1、 1 / 20第一章 证明（二）1. 你能证明它们吗（一）一、学生知识状况分析在八年级下册第六章证明（一） ，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题，这些都为证明本节有关命题做了很好的铺垫。二、教学任务分析本节将进一步回顾和证明全等三角形的有关定理，并进一步利用这些定理、公理证明等腰三角形的有关定理，由于具备了上面所说的活动经验和认知基础，为此，本节可以让学生在回顾的基础上，自主地寻求命题的证明，为此，确定本节课的教学目标如下：1知识目标：理解作为
2、证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式。2能力目标：经历“探索发现猜想证明” 的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平；3情感与价值目标启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4教学重、难点重点：
3、探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。三、教学过程分析2 / 20学生课前准备：一张等腰三角形纸片（供上课折叠实验用） ；教师课前准备：制作好的几何画板课件.本节课设计了六个教学环节：第一环节：回顾旧知 导出公理；第二环节：折纸活动 探索新知；第三环节：明晰结论和证明过程；第四环节：随堂练习 巩固新知；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。第一环节：回顾旧知 导出公理活动内容：提请学生回忆并整理证明（一） 中列出的六条公理：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2.两
4、条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS） ；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA） ；5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS） ；6.全等三角形的对应边相等,对应角相等。在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS） ，并要求学生利用前面所提到的公理进行证明。活动目的：经过一个暑假，学生难免有所遗忘，因此，在第一课时，回顾有关内容，既是对前面学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备；证明这个推论，可以让学生熟悉证明的基本要求和步骤，为后面的其他证明做好准备。活动效果与注
5、意事项：由于有了前面的铺垫，学生一般都能得到该推论的证明思路，但由于有了一个暑假的遗忘，可能部分学生的表述未必严谨、规范，教学中注意提请学生分析条件和结论，画出简图，写出已知和求证，并规范地写出证明过程。具体证明如下：已知：如图，A=D,B=E,BC=EF.求证：ABC DEF.证明：A=D,B=E（已知） ，又A+B+C=180，D+E+F=180 （三角形内角和等于 180） ，C=180-(A+ B)，F=180-( D+E) ，C=F（等量代换） 。FEDCBA3 / 20又 BC=EF（已知） ，ABC DEF（ASA） 。第二环节：折纸活动 探索新知活动内容：在提问：“等腰三角形有
6、哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？”的基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足。活动目的：通过折纸活动过程，获得有关命题的证明思路，并通过进一步的整理，再次感受证明是探索的自然延伸和发展，熟悉证明的基本步骤和书写格式。活动效果与注意事项：由于有了教师引导下学生的活动，以及具体的折纸操作，学生一般都能得到有关等腰三角形的性质定理，当然，可能部分学生得到的定理并不全面，在学生小组的交流中，通过同伴的互相补充，一
7、般都可以得到所有性质定理。当然，在教学过程中，教师应注意小组的巡视，提醒学生思考多种证明思路，思考不同的辅助线之间的关系从而得到“三线合一” 。第三环节：明晰结论和证明过程活动内容：1、在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生挑选其一证明.其后，教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明晰证明过程。（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合2、提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质，从而得到：等边三角形三个内角都相等并且每个
8、内角都等于 60. D CBADCBAD(C)BA4 / 20活动目的：和学生一起完成性质定理的证明，可以让学生自主经历命题的证明过程；明晰证明过程，意图给学生明晰一定的规范，起到一种引领作用；活动 2，则是前面命题的直接推论，力图让学生形成拓广命题的意识，同时也是一个很好的巩固练习。活动效果：学生一般都能得到这些定理的证明，能规范地写出对于“等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于 60”的证明过程：已知：如图，ABC 中， AB=BC=AC求证：A=B=C=60.证明：在 ABC 中，AB=AC ，B=C(等边对等角)同理：C=A，A=B=C（等量代换） 又A+B+C180 （三角形内角
9、和定理） ，A=B=C 60 第四环节：随堂练习 巩固新知活动内容：学生自主完成 P4 第 2 题：如图（图略）,在ABD 中,C 是 BD 上的一点，且 AC BD， AC=BC=CD，（1）求证：ABD 是等腰三角形；（2）求BAD 的度数。活动目的：巩固全等三角形判定公理的应用，复习等腰三角形“等边对等角”的用法。第五环节：课堂小结活动内容：让学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法等。活动目的：形成及时总结语反思的意识与习惯，提高学生能力。活动效果与注意事项：教师注意对学生的感想进行适当的引导，并在学生交流的基础上，明晰部分收获供学生共享，如：1、具体有关性质定理；2、通过折纸活动
10、获得三个定理，均给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据3、体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性第六环节：布置作业P5 习题 1,15 / 20四、教学反思本节关注学生已有活动经验的回顾过程，关注了 “探索发现猜想证明”的活动过程，关注了学生自主探究过程，学生学习的主体性发挥较好，应该说取得了较好的教学效果。当然，在具体活动中，如何在学生活动与规范表达之间形成一个恰当的平衡，具体各部分时间比例的分配可能还需要根据班级学生具体状况进行适度的调整。6 / 201. 你能证明它们吗（二）一、学生知识状况分析在八年级下册第六章证明（一） ，学生已经感受了证明的
11、必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题；而前一课时，学生刚刚证明了等腰三角形的性质，这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等要三角形的判定定理都做了很好的铺垫。二、教学任务分析本节将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三角形的一些特殊性质，以及等腰三角形的判定定理，前者是性质定理的直接运用与拓广，后者则是前者的逆命题，可以发展学生的逆向思维能力，同时后者的证明过程中，需要借助反证法，因而反证法的学习与运用也成为本课时的教学任务之一，为此，确定本节课的
12、教学目标如下：1知识目标：探索发现猜想证明等腰三角形中相等的线段，证明等腰三角形的判定定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；初步了解反证法的含义，并能利用反证法证明简单的命题；2能力目标：经历“探索发现猜想证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉；引导学生体会蕴含在问题解决过程中的思想方法，如归纳、类比、反证法等。3情感与价值观要求鼓励学
13、生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性4教学重、难点重点：经历“探索发现一一猜想证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论结合实例体会反证法的含义7 / 20难点：由一般结论归纳出特殊结论探求证明思路，特别是反证法的思路含义三、教学过程分析本节课设计了八个教学环节：第一环节：提出问题，引入新课；第二环节：自主探究；第三环节：经典例题 变式练习；第四环节：逆向思考，导出反证法；第五环节：适时提问 导出反证法；第六环节：及时巩固 随堂练习；第七环节：探讨收获 课时小结；第八环节：布置作业。第一环节：提出问题，引入新课活动内容：在
14、回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?活动目的：回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力。第二环节：自主探究活动内容：在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。活动目的：让学生再次经历“探索发现猜想证明”的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。活动效果与注意事项：活动
15、中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：你可能得到哪些相等的线段？你如何验证你的猜测？你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；还可以有哪些证明方法？通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出：等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；8 / 20等腰三角形腰上的中线相等并对这些命题给予多样的证明。如对于“等腰三角形两底角的平分线相等” ，学生得到了下面的证明方法：已知：如图，在ABC 中，AB=AC，BD、CE 是ABC 的角平分线求证：BD=CE证法 1：AB=AC，ABC=ACB(等边对等角)1= ABC，2= AB
16、C，12 121=2在BDC 和CEB 中，ACB=ABC，BC=CB，1=2BDCCEB(ASA)BD=CE(全等三角形的对应边相等) 证法 2：证明：AB=AC，ABC=ACB又3=4在ABC 和ACE 中，3=4，AB=AC，A=AABDACE(ASA)BD=CE(全等三角形的对应边相等)在证明过程中，学生思路一般还较为清楚，但毕竟严格证明表述经验尚显不足，因此，教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求，因此，注意请学生板书其中部分证明过程，借助课件展示部分证明过程；可能部分学生还有一些困难，注意对有困难的学生给予帮助和指导。第三环节：经典例题 变式练习活动内容：提请学生思考，除了角平分
17、线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：在课本图 14 的等腰三角形 ABC 中，4231E DCBA9 / 20(1)如果ABD= ABC，ACE= ACB 呢?由此，你能得到一个什么结论?13 14(2)如果 AD= AC，AE= AB，那么 BD=CE 吗?如果 AD= AC，AE= AB 呢?由此你得到什么结12 12 13 13论?活动目的：提高学生变式能力、问题拓广能力，发展学生学习的自主性。活动注意事项与效果：教学中应注意对学生的引导，因为学生先前这样的经验比较少，可能学生一时不知如何研究问题，教师可以引导学生思考：把底角二等份
18、的线段相等如果是三等份、四等份结果如何呢?从而引出“议一议” 。由于课堂时间有限，如果学生全部解决上述问题，时间不够，可以在引导学生提出上述这些问题的基础上，让学生证明其中部分问题，而将其余问题作为课外作业，延伸到课外；当然，也可以对不同的学生提出不同的要求，如普通学生仅仅证明其中部分问题，而要求部分学优生解决所有的问题，甚至要求这部分学优生思考“还可以提出哪些类似问题，你是如何想到这些问题的” 。在学生解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。下面是学生的课堂表现：生在等腰三角形 ABC 中，如果ABD= ABC，那么 BD=CE这和证明等腰三角形两底13角的角平分线相等类似证明
19、如下：AB=AC，ABC=ACB(等边对等角)又ABD= ABC, ACE= ACB,13 13ABD=ACE在BDC 和CEB 中，ABD=ACE，BC=CB，ACB=ABC,BDCCEB(ASA)BD=CE(全等三角形的对应边相等)生如果在ABC 中，AB=AC, ABD= ABC，ACE= ACB，那么 BD=CE 也是成立14 14的因为 AB=AC，所以ABC=ACB，利用等量代换便可得到ABD=ACE，BDC 与CEB10 / 20全等的条件就能满足，也就能得到 BD=CE由此我们可以发现：在ABC 中，AB=AC，ABD= ABC，ACE= ACB，就一定有 BD=CE 成立1n
20、 1n生也可以更直接地说：在ABC 中，AB=AC，ABD=ACE，那么 BD=CE师这两位同学都由特殊结论猜想出了一般结论请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来(教师可巡视指导)下面我们来讨论第(2)问，请小组代表发言生在ABC 中，AB=AC，如果 AD= AC，AE= AB，那么 BD=CE；如果 AD= AC，AE= AB，12 12 13 13那么 BD=CE由此我们得到了一个更一般的结论：在ABC 中，AB=AC，AD= AC，AE= AB，那1n 1n么 BD=CE证明如下：AB=AC又AD= AC，AE= AB，1n 1nAD=AE在ADB 和AEC 中，AB=AC，A=A
21、，AD=AE，ADBAEC(SAS)BD=CE(全等三角形的对应边相等)生一般结论也可更简洁地叙述为：在ABC 中，如果 AB=AC，AD=AE，那么 BD=CE师这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的一种思想方法，它会使我们得到意想不到的效果例如通过对这两个问题的研究，我们可以发现等腰三角形中，相等的线段有无数组这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的第四环节：逆向思考，导出反证法活动过程与效果：教师：上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径例如“等边对等角” ，反过来成立吗?也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?
