1、7几种常见解不等式的解法重难点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)熟练掌握一元一次不等式( 组)、一元二次不等式(组) 的解法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (3)掌握无理不等式的三
2、种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 典型题例示范讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1 已知 f(x)是定义在1，1上的奇函数，且 f
3、(1)=1，若 m、n1，1，m+n0 时 0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j n(1)用定义证明 f(x)在1，1上是增函数；(2)解不等式 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco f(x+ )f( )；(3)若 f(x)t 22at+1 对所有 x1，1，a1， 1恒成立，求实数 t 的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.
4、j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (2)问中利用单调性转化为不等式时， x+ 1，1，21， 1必不可少，这恰好是容易忽略的地方 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j x技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjky
5、gco (1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把 f(x)转化成 “1”是点睛之笔 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 任取 x1x 2，且 x1，x 21，1，则 f(x1)f(x 2)=f(x1)+f(x 2)=(x1x 2)21()ff1x 1x 21，x 1+(x 2)0，由已知 0，又 x1x 20，21)()xfff(x 1)f(x 2)0，即 f(x)在1，1上为增函数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)解 头ht
6、p:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco f( x)在 1，1上为增函数，7 解得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco x| x1，xR 21xx3(3)解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由(1)可知 f(x)在1，1上为增函数，且 f(1)=1，故对 x1，1，恒有 f(x)1，所以要 f(x)t 22at+1 对所有 x1，1，a1，1恒成立，即要t22at+11 成立，故 t22at0，记 g(a)=t22at ，对 a1，1，g( a)0，只需 g(a)在1，1上的最小值大于等于
7、 0，g(1) 0，g(1) 0，解得，t2 或 t=0 或 t2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j t 的取值范围是 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco t|t2 或 t=0 或 t2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 2 设不等式 x22ax +a+20 的解集为 M，如果 M 1，4，求实数 a 的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系 头htp:/w.xjk
8、ygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco M= 是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于 a 的不等式要全面、合理，易出错 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 该题实质上
9、是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco M 1 ，4有 两 种情况 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 其一是 M= ，此时 0；其二是 M ，此时 =0 或 0，分三种情况计算 a 的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 f(x)=x2 2ax+ a+2，有 =(2a) 2(4a+2)=4( a2a2)(1)当 0 时，1a2
10、，M = 1，4(2)当 =0 时，a=1 或 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 当 a=1 时 M=1 1，4；当 a=2 时，m =2 1，4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (3)当 0 时，a1 或 a2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设方程 f(x)=0 的两根 x1，x 2，且 x1x 2，那么 M=x 1， x2，M 1，4 1x 1x 240,4)()1(且且aff即 ，解得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 2a ，10783a或 78M 1，4时，a 的取值范围是 (1， )
11、头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 7例 3 解关于 x 的不等式 1( a1) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j )(x解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 原不等式可化为 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 0，)(当 a1 时，原不等式与(x )(x2) 0 同解 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1a由于 原不等式的解为(， )(2，+) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 12a当 a1 时，原不等式与(x )(x2) 0 同解 头htp:/w.x
12、jkygcom126t:/.j 由于 ,2若 a0， ,解集为( ，2) ；12a1a若 a=0 时， ，解集为 ；若 0a1， ,解集为(2， )112a综上所述 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 当 a1 时解集为(， )(2，+)；当 0 a1 时，解集为(2，)；当 a=0 时，解集为 ；当 a0 时，解集为( ，2） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j a学生巩固练习 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设函数 f(x)= ，已知 f(a)
13、1，则 a 的取值范围是 ( )1()()2xA 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (，2) ( ，+ ) B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ( ， )2C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (，2)( ，1) D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2， )(1，+)2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知 f(x)、g(x)都是奇函数，f (x)0 的解集是(a 2，b)， g(x)0 的解集是( ， )，2ab则 f(x)g(x)0 的解集是_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3 头h
14、tp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知关于 x 的方程 sin2x+2cosx+a=0 有解，则 a 的取值范围是_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知适合不等式|x 24x+ p|+|x3| 5 的 x 的最大值为 3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)求 p 的值；(2)若 f(x)= ，解关于 x 的不等式 f-1 (x) (kR +)1pl75 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 f(x)=ax2+bx+c，若 f(1)= ，问是否存在 a、b、c R，使得不等
15、式 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco x2+ f(x)272x 2+2x+ 对一切实数 x 都成立，证明你的结论 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 36 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知函数 f(x)=x2+px+q，对于任意 R ，有 f(sin )0，且 f(sin +2)2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)求 p、q 之间的关系式；(2)求 p 的取值范围；(3)如果 f(sin +2)的最大值是 14，求 p 的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 并求此时 f(sin
16、 )的最小值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解不等式 loga(x )18 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设函数 f(x)=ax满足条件 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 当 x(，0)时，f(x) 1；当 x(0 ，1 时，不等式f(3mx 1)f(1+mx x 2)f(m+2)恒成立，求实数 m 的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 参考答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w
17、.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由 f(x)及 f(a)1 可得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 或 或 )(2a1a解得 a2，解得 a1，解得 x2a 的取值范围是(，2)( ，1）答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco C2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由已知 ba 2f( x)，g( x)均为奇函数，f(x)0 的解集是(
18、b，a 2)，g(x)0 的解集是( ) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ,ab由 f(x)g(x)0 可得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 22,)()( 2axbaf 或即或x(a 2， )( ，a 2)b答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (a2， )( ，a 2)3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 原方程可化为 cos2x2cos xa1=0 ，令 t=cosx，得 t22ta1=0，原
19、问题转化为方程 t22ta1=0 在1，1上至少有一个实根 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 令 f(t)=t22ta1，对称轴 t=1，画图象分析可得 解得 a2，2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 0)(f答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 2，274 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)适合不等式|x 24x+p|+| x3|5 的 x 的最大值为 3，x30，|x3|=3x 头htp:/w.xjkygcom126
20、t:/.j 若|x 24x+p|= x 2+4xp，则原不等式为 x23x +p+20，其解集不可能为x| x3的子集，|x 24x +p|=x24x+p 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 原不等式为 x24x +p+3x0，即 x25x+p20，令 x25x+p2=(x 3)(x m)，可得 m=2，p=8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)f(x)= ，f -1 (x)=log8 (1x1 ，8)有 log8 log 8 ，log 8(1x)log 8k，1xk，x1k 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j k1x1，k R +，当 0k2
21、 时，原不等式解集为x|1kx1；当 k2 时，原不等式的解集为x| 1x 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由 f(1)= 得 a+b+c= ，令 x2+ =2x2+2x+ x =1，73由 f(x)2x 2+2x+ 推得 f(1) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 33由 f(x)x 2+ 推得 f(1) ，f(1)= ，ab+c= ，23故 2(a+c)=5，a+c = 且 b=1，f (x)=ax2+x+( a) 头ht
22、p:/w.xjkygcom126t:/.j 55依题意 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco ax2+x+( a)x 2+ 对一切 xR 成立，1a1 且 =14(a1)(2a)0，得(2 a3) 20，f(x)= x2+x+13易验证 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco x2+x+12x 2+2x+ 对 xR 都成立 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3存在实数 a= ，b=1 ，c=1，3使得不等式 x2+ f(x )2x 2+2x+ 对一切 xR 都成立 头htp:/w.xjkygcom126t:/
23、.j 36 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)1sin 1，1sin +23，即当 x1，1时，f(x)0，当x1，3时，f( x)0，当 x=1 时 f(x)=0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1+ p+q=0，q= (1+p)(2)f(x)=x2+px (1+p)，当 sin =1 时 f(1)0，1p1p0，p0(3)注意到 f(x)在 1，3上递增，x=3 时 f(x)有最大值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 即 9+3p+q=14，9+3p1p=1
24、4，p=3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 此时，f(x)=x 2+3x4，即求 x1，1时 f(x)的最小值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 又 f(x)=(x+ )2 ，显然此函数在1，1上递增 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 5当 x=1 时 f(x)有最小值 f(1)=134=6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 77 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)当 a1 时，原不等式等价于不等式组 ax10由此得 1a 头ht
25、p:/w.xjkygcom126t:/.j 因为 1a0，所以 x0， x0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)当 0a1 时，原不等式等价于不等式组 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco a由 得 x1 或 x0，由得 0 x ，1x 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j a综上，当 a1 时，不等式的解集是x| x0 ，当 0a1 时，不等式的解集为x|1x 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/
26、wxjkygco 由已知得 0a1，由 f(3mx1) f (1+mxx 2)f(m+2)，x(0 ，1 恒成立 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 在 x(0，1 恒成立 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 23整理，当 x(0，1)时， 恒成立，)(2xm即当 x(0 ，1 时， 恒成立，12x且 x=1 时， 恒成立，)(22m 在 x(0 ，1 上为减函数， 1，1x2m 恒成立 m0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j x2又 ，在 x(0，1 上是减函数， 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j )(12xm 恒成立 m12x7当 x(0 ，1)时， 恒成立 m(1，0) 12xm当 x=1 时， ，即是 m 0 )(221、两式求交集 m(1，0）,使 x(0，1 时，f(3mx 1)f(1+mx x 2)f(m+2)恒成立，m 的取值范围是(1，0)课前后备注 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco
