1、1解三角形要想熟练的解三角形必须熟记三角恒等变换的相关公式对式子灵活变形，运用正弦定理或余弦定理解题。1、知识回顾1两角和与差的三角函数 sincosin)si(； sincos)cos(；tatta1。2二倍角公式 cosin2si； 2222 sin1cossinco ； 2tanta1。3三角函数式的化简（1）降幂公式 si21csi； 2s1in2； 2sc2。（2）辅助角公式 2sinossiaxbabx， 22sincosbaab其 中 ， 。4在三角函数化简时注意：能求出的值应求出值； 尽量使三角函数种类最少；尽量使项数最少； 尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数；
2、 必要时将 1 与 进行替换22cossin化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等。5.平面向量向量平行、垂直的坐标表示，向量的数量积。共线向量坐标表示的一般性结论：设 a ，b （a） ，如果 ab，那么 ；反过1(,)xy2(,)xy1210xy来，如果 ，那么 ab1210xy两个向量垂直的坐标运算： =00A12xy辅助角公式例 4函数 的最大值为（ ）xxfcosin)(A1 B C D223例 5已知函数 y sinxcos x，xR .3（1）当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；（2）该函数的图象可由 ysin x（xR ）的图象经过怎样的平移和伸
3、缩变换得到 ? 2平面向量例 1. 已知 OA=(-1，2)， B=(3，m) ，若 OA B，则 m 的值为_例 2. ABC 中， ， ， ，则 _（答：9）3| 4| C5| C二、解三角形1、三角形 中的一些常用结论内角和定理： 边角关系： , , , BAsinBAcos2sinBA2、正弦定理：设 分别为ABC 中角 A，B ，C 的对边， R 为外接圆的半径，则有ba_ =_=_=_变形一（化边为角）：_变形二（化角为边）： 变形三（三角形的面积公式）： 已知边 a,b 和角，求其他边和角解的情况：（1）为锐角解的情况：（2）A 为直角或钝角解的情况：3、余弦定理：设 分别为AB
4、C 中角 A，B ，C 的对边， R 为外接圆的半径，cba,则有 ， ， 常用变形：_4、解三角形_ _叫解三角形（1） 正弦定理可解决以下两类问题： （2） 余弦定理可解决以下两类问题： 三、探究学习.讲与练题型一：解三角形3例 1 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的解三角（1） a=7，b=8，A=105；（2）a=10，b=20，A=80；（3）a=5， ，A=30。53b【变式】1、在 中，若 ，A=30 0，试讨论当 b 为何值时（或什么范围内）三角形有解，两解，无23a解？练习 2：在 中， ，求 的值。ABCsin:si3:24BCcosC在
5、中，已知 ，求 A,C 和 c3,2,5ab练习 3、ABC 中， ，求 c 的值.思路点拨：已知两边和其中一边的对角，求第三边.思路 1：用正弦定理求出B，进而求得C，再利用正弦定理求得 c 边.思路 2：用余弦定理得到关于 c 的一元二次方程，可直接求得 c 边.题型二：三角形面积公式的应用例 2已知 中， ， , 求 、 、 及外接圆的半径。思路点拨:根据已知条件，先用正弦定理求出角，再用正弦定理的变形公式求 的面积及外接圆的半径.【变式 1】在 中， ， ， ，求 的面积 .4【变式 2】已知：圆内接四边形 中 ， ， ，求四边形 的面积.题型三：判断三角形的形状例 3判断下列三角形的
6、形状：(1)a=6，b=8，c=10； (2)a=6，b=8，c=9； (3)a=6，b=8，c=11【变式 1】在ABC 中，根据下列条件决定三角形形状.(1) ； (2) .题型四：综合应用变式：（2011 山东高考 17）在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 .A cosA-2Cc-a=Bb（）求 的值；sin（）若 cosB= ，b=2 , 求ABC 的面积 S.14题型五：正、余弦定理的简单应用5例 4、在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端对于上坡的斜度为 15，向山顶前进 100m 后，又从 B 点测得斜度为 45,设建筑物的高为 50m
7、，求此山对于地平面的斜度的倾斜角 。练习 1：要测量对岸 A、B 两点之间的距离，选取相距 km 的 C、D 两点,并测得ACB=75, 3BCD=45,ADC=30,ADB=45,求 A、B 之间的距离.课后作业：一、选择题：（每小题 5 分，共计 60 分）1. ABC 中，sin 2A=sin2B+sin2C，则ABC 为( )A 奎 屯王 新 敞新 疆 直角三角形 B 奎 屯王 新 敞新 疆 等腰直角三角形 C 奎 屯王 新 敞新 疆 等边三角形 D 奎 屯王 新 敞新 疆 等腰三角形2. 在ABC 中，b= ，c=3，B=30 0，则 a 等于（ ）3A B12 C 或 2 D233
8、. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ）Aa=7，b=14 ，A=30 0 有两解 Ba=30，b=25，A=150 0 有一解Ca=6，b=9，A=45 0 有两解 Da=9，c=10，B=60 0 无解4. 已知ABC 的周长为 9，且 ，则 cosC 的值为 （ ）4:23sin:siAA B C D4141325. 在ABC 中，A60，b1，其面积为 ，则 等于( )CBAcbasinsiA3 B 392C D86. 在ABC 中，AB 5，BC 7，AC 8，则 的值为( )CAA79 B69C5 D-57.关于 x 的方程 有一个根为 1，则ABC 一定是（ ）02coscos2
9、 AxA等腰三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形8. 设 m、m+1、m+2 是钝角三角形的三边长，则实数 m 的取值范围是( )A.0m3 B.1m3 C.3m4 D.4m69. ABC 中，若 c= ，则角 C 的度数是( )ab2A.60 B.120 C.60或 120 D.4510. 在ABC 中，若 b=2 ,a=2，且三角形有解，则 A 的取值范围是 ( )6A.0A30 B.0A45 C.0A90 D.30A6011.在ABC 中， ，那么ABC 一定是 （ ）B22sintasintaA锐角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形12. 如果把直角
10、三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定二、填空题（每小题 4 分，满分 16 分）13.在ABC 中，有等式：asinA=bsinB；asinB=bsinA；acosB=bcosA； . 其中恒成sinisnabcABC立的等式序号为_14. 在等腰三角形 ABC 中，已知 sinAsinB=12，底边 BC=10，则ABC 的周长是 。15. 在ABC 中，已知 sinAsinBsinC=357,则此三角形的最大内角的度数等于_.16. 已知ABC 的三边分别是 a、b、c，且面积 ，则
11、角 C=_422cbaS三、解答题17. 已知在ABC 中，A=45 0，AB= ，BC=2，求解此三角形. （本题满分 12 分）618. 在ABC 中，已知 a-b=4,a+c=2b，且最大角为 120，求ABC 的三边长. （本题满分 12 分）19. 在锐角三角形中，边 a、b 是方程 x22 x+2=0 的两根，角 A、B 满足 2sin(A+B) =0，求角 C 的度数，3 3边 c 的长度及ABC 的面积. （本题满分 13 分）20. 在ABC 中，已知边 c=10, 又知 = = ，求 a、b 及ABC 的内切圆的半径。 （本题满分 13 分）cosAcosBba4321.
12、如图 1，甲船在 A 处，乙船在 A 处的南偏东 45方向，距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南偏西15方向航行，若甲船以 28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少 h 能尽快追上乙船？ （本题满分 12 分）22.在ABC 中，已知角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，边 c= ，且72tanA+tanB= tanAtanB ，又ABC 的面积为 SABC = ，求 a+b3 33 32ABC北45157的值。 （本题满分 12 分）参考答案1. A 2.C 3. B 4. A 5. B 6. D 7. A 8. B 9.B 10. B 11
13、.D 12.A13. 14.50, 15.120 0,16. 45017. 解答：C=120 B=15 AC= 或 C=60 B=751318. 解答：a=14,b=10,c=619. 解答：解：由 2sin(A+B) =0，得 sin(A+B)= , ABC 为锐角三角形332A+B=120, C=60, 又a、b 是方程 x22 x+2=0 的两根，a+b=2 ,3 3ab=2, c 2=a2+b22abcosC=(a+b) 23ab=126=6, c= , SABC = absinC= 2 = .612 12 32 3220.解答：由 = ， = ,可得 = ，变形为 sinAcosA=
14、sinBcosBcosAcosBba sinBsinAba cosAcosBsinBsinAsin2A=sin2B, 又ab, 2A=2B, A+B= . ABC 为直角三角形.由 a2+b2=102和 = ，解得 a=6, b=8, 内切圆的半径为 r= = =2ba43 a+b-c2 6+8-10221. 解析：设用 t h，甲船能追上乙船，且在 C 处相遇。在ABC 中，AC=28t，BC=20t，AB=9，设ABC=，BAC=。=1804515=120。根据余弦定理 ，22cosABCAB， ， （4t3） （32t+9）=0，解得22181090()2ttt28607tt= ，t=
15、（舍）AC=28 =21 n mile，BC=20 =15 n mile。349344根据正弦定理，得 ，又=120， 为锐角，=arcsin ，315si2siBCA 5314又 ，arcsin ，甲船沿南偏东 arcsin 的方向用 h 可以追上乙船。53147214453122. 解答：由 tanA+tanB= tanAtanB 可得 ，即 tan(A+B)=3 3 tant1AB3 3tan(C)= , tanC= , tanC= C(0, ), C= 又ABC 的面积为 SABC = ，3 3 3 3 32absinC= 即 ab = , ab=6 又由余弦定理可得 c2=a2+b22abcosC12 3 32 12 32 3 32( )2= a2+b22abcos ( )2= a2+b2ab=(a+b) 23ab(a+b) 2= , a+b0, a+b=72 72 1214 112
