1、- 1 -2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线 的渐近线条数 ( )21xy(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数 ，其中 为正整数,则 ( )2()()xxnxfee n(0)f(A) (B) (C) (D) 1!n 1!1!n1!n(3) 设 ，则数列 有界是数列 收敛的 1230(,23),n nnaSaa nSna( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D)
2、 非充分也非必要(4) 设 则有 20sind,(12,3)kxIek( )(A) (B) (C) (D) 123I321II231II213I(5) 设函数 为可微函数，且对任意的 都有 则使不等式(,fxy） ,xy(,)(,)0,xy成立的一个充分条件是 12(,)(,)fxyf( )(A) (B) (C) (D) 122,y122,xy122,xy122,xy(6) 设区域 由曲线 围成，则 Dsin,5()dD( )(A) (B) 2 (C) -2 (D) - (7) 设 , , , ,其中 为任意常数，则下列向10c2131c41c1234,c量组线性相关的为 ( )(A) (B)
3、 123, 124,(C) (D) 34,234,- 2 -(8) 设 为 3 阶矩阵， 为 3 阶可逆矩阵，且 .若 ，AP102PA123,P则 ( )123,Q1Q(A) (B) (C) (D)0102201201二、填空题：9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设 是由方程 所确定的隐函数，则 .()yx21yxe20xdy(10).2221limnnn(11) 设 其中函数 可微，则 .l,zfxyfu2zxy(12) 微分方程 满足条件 的解为 .2d3d01x(13) 曲线 上曲率为 的点的坐标是 .2yx(14) 设 为3阶矩阵，
4、， 为 伴随矩阵，若交换 的第1行与第2 行得矩阵 ， 则A=3*AAB. *B三、解答题：15-23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数 ，记 ，1sinxf0limxaf(I)求 的值;a(II)若 时， 与 是同阶无穷小，求常数 的值.0xfk k(16)(本题满分 10 分)求函数 的极值.2,xyfe(17)(本题满分 12 分)- 3 -过 点作曲线 的切线,切点为 ,又 与 轴交于 点,区域 由 与直线(0,1):lnLyxALxBDL围成,求区域 的面积及 绕 轴旋转一周所得旋转体的体
5、积.ABD(18)(本题满分 10 分)计算二重积分 ，其中区域 为曲线 与极轴围成.dDxyD1cos0r(19)(本题满分 10 分)已知函数 满足方程 及 ,(f()2()ffxf()2xfxfe(I) 求 的表达式;x(II) 求曲线 的拐点.220dxyfft(20)(本题满分 10 分)证明 , .21lncos1x(1)x(21)(本题满分 10 分)(I)证明方程 ，在区间 内有且仅有一个实根；xn-1+n的 整 数 1,2(II)记(I)中的实根为 ，证明 存在，并求此极限.nlimnx(22)(本题满分 11 分)设 ，10aA10(I) 计算行列式 ；(II) 当实数 为
6、何值时，方程组 有无穷多解，并求其通解.aAx(23)(本题满分 11 分)已知 ，二次型 的秩为 2，10Aa123,TfxAx(I) 求实数 的值；(II) 求正交变换 将 化为标准形.xQyf2010 年考研数学二真题一 填空题(84=32 分)- 4 - 5 - 6 - 7 -2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数 的可去间断点的个数，则（ ）3sinxf1. 2. 3. 无穷多个.ABCD（2）当 时， 与 是等价无穷小，则（
7、）0xsifxax2ln1gbx. . . .1,6ab1,6b,6a1,6ab（3）设函数 的全微分为 ，则点 （ ）zfxydzxy0不是 的连续点. 不是 的极值点. A,B,f是 的极大值点. 是 的极小值点.CfxyDxy（4）设函数 连续，则 （ ）, 22411, ,yxdfdfxd. . A241,xdfyB241,xf- 8 -. .C241,ydfxdD21,ydfx（5）若 不变号，且曲线 在点 上的曲率圆为 ，则 在区f yfx2xyfx间 内（ ）,2有极值点，无零点. 无极值点，有零点. AB有极值点，有零点. 无极值点，无零点.CD（6）设函数 在区间 上的图形为
8、：yfx1,31()f-2 0 2 3 x-1O则函数 的图形为（ ）0xFftd. . A()f0 2 3 x1-2 -11 B()fx0 2 3 x1-2 -11- 9 -. .C()fx0 2 3 x1-1 1 D()fx0 2 3 x1-2 -11（7）设 、 均为 2 阶矩阵， 分别为 、 的伴随矩阵。若 ，则分块AB*AB， A=B，矩阵 的伴随矩阵为（ ）0. . A*320B*023A. .C*BD*0（8）设 均为 3 阶矩阵， 为 的转置矩阵，且 ，若AP， TPT10P=2，则 为（ ）=Q=+123123（ ， ， ） ， （ ， ， ） QAT. . A0B0. .C
9、201D102二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线 在 处的切线方程为 2-x=0ln()utedytt（ ， 0）- 10 -（10）已知 ,则 +1kxed（11） nlimsi0x（12）设 是由方程 确定的隐函数，则 ()yy1ex2x=0dy（13）函数 在区间 上的最小值为 2x0，(14)设 为 3 维列向量， 为 的转置，若矩阵 相似于 ，则 ， TT20T=三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分 9 分）求极限 401cosln(1ta)limixxx（16） （本题满分 10 分）计算不定积分 l()dx(0)（17） （本题满分 10 分）设 ，其中 具有 2 阶连续偏导数，求 与,zfxyf dz2zxy（18） （本题满分 10 分）设非负函数 满足微分方程 ，当曲线 过原点时，其x020xyyx与直线 及 围成平面区域 的面积为 2，求 绕 轴旋转所得旋转体体积。1yD（19） （本题满分 10 分）求二重积分 ，xyd其中 22,1,Dxyy（20） （本题满分 12 分）
