 ncn 故原定解问题的解为 1(,)(sincos)in22nuxychydhyx7. 解: 令 ， 作自变量变换，原定解问题转化为oi(1)210, , 02 (,0), (), ,sin, 0.2
10、uuu230 16(4(1)sicos()i ,2 nnnnchdhd 令 代入到(1)中的方程，并结合边界条件可得)(),(Ru(2)“()0, /20, (/). (3)()“2RR(2)便是(1)的特征值问题. 求解特征值问题(2)可得， ， .24)/(nnnn2si)(1将 代入到(3)中，并令 作自变量变换可得nse,“240sRn.222()snsnncedcd由于是求(1)的有界解，故有 ，即 . 从而有n. nncR2)(上面求出的 对每个 都满足(1)中的方程和齐次边界(,)nu1条件，由叠加原理得, (4)121 sin)(),(nncRu 也满足(1)中的方程和齐次边界条件.为使(1) 中的非齐次边界条件得以满足，在(4)中令 得(2,)sinu2， (5)21sinsinc比较上式两边特征函数 的系数得n2i)(， .12c1 0将 ， 代入到(4)中便得(1) 的解为1c)(n
