1、 本科学年论文论文题目： 定积分的计算与几何应用 学生姓名： 学 号： 专 业： 数学与应用数学 班 级： 指导教师： 完成日期： 定积分的计算与几何应用内容摘要定积分计算的方法和技巧是非常丰富的，除用定积分性质、基本公式，换元法与分部积分法外，简单的还有定积分的几何意义，函数奇偶性及查积分表等。定积分在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用。本文主要列举了一些定积分计算的方法与技巧以及定积分在几何学中的一些应用，供大家参考。关键词：定积分 计算方法 几何应用目录序言 .11、按照定义计算定积分 .12、用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分 .13、利用分部积分法计算定积分 .24
2、、利用换元积分法计算定积分 .25、几种特殊类型定积分的计算方法 .35.1 对称区间上的定积分的计算方法 .35.2 利用函数的周期性简化计算 .35.3 分段函数定积分的计算 .45.4 含有绝对值的函数的定积分的计算 .4第二章 定积分的几何应用 .51、求平面曲线的弧长 .52、求平面图形的面积 .73、求空间几何体的体积 .12参考文献： .14- 1 -序言在产品生产、科学技术研究和现实生活中，许多实际问题如求路程、求面积、求体积等都可以归结为求某种和的极限，利用定积分的概念就可以使这些问题迎刃而解。第一章 定积分的计算1、按照定义计算定积分定积分的定义其实已经给出了计算定积分的方
3、法，即求积分和的极限: nkkTlba xfdxf10)()(im例 1 :求由抛物线 ， ，及 所围平面图形的面积。2y1,0y解 根据定积分的几何意义，就是要计算定积分 .显然，这个定积分是存在的。102dx取分割 T 为 等份，并取 ， 。则所求面积为：nkn1n,316)2(1lim)1(li)(lim32321102 nkdxS nnnkn2、用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分若函数 在 上连续，且存在原函数 ，即 ，xa,b,则)(xf,ba)(xF)(xf在 上可积，且 这称为牛顿莱布尼茨公式，它也)(xf,aabdxf)(常写成 babaxFdf)()(有了牛顿莱布尼茨公式后，计算
4、定积分关键就是找 的一个原函数 。这就)(xf)(xF转化为不定积分的问题了。- 2 -例 2求 102xd解：已知 Carctn 40arctn111002 x3、利用分部积分法计算定积分设函数 、 在区间 a， b上连续可微函数，则有定积分分部积分公式：)(xuV babababa dxvuxvudxvxudvxv )()()()()(例 3：求 210rcsin解:123121ariari 212121 000 xdxxxd4、利用换元积分法计算定积分若函数 在 上连续， 在 上连续可微，且满足)(xf,ba)(x,， ， ， ，bbta)(,t则有定积分的换元积分公式 。 )()()(
5、 tdtfdttfdxfba应用定积分的换元积分公式计算定积分时，要注意积分上、下限的变化。例 4：计算 10ex解：先用变量代换方法：令 ，则 ， 。tx2ttdx于是 1010edet再用分部积分法计算上式右端的积分。- 3 -设 ，tudtev则 ，d于是 1010ttt 1)(e从而 原式 2xe5、几种特殊类型定积分的计算方法5.1 对称区间上的定积分的计算方法对于对称区间关于原点对称的定积分，用奇偶函数积分的“特性”作处理。若 在 上连续并且为偶函数，则有)(xf,a， （ 是偶函数）adxfd0)(2)(xf若 在 上连续并且为奇函数，则有)(f,， （ 是奇函数）ax)(xf例
6、 5：计算 adx2解：原式 aa dx22右边第一个积分的被积函数是偶函数，第二个积分的被积函数是奇函数，积分区间对称于原点，从而原式 axadxa002rcsin例 6：计算 d134 1oi95解：原式 10dx5.2 利用函数的周期性简化计算设 是以 T 为周期的连续函数，则有)(xfTadxf0)(（ n 为整数）nTaf)(- 4 -例 7：计算 2102sinxdtg解：因为被积分函数以 为周期，所以原式 2422sinsi xdxt 3in804d5.3 分段函数定积分的计算对于分段函数的积分首先要弄清积分上下限是常数还是变量，如是常数，就要找分段函数的分段点，然后依据分段函数
7、的分段点将积分区间分为许多个小区间，在每个小区间上求定积分的和；如果是变量，就将变量分情况讨论；当被积函数是给定函数与某一简单函数复合而成的函数时，要通过变量代换将其化为给定函数的形式。例 8：设 求oxxfe,10,)( 20)1(dxf解：令（x-1）=t,则 x=t+1,dx=dt 2lne1)(-)1ln()(001 1021 dxxdefxfx5.4 含有绝对值的函数的定积分的计算对于含绝对值的函数，一般用使得绝对值等于 0 的点把积分区间分成 n 个小区间，使得每个小区间的绝对值内的函数恒正或恒负。例 9：计算 dx31解：原式 dx31 4)()(1 x例 10：计算 053si
8、ni解： ，xxxcosin)si1(sin232353- 5 -在 上， ，2,0xcos在 上， ，于是,原式 23203 )cos(sincosindxxd 54si5si5220第二章 定积分的几何应用1、求平面曲线的弧长1.1、在平面直角坐标系下，求曲线 上 一段的弧长 （如图 1）.yfx,abBA图 1在区间 上的任意点 对应的 点处，作曲线 的切线 ，取其对应自,abxMyfxT变量增量为 的一段 作为曲线弧 的近似值（“直代曲” ） ，即 .dxsN dsNM称为弧长微元，s221dxydx对其积分，则得所求弧长 1bas例 11 ： 求曲线 上 一段的弧长.32yx0,-
9、6 -解 32yx1dsd1x.333220010xx 41.2.用参数方程表示的函数的弧长计算，如曲线 上 一段的弧长.xty,这时 222dxdsxydtt即 22tt则曲线的弧长 .2std例 12 ： 求摆线 上 的一拱的弧长sin1coxaty0a,2t解： ，dttdit2221cosnsaat2sinadt20it204sintadcot8a1.3.在极坐标系下，求曲线 上 一段的弧长.r,- 7 -2dsxdy22cossinddrr22iicosrd2 22 2coscosiniinsicosdrdr drrd 2r即 2dsd则 r例 13 ： 求阿基米德螺线 上 一段的弧长解ra0,2rad2221dsradad01d22ln10a= .2241l42、求平面图形的面积2.1.在平面直角坐标系下，求由 与 上下两条曲线在 区间上所yfxygx,xab围成的平面图形的面积 .A
