1、走向数学高端 新浪 汤永臣的博客 邮箱 高屋建瓴 纲举目张1近几年北大清华自主招生试题汇编 2010北大自主招生（三校联招）1 （仅文科做） ，求证： （25 分）02sinta2 为边长为 的正五边形边上的点证明： 最长为 （25 分）AB1AB5123 为 上在 轴两侧的点，求过 的切线与 轴围成面积的最小值 （25 分）2yxy x4向量 与 已知夹角， ， ， ， ， O1OA2(1)OPtQtOB01t 在 时取得最小值，问当 时，夹角的取值范围 （25 分）PQ0t 05t5 （仅理科做）存不存在 ，使得 为等差数列 （25 分）2xsin,cota,ctxx2009北大自主招生数
2、学试题1 圆内接四边形 ABCD，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。求圆半径。2 已知一无穷等差数列中有 3项：13，25，41。求证：2009 为数列中一项。3 是否存在实数 x使 tanx+（根 3）与 cotx+（根 3）为有理数？4 已知对任意 x均有 acosx+bcos2x=-1恒成立，求 a+b的最大值5 某次考试共有 333名学生做对了 1000道题。做对 3道及以下为不及格，6 道及以上为优秀。问不及格和优秀的人数哪个多？2008北大自主招生数学试题1 求证：边长为 1 的正五边形对角线长为 5122 已知六边形 AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA
3、1=CB1,A+B+C=A 1+B 1+C 1求证 ABC 面积是六边形 AC1BA1CB1的一半。3 已知走向数学高端 新浪 汤永臣的博客 邮箱 高屋建瓴 纲举目张2123123231112323min(,)in(,)axmax,bb求 证 ：4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多 9 支 南方球队总得分是北方球队的 9 倍 求证 冠军是一支南方球队（胜得 1 分 败得 0 分）5（理科）O-XYZ 坐标系内 xoy 平面系内 绕 y 轴旋转一周构成一个2yx不透光立体 在点(1,0,1) 设置一光源 xoy 平面内有一以原点为圆心的圆 C 被光照到的长度为 2 求 C 上未被照到的长度20
4、09年清华大学自主招生数学试题设 的整数部分为 ，小数部分为51ab求 ；,ab求 ；22求3limnnb 2 为实数，且 ，求证：对于任意正整数 ，1,xy1xyn221nxy为正实数，求证： ，其中 为 的一种排列,abc3acz,z,abc3请写出所有三个数均为质数，且公差为 8 的等差数列，并证明你的结论4已知椭圆 ，过椭圆左顶点 的直线 与椭圆交于 ，与 轴交于21xyab,0AaLQy，过原点与 平行的直线与椭圆交于RLP求证： ， ， 成等比数列AQ2OPR5已知 ，设 ，求sinco1tcosint2()1nfss 6随机挑选一个三位数 I求 含有因子 5 的概率； 求 中恰有
5、两个数码相等的概率1I2I7四面体 中， ， ，ABCDACBDC求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；走向数学高端 新浪 汤永臣的博客 邮箱 高屋建瓴 纲举目张3设三个面与底面 所成的角分别为 ，求证：2BCD,coscos18证明当 均为奇数时，曲线 与 轴的交点横坐标为无理数 ,pq2yxpqx9设 均为整数，性质 为： 对 中任意 个数，存在1221na P1221,na 一种分法可将其分为两组，每组 个数，使得两组所有元素的和相等求证： 全部相等当且仅当 具有性质1221,n 1221,n P2009 年清华大学自主招生数学试题（文科）1已知数列 ，且nanSa求证： 是等差数列；
6、求 所在的直线方程2,na212 名职员（其中 3 名为男性）被平均分配到 3 个部门求此 3 名男性被分别分到不同部门的概率；1求此 3 名男性被分到同一部门的概率；若有一男性被分到指定部门，求其他 2 人被分到其他不同部门的概率3一元三次函数 的三次项数为 ， 的解集为fx3a90fx1,2若 ，求 的解析式；170faf若 在 上单调增，求 的范围2xAa4已知 ， ， ，求点 的轨迹 ；直线2PMN,02,NPW与 交于点 、 ，求 （ 为原点）ykxWBSOA5设 12nxa 12231n nnSxaxaxa 求证：30求 的最值，并给出此时 ， ， ， 满足的条件241x234x走
7、向数学高端 新浪 汤永臣的博客 邮箱 高屋建瓴 纲举目张4A 0.90B 0.95C 0.95D 0.94E 0.94若 ，求 ， ， ， ， 不符合时的条件350S1x234x52008届清华大学自主招生试题1. 已知 都是有理数， 也是有理数，证明： 都是有,abcabc,abc理数；2. （1）一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱组成一个三角形；（2）四面体一个顶点处的三个角分别是 ，求 的面和 的,arctn233arctn2面所成的二面角；3. 求正整数区间 中，不能被 整除的整数之和；,()mn4. 已知 ，求 的取值范围；sico1si25. 若 ，求 ；20l(
8、),()xffxf()fx6. 证明：以原点为中心的面积大于 的矩形中，至少还有两个格点。42007清华大学自主招生数学试题1.求 的单调区间及极值.()xef2.设正三角形 边长为 ， 是 的中点三角形， 为 除去 后剩下三个三角1Ta1nTnAT1n形内切圆面积之和.求 .1limknA3.已知某音响设备由五个部件组成，A 电视机，B 影碟机，C 线路，D 左声道和 E 右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当 A 与 B 中有一工作，C 工作， D 与 E 中有一工作；且若 D 和 E 同时工作则有立体声效果.求：（1）能听到立体声效果的概率；（2）听不到声音的概率
9、.4.(1)求三直线 ， ， 所围成三角形上的整点个数；60xy12x0y走向数学高端 新浪 汤永臣的博客 邮箱 高屋建瓴 纲举目张5(2)求方程组 的整数解个数.2160yx5.已知 ，ABC 是正三角形，且 B、C 在双曲线 一支上.(,)A 1(0)xy(1)求证 B、C 关于直线 对称；yx(2)求ABC 的周长.6.对于集合 ，称 M 为开集，当且仅当 ， ，使得2R0PMr.判断集合 与 是否为20Pr(,)425xy(,)0,xy开集，并证明你的结论.2006清华大学自主招生数学试题1求最小正整数 ，使得 为纯虚数，并求出 nniI)321(I2已知 为非负数， ，求 的最值ba、4,MabM3已知 为等差数列， 为等比数列，求sincos、 、 sincos、 、的值1co24求由正整数组成的集合 ，使 中的元素之和等于元素之积S5随机取多少个整数，才能有 0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数6 上一点 (非原点)，在 处引切线交 轴于 ，求 2xyPxy、 QR、 P7已知 满足：对实数 有 ，且 ，求证:)(fba、 )()(abfff 1)(xf恒为零xf(可用以下结论：若 ， 为一常数，那么 )Mxfgx)(,0)(lim 0()limxgfx
