1、作业题之二：超额录取留学生的策略 众所周知，选择出国留学学生越来越多。不可避免的，他们需要向国外的大学提出申请，同时需要交纳一定金额的申请费。如果你所申请的学校给你发来“offer”，并且你顺利地通过签证，你就可以预订机票了。通常说来，国外学校录取留学生的数量 A 由该校提供给留学生奖学金的经费数决定。但是，出于以下的原因：（1）得到“offer”的学生出于自身的原因（比如收到多封“offer”）未去报到；（2）得到“offer”的学生未能顺利拿到签证。发出“offer”的数量 B 往往要多于录取留学生的数量 A。但是不同的学校面临的情况并不相同，也许收到一所知名学校“offer”的人中，90
2、%的人都会去，而去一所普通学校的人可能不到 50%。由于经费有限，如果报到的学生太多，学校往往没有太多的办法。因此，发出“offer”需要一定的策略。当前的情况为： 学生从一个学校调到另一个学校的情形越来越少。 学生出于各自的偏好，不愿意更换学校。签证被拒的比例在上升。 所有学校都必须先交申请费，再决定是否考虑发放 offer。问题：（1）如果奖学金经费 C 确定，学校该发多少封“offer”？给出最佳方案。（2）如果你是一个学生，考虑到申请过程中的所有费用，（申请的学校越多，费用越高），同时还能去一个理想的学校，你应该向多少个学校提出申请？解答：一 模型的分析本题的问题实际上时利用建立优化模
3、型的数学方法解决实际问题：即在给定的限制因素下，一方面，在学校奖学金经费 C 确定的情况下，考虑引起出现无效“offer”的各种因素，使学校发出适量的“offer”满足学校的生源平衡：另一方面，在学生资金有限的情况下，为了减轻学生的负担，又可使学生上一所理想的学校。而学校录取学生的数量 A 由该校提供给留学生奖学金的经费数决定，这就要求提供最优申请学校的数量。二 模型的假设（1） 一个学校只能向一个已交纳申请费得学生发一封“offer”。（2） 对每个学校来说，学生个体间具有无差别性， （即每个递交申请的学生都是平等的给提，无好坏、优秀的区别） 。（3） 假设签证被拒签的比例随时间推移而上升。
4、三 模型中的符号含义表示第 所学校最终决定发放的“offer”封数；iBi表示第 所学校总奖学金经费；iC表向第 所学校提交申请的总人数；iDi表示第 所学校向每个被录取的留学生发放的奖学金数量；im表示学生对第 所学校的“offer”的接受率（即收到学校的“offer”后，愿ii意去该第 所学校的概率。 ）；表示从开始申请到签证始的第 天的拒签率；ii为 01 变量，当 取 0 时，表示该学生未向第 所学校交纳申请费，当ixixi取 1 时，表示该学生向第 所学校交纳申请费， ；i 1,2.in表示某个学生向第 所学校提交申请时，向其交纳的申请费用，igi；,2.n表示某个学生向多个学校提交
5、申请时交纳的总费用；G表示某个学生在向多个学校递交申请的情况下，能最终获得录取的概率；Q上述大部分符号在模型建立以及模型的求解的过程中看作已知量，其实是可以通过民政部门以及办理出国留学生的单位获取的，因此通过模型求解可以求学校发出“offer”的最佳数量以及学生提交申请的最佳数量，即求的最优策略。四 模型的建立（1） 由题意可以知：当奖学金经费定为 C 的学校向每个被录取的留学生发放奖学金的数额为 m 时，则理论上该学校最大也是最理想的录取人数为 ；设学生接收到学校发m来的 offer 后，由学校的知名度决定其愿意去该学校的概率为 ，而且 ；接到01offer 以后再申请签证的过程中，拒签率为
6、 （现假设为一常量） ；B 表示学校实际向学生发出的 offer 数量；D 表示已向该所学校交纳申请费得学生的总人数；再者所有学校都必须先交申请费，再决定是否发放 offer，则由以上可以确定 B 的范围： ；CDm由此可知，知道 B 为学校最终发放 offer 的数量，而在整个学生录取的过程中，导致某些收到 offer 后又没向学校报到的因素有以下两个：1、 学生收到了多封 offer 故没去报到（即学校的知名度产生影响）。2、 由于签证因素导致收到了 offer 却没能去报到。考虑到这两个因素影响所有实际的录取人数应该表示为 。而最佳的 offer1B发放方案就是要求： ，且在数值上尽量的
7、靠近 ；1CBmCm考虑 B 和 间的关系：当 增大时，发出 offer 会录取的比例提高，那么 B 取值应该趋向于 ；当 减少时，随着 offer 会录取的比例的减少，B 的取值应该趋向于 D，以保Cm证满足学校生源。根据此可得： （1）式，CDm（2）式，1B因此由（2）式可得到 ，代入（1）式得到：C1CBDm1CmBDm222CmBDBDm即： 22110解得： （*）2241CmDDmBm又有： C经过调查，将取得的数据代入上面的（*）式可以解出 B 的值，再由条件：的限制，可以判别 B 值合理性是否成立，符合则保留，否则，舍去。这样，就BDm可以将第一问的问题解决。因为拒签率在逐天
8、上升而不是个常量，故应该对 进行更详细的分析，令可交纳申请费得天数为 第一天交纳申请费时的拒签率为 ，依次类推，第 天时拒签率为 ，对1a1aa取平均值， ，将 代入（*）式得：i1ai2241CmDmDmB 即当奖学金经费 C 确定后，学校应该发放 offer 的数量。（2） 再来解决第二个问题：表示学生向第 个学校提交申请时，向其交纳的申请费用 。则该学生igi 1,2.in向学校提交申请而需要交付的总费用可以表示为；（ 或 ）1niiGxg0i1ix被第 所学校拒绝签证的概率为： i 1iiBqD所以被所有的学校都拒绝签证的概率为： 1.,2.nii in那能够被录取的概率就应该为： 1.1,.niiQqi若要满足题目中的要求，则需要使得总费用达到最小 ， ；而且能够被miG0,ix录取的概率达到最大 ，这样我们就得到一个多目标规划：maxinijGQ学生一般比较注重录取率，所以我们觉得费用和录取率这两个目标大致三七开，则该问题的数学模型为：mi0.3.7S t. 1nix(0,)i然后,将经过调查得来的数据代入模型中,再利用 LINDO 工具对模型法进行求解便可以得出最优解和最优值. 用 LINDO 对模型直接求解,输入格式为min0.3.7GQS t. 1nixEndint i
