1、 1 美丽来自课本 魅力源于创新 -由一节中考复习研讨课说起 绍兴市柯桥区实验中学 单国炎 2015 年 4 月 24 日绍兴市柯桥 区初三数学中考复习研讨会在安昌中学举行，蒋老师线段和最小问题的联想的精彩课堂演绎与浙江省数学教研员许芬英老师的专业点评， 让 与会的每位老师获益匪浅。蒋老师 从回顾 一道课本例题 开始，引导学生归纳出求最短距离的数学模型，课堂问题设计层层递进，情境不断变化且富有探究性，强化模型应用， 不同水平的学生 获取 了 新知识， 可以充分展示自己不同的探究深度，提高了运用知识解决问题的能 力。整堂课呈现方式自然朴实，变式拓展层次分明，对 探究 或解题 过程 的 提炼反思
2、， 拿捏到位。 以下是笔者的学习思考，与大家分享 。 特色 1：知识到能力，闪耀着数学思想的光芒 一堂体现思维课堂的好课 以发展学生的能力为宗旨 ， 往往集知识、思想于一体，问题设置循序渐进 ，灵活多变且具有探究性 。 课题引入： 如图，直线 l 表示草原上的一条河流，一骑马少年从 A地出发让马去河边饮水，然后返回于 B地家中，他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线 . 回归课本，拓展教材。 专题复习课上什么？ 怎么上更有效？ 老师 们 都在 积极探索 ，“以教材 为本，从教材的例题、习题中去挖掘和演变”， 蒋老师 的课 无疑给大家 作出了示范与引领 -老坛装新酒，凸现勇于创新的旋
3、律。 问 题情境取自课本题和作业本题，使学生感到 “ 熟悉 ” ， 通过解决一个问题，及时归纳，建立数学模型，梳理方法步骤，过程高效，经验积累有效。体现数学复习 课要 重视基础，重视教材，更要研究教材， 开发教材 ，使复习 变得鲜活。 旧题重现， 积累经验，“授人以渔”。 通过数学活动， 引导学生建立数学模型，归纳问题解决的知识与方法，充分体现 建模 思想 ， 紧接着几道变式拓展题让学生们脑洞大开，还要用到转化思想（探究三），分类讨 论思想（探究四） ，通过操作尝试，变换应用，培养学生的思维的灵活性，广阔性 。 2 特色 2： 突出探究积累，引导学习方式的转变 。 课程标准倡导数学教学应突出过
4、程，在复习课中如何展开“看不见、摸不着”的活动过程呢？蒋老师在这方面做了一个很好的示范。 先设计一个可直接应用模型解决的问题进行巩固（探究一第 1 问），降低门槛，让同学们在轻松的氛围中开始本课的探究之旅， 然后在逐级递进的设问中引导学生深入思考（探究一第 2问），再如探究二，探究三，探究四等 。同学 们 在探究学习交流的过程中，展现自己的观察、猜想、验证（证明）的能力，在 “做数学”的活动过程中将探究之旅推向高潮。 问题探究一 ： (1)如图 ,BC=6cm，以 BC 为直径作 O， D 是半圆 BC 的一个三等分点， E 是半圆 BC 的一个六等分点， P 是直径 BC 上一动点，连接 D
5、P、 EP，则 DP+EP 的最小值是 cm. （ 2）如图， BC=6cm，以 BC 为边作 ABC，点 D、 E分别是AB、 AC 边的中点，且 BC 边上的高为 4， BC 边上求 一动点 P，使得 PDE 周长最小 . 学生 独立完成后回答 ， 关键点处老师 作 适当强调， 很轻松完成探究的过程， 感受模型的 便捷 ， 强化模型的再现与 创造。 对于 “二定一动 型”最值 问题进行两次 递进 探究， 一是两条线段之和最小值，直接应用模型解决 ; 二是三角形周长之和最小值，看似较难，其实线段 DE 由三角形中位线定理可知 是确定的 线段，可转化为问题一 解决。一个小小的变式，体现的是转化
6、的数学思想。呈现的是对学生 “ 基本思想、基本活动经验 ” 的 认识、理解、解释、应用与拓展。 蒋老师还及时引导学生从自己的 学习作业中 挖掘 经验， 将这些经验积累，有意识地梳理， 学会举一反三 ， 以 PPT 投放， 揭示模型在各种图形背景下的应用 。 蒋老师 重视探究的 过程教学，充分体现教学方式的转变。以循序渐进的方式，步步深入，充 分应用模型展开探究性学习，帮助学生打开思维的空间，提高学习的能力。关注学法，引导学生合理转变学习方式。 问题探究二 ： 如图，一个底面半径为 1cm，高度为 cm的无盖圆柱形玻璃容器， A、 B两点在容器顶部一条直径的两端，现有一只小甲虫在容器外部 A 点
7、正下方 1cm 的 M 处 . （ 1）若容器外部 B 点正下方，距离底部 1cm的 N 处有食物，则这只小甲虫要到 N处，最短爬行的距离 cm. （ 2）若 N 点是在容器的内部，则小甲虫最短爬行的距离是 cm. 23 蒋老师将平面图形最值问题过渡到对立体图形中最值问题的探 究，两步设计到位，问题 1 体现立体图形问题转化成平面图形问题，再用模型求解； 问题 2设计巧妙，更进一步，将两个异侧定点变成两个同侧定点，需要找准对称轴，构造 Rt， 再 用 勾股定理求解。 特色 3： 注重变式 创新 ，体现思维课堂的本色 以学 生为中心，思维为核心，活动为主线的课堂， 是 思维 课堂的要求 ， 是以
8、发展学生思维为核心 ，促进学生全面而充分成长的课堂。 以低起点，创设具有挑战性的情境，激起思维动力，给予基于最近发展区的内容和任务，能够释放学生的思维活力，创设有思维张力的课堂，激荡思维张力。 问题探究四 ： 如图，在平面直角坐标 系中，矩形 OABC 的顶点 A 在 x轴的正半轴上，顶点 B 为（ 6,4 ），点 C为（ 0,4)，点 D（ 6,2）， P（ 2,4). （ 1）若点 N为线段 AO 上的动点，求线段 PN+ND 的最小值？ （ 2）点 N 仍然为线段 AO 上的动点，又有点 M为线段 CO 上的动点，求线段PM+MN+ND 的最小值？ （ 3）若点 M、 N 分别为线段 B
9、C 和 AO 上的动点，求线段 PN+MN+MD 的最小值？ 蒋老师将探究四分三步递进设计，在平面直角坐标系和动点的背景下，对图形适当的变换，创造性的利用最短距离的模型 巧妙解题，培养学生对新问题和已有知识联系、比较、转 化、综合应用的能力。 学习后反思 （ 1） 一点 商榷 ： 课堂无论多么优秀，总有那么一点遗憾，留给我们思考。对于问题探究三教学过程的处理，蒋老师 对 难点（化动点为定点）处理不够到位，学生思考的时间，空间不够，没有达到预期的效果。 问题探究三 ： 已知：如图 1， ABC 中，点 P、 Q 分别是 BAC 的平分线 AD,边 AB上的两个动点， C= ,BC=6. （ 1）
10、若 =45 ,求 PB+PQ 的最小值 . （ 2）若 =70，求 PB+PQ 的最小值 . （ 3） 若 =90，如图 2，点 E 在边 AB上，且 AE=2EB,求 PE+PQ 的最小值 . 此问题设计，由浅到难，从特殊到一般化，注重数学应用的能力培养，将常见的“二定一动”变异为“二动一定”，思维难度较大。 第（ 1）4 问 中 B 是定点， P， Q 是动点，不能直接应用模型，如何转化是此处 难点。蒋老师让学生回答，学生解答不了，然后动画演示，让点 Q 动，作 Q 关于 AD 的对称点 Q，当点 B， P， Q共线时，是否达最小值？学生回答说当 BQ AC 时最小。 审视本题，如果仅仅从
11、假设 Q 是定点去思考，容易得到问题的解决，但失去了问题的探究价值和教学价值，因为如何探寻到作哪个点的对称点，关于谁对称，这是 问题的核心与难点。我 国传统的数学教育过分强调问题的分析与解决，义务教育课程标准 .数学将实验稿中课程目标之一的“解决问题”变为“问题解决”，其意义远不是两个词位置的交换，而在于课程理念的变化 。 化解 本题难点的过程需要 给足 探究的时间和空间，学生做一做，画一画，尝试解决，再交流，说理， 可以展开一题多解。充分展示探究与反思过程，引导学生既关注数学结果，也关注探究过程，既注重探究发现，也重视演绎推 理，既学会数学直观，又形成理性精神，并通过反思优化数学思维，若能如
12、此，岂不美哉！ （ 2） 在几何探究活动教学中，教师应该注意 的几个问题。 课标 指出：在教学中要处理好过程与结果、直观与抽象、直接经验 与间接经验的关系。探究式教与学要帮助学生积累几何探究的活动经验， 引发学生的思考 ，激励学生的创造性思维， 发展学生的几何探究能力 。 第一 ，数学直观基于数学知识和经验 。 如本 课 中的 几个探究问题涉及到 垂直与平行概念， 中垂线性质，圆的性质，三角形全等、矩形、正方形的性质 ，勾股定理、图形面积公式，数形结合思想、转化思想等知识是、经验、思想、方法“如何会看出结果，需要凭借经验、凭借思维方法”这种活动经验和思维方法，就是对数学结果的预测与估计能力、对
13、图形与数值作出迅速 判断的能力、根据代数式（方程、不等式、函数）等的结构特征作出相应的决策能力、对空间图形的想象能力、透过数学现象洞察数学本质属性的能力、对相近或类似问题类比联想、归类与融合能力。教者只有将探究发现与演绎推理有机结合，在引导学生的探究过程中潜移默化地培养学生的质疑能力、推理能力，让学生的创新智慧在理性精神中完美升华。 第二 ， 思维源于问题反思 。 数 学教育的核心是思维发展，反思是一种能力、一种习惯，更是一种思维品质，培养数学反思能力，可以提炼思想方法，理清思路脉络，优化思维结构，使数学思维得到真正发展，真正实现数学解 题在学习中的价值。一是反思使画法优化 。 当两定点，一动
14、点求最短距离时，往往可以将其中一个定点作关于动点所在直线的对称点，选择哪个点作对称，关系到图形的简洁美观，也关系到直观思考的容易与否。 二是反思使思路开阔， 探究 问题 三 中，可以作 Q 关于 AD 的对称点 Q ,也可以作点 B 关于 AD 的对称点 B ,相比之下，前者 图形更加直观简洁，画法更加易于操作，思路更加流畅明快，推理更加直接清晰，然而思路是在探索和反思基础上的逐步开阔的 ， 因此，引导学生对解题过程与结果进行反思是教学中不可或缺的重要环节。三是反思使思维升华，反思的过 程也是思维不断升华的过程，通过反思，不仅优化了画法、 开阔了思路，还形成了解决一类问题的策略，强化了数学思想
15、方法。如探究问题四 的解决在潜移默5 化中强化了数形结合的思想、化归的思想、图形变换的思想 。 第三 ， 结果寓于过程之中 。 数学学习必须追求有过程的结果，课程标准强调：课程内容“不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。” 有这样一种现象：课堂上教师讲得酣畅淋漓，学生听得点头称是，可面对新问题还是一筹莫展，重要的原因还是教师的教忽视数学知识的形成过程、问题的探究过程，数学规律、结论是教师按照自 己的“精心预设”单向、直线灌输，而不是学生自主探究发现 。带着学生经历题意的分析、思路的突破、思维的优化、过程的反思等过程，一起经历“避开弯路”、“绕过死胡同”，完成“再发现”的曲折过程，学生的思路在师生互动交融中从模糊到清晰、从无序到有序、从繁琐到简洁，充分体验到了思维顿悟的愉悦，或许这个过程有些漫长，但学生在这个过程中品尝到了探索的曲折与艰辛，享受到了获得成功的喜悦，感悟到了数学的思想、方法、 策略 。
