1、第十二章 Laplace 变换（20）一、内容摘要1Laplace 变换:设函数 满足下条件（记为条件 A）：()ft（1） 和 在 除掉有限个第一类间断点外连续；()ftft0（2） 时， ；0()（3）总可以找到常数 ，使得 0M， 0tftMe则称 为函数 的 Laplace 变换，而称ptFpLftfed为 的 Laplace 逆变换。函数 和12itft F()ft称为 Laplace 变换的原函数和像函数。()L2Laplace 变换的存在定理： 如果函数 满足条件 ,则它的 Lapalace 变换()ftA在半平面 内有意义,且是 的解析函数。 0Repp3Laplace 变换的
2、反演定理： 如果函数 是 的像, 则当 时,在()Fft0t的每一个连续点有()ft1()2iptfted而当 有0t0iptF4Laplace 变换的性质:（1）线性性质 为任意常数,对任意两个函数 有12,f121LfLf（2）位移性质 设 为任意常数, 则0p0tLefFp（3）延迟性质 设 , 则0pLfteF（4）相似性质 设 , 则0a1pLfatF（5）微分性质212 00 0.nnnnftpftfLLpfftftff （6）积分性质 01tLfdtLftp（7）卷积性质 ， 1212ff 12120tftfftd（8）象的导数定理 nnFt（9）象的积分定理 pfdLt（10
3、乘积定理 ，其中1212iLfFqpdq11,Fpff二、习题1填空题（1）求 的 Laplace 反演=_；求 的 Laplace 反演25p25p=_（2） ,式中 为复数，则tfe_； _；tLsinLat_cosat2求下列函数的拉普拉斯变换。（1） （2） 2sin3t Re1t（3） （4） 2i/tet3求下列像函数的原函数。（1） （2）21p22,（3） （4） 22,p 3,0pea4利用拉普拉斯变换计算下列积分：（1） （2） 0sinxtd 0sinxtd（3） 20cota5求解交流 RL 回路的方程： 0sin()djLREtt6求解常微分方程： 2(0)nnTtf
4、t7求解半无界弦振动的问题： 2,00lim.,.txtuatfuxt8设有一单位长度均匀杆，侧面绝热，两端温度为零度.若初始温度为 ，sin2x求杆内的温度分布。9求下面半无界弦振动问题有界的解。2cos,0, (,0),() . txtuaxt10求下列无穷级数之和。（1） （2） 01n0123nn三、参考答案1填空题(1) ， 52te1cosin2t t(2) ， , 1Rpa， 2,Re0p2a2解：（1）由位移性质有： 22331sinsin+ppLteLte（2）根据拉普拉斯变换的定义，有：， 1100 Re0ptLtededpp 1tp。若 取为正整数，则 ，若取 ，则有：
5、1!ntp1=212pt（3）先求出 的像函数，2sit，再用平移定理即可得：2 221co11sin/tpt = 2sin/te21+p（4）设 ，利用下列公式： 。因为 ，()ftF()=pftFqd1=+tep于是 11=lnl1t ppeqdq 3解：（1）用部分分式方法可得 = ，其21p24311pp中各项的拉普拉斯变换为 ，用导数的反演公式可得,t tee， = 21tep21p432ttt（2）用部分分式方法可得：2222221111sinittpp （3）用卷积定理：20 01coscos2t ttdtdp011cossinisini22ttdttttinsitt（4）先用导
6、数的反演公式， ，得到nnFptf，再用延迟性质，得到：23112atepa23,patet4解：（1）利用公式 可以得到：00ftdFp022000sin arctnsg12xtxxd xp （2）不妨设 ，否则与本题（1）一样，结果只是多出一个符号函数 。t sgnx作变换将 换成 ，利用含参积分拉氏变换得结果即得：x2222444000sinsin Ct xxzdtddddpppA344122iii tpe（3）仍然设 ，否则结果中的 t 应换成 。0tt22222200 0cos11xtpddxaaaxpxtep5解：对方程进行 Laplace 变换可得： 从变换后02.pLFRpE的
7、方程容易解出 ，再利用卷积定理进行反演021/EFpLj即得：10 0202sin sinRtLtj etLpREt 其中 22arcosarciLRLR6解: 设 ，对方程进行 Laplace 变换：,nnTFpfp2 20 .nnnpFTFpf由初值条件可得： 从中可解得：2.pf2.n011sinsiiinn ntnnnFpLftLfttTtfttftd 7解：对方程和边界条件（关于变量 t）进行 Laplace 变换，并记，且考虑到初始条件有：,LuxtUp20,lim(,)0.xxpUaLfp这个常微分方程定解问题的解为： /xafe由延迟定理马上有： /, /,pxaeftt故 0
8、,/,/.txauxtft8解: 设 为杆内温度分布，则 满足如下定解问题(,)t u20, 1, 0 (1)(,) 2sin, . 3txattx对（1）（3）关于时间变量 作 Laplace 变换,并记 的像函数为 可t (,)ut(,)uxs得 2(,)(,),001.dxssuxas即 222(,)1(,)sin (4)0,10 5duxsxxaa（4）是常系数二阶线性常微分方程，非齐次项为三角函数. 易得该方程通解为122sin(,)4sxxaauxCe利用边界条件（5）得，102,故 2sin(,)4xuxa取 Laplace 逆变换可得.24(,)siattex9解： 2cos,
9、 0, (1) (,0), () 2. txtuaxt 3对（1）（3）关于时间变量 作 Laplace 变换得 t22 2(,)(,)0duxssuxa有 界 .或者2222(,)(1)(,)0,duxssxsa有 界 .解之可得122(,)()ssxxaauxCe由于 有界，故 结合初始条件可得u20.C(4)2(,)(1)sxauxse对（4）取 Laplace 逆变换可得(5)(),(21tstxu-L)(21tsexas-L由于=)(21ts-L )(1(22ts- L= )()21212 tst- L (6)(cosin利用 Laplace 变换的延迟性质 )()()(sfestutf L其中 为阶跃函数. 取 得()ut xa=)(21tsexas-L )()(21 axtuts- L2sin()xtat(7)2si, 0, . txtat将（6）（7）代入到（5）中便得222sini() , (,), 0 .txttauxt10解：（1）利用拉氏换式 ，则有：10nted10000 1n tn nttteed 10ln2dx（2）先用部分分式分成三项，再用拉氏换式： ，则有：0nat0 011123223nnn 1/13/00/23/21/2/1001244lnlnntntntttteedxdx
