1、指数函数一、指数函数的性质及运算1、根式的概念如果 ，且 ，那么 叫做 的 次方根。当 是奇数,1nxaRxnNxan时， 的 次方根用符号 表示；当 是偶数时，正数 的正的 次方根用符号 表示，na负的 次方根用符号 表示；0 的 次方根是 0；负数 没有 次方根。nn式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数。当 为奇数时， 为任意aan实数；当 为偶数时， 。根式的性质： ；当 为奇数时， ；当 为偶数时， ()nan。 0|() na2、分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是： 且 0 的正分数(0,mnanN1)指数幂等于 0。正数的负分数指数幂的意义是： 且 。 1()(
2、),mnna )n0 的负分数指数幂没有意义。 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数。3、分数指数幂的运算性质 (0,)rsrsaR()(0,)rsrasR ()rrbbr4、指数函数及其性质函数名称 指数函数定义 函数 且 叫做指数函数(0xya1)101a图象定义域 R值域 (0,)过定点 图象过定点 ，即当 时， ,1x1y奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数R在 上是减函数R函数值的变化情况1(0)()xxa(0)1()xxa变化对 图象的影响a在第一象限内， 越大图象越高；在第二象限内， 越大图象越低aa二、例题精讲例 1函数 y ax在0，1上的最大值与最小值之和为 3，则函数 y
3、3 ax1 在0，1上的最大值是( )A6 B1 C3 D 2例 2设 f(x) ， xR，那么 f(x)是( )2A奇函数且在(0，)上是增函数 B偶函数且在(0，)上是增函数C奇函数且在(0，)上是减函数 D偶函数且在(0，)上是减函数例 3.如果函数 f(x)( a21) x在 R 上是减函数，那么实数 a 的取值范围是( )Aa1 Ba2 Ca3 D1a201xyx(,)O101xx(,)Oy例 4.函数 f(x) ax b的图象如图，其中 a、 b 为常数，则下列结论正确的是( )A a1， b0 B a1， b0C0 a1， b0 D0 a1， b0例 5.如图是幂函数 y xn在
4、第一象限内的图象，已知 n 取2， 四值。 则相应于曲线 C1， C2， C3， C4的 n 依次为( )2A2， ， ，2 B2， ， ，211C ，2，2， D2， ，2，例 6.求函数 的递增区间。2453xy例7.如果函数 ya 2x2a x1(a0 且 a1)在区间1，1上最大值为14，求a的值【高考名题】设函数 ，求使 的 x 的取值范围。12xf2fx对数函数一、 对数函数的运算及性质1、对数的定义若 ，则 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中(0,1)xaNa且 xaNlogaxN叫做底数， 叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化： log(0,1)xaxa2、几个重要的对
5、数恒等式， ， log10al1alba3、常用对数与自然对数常用对数： ，即 ；自然对数： ，即 （其中 ） lN10loglnNloge2.7184、对数的运算性质 如果 ，那么,0,aM(第 4 题)加法： 减法：logllog()aaaMNlogllogaaaMN数乘： nnRlaN 换底公式：ll(0,)baabogl(,1lbN且5、对数函数的性质函数名称 对数函数定义 函数 且 叫做对数函数log(0ayx1)101a图象定义域 (0,)值域 R过定点 图象过定点 ，即当 时， (1,)1x0y奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数(0,)在 上是减函数(,)函数值的变化情况lo
6、g1()l0aaxlog01()laax变化对 图象的影响a在第一象限内， 越大图象越靠低；在第四象限内， 越大图象越靠高6、反函数的概念设函数 的定义域为 ，值域为 ，从式子 中解出 ，得式子()yfxAC()yfx。如果对于 在 中的任何一个值，通过式子 ， 在 中都有唯一确()xCA定的值和它对应，那么式子 表示 是 的函数，函数 叫做函数()xyx()xy01 xyO(,)xlogayx01 xyO(,)xlay的反函数，记作 ，习惯上改写成 。()yfx1()xfy1()yfx7、反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式 中反解出 ；()f1()xfy将 改写成 ，
7、并注明反函数的定义域。1()xfy1()fx8、反函数的性质原函数 与反函数 的图象关于直线 对称。()f1()yfyx函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域。yx 1()f若 在原函数 的图象上，则 在反函数 的图象上。(,)Pab()yfx,Pba1()yfx一般地，函数 要有反函数则它必须为单调函数。二、 例题精讲例 1设 a0， a1，函数 ylo ga x 的反函数和 ylo ga 的反函数的图象关于( )。x1A x 轴对称 B y 轴对称 C y x 对称 D原点对称例 2.设 0 a1，函数 f(x)log a(a2x2 ax2)，则使 f(x)0 的 x 的取值范
8、围是( )。A(，0) B(0，) C(，log a3) D(log a3，)例 3.求函数 y 的定义域。2(log1x例 4. 若不等式 x2log mx0 在 内恒成立，求实数 m 的取值范围。21，【高考名题】1.设 ，若对于任意的 ，都有 满足方程 ，这1a,2xa2,yalogl3aaxy时 a 的取值集合为 （ ） 。A B. C. D. 12a2a23a2,32.已知函数 ，求函数 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性。1logxfxfx幂函数一、幂函数的定义及性质1、幂函数的定义一般地，函数 叫做幂函数，其中 为自变量， 是常数。yxx2、幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布
9、在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三y象限( 图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 (0,(1,) 单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数如果0，则幂函数的图象在 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 轴与0(,) x轴y 奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数当（其中 互质， 和 ） ，若 为奇数 为奇数时，则 是奇函数，若qp,pqZpqqpyx为奇数 为偶数时，则 是偶函数，若
10、为偶数 为奇数时，则 是非奇非pyxqp偶函数 图象特征：幂函数 ，当 时，若 ，其图象在直线,(0)101x下方，若 ，其图象在直线 上方，当 时，若 ，其图象在直yx1yx线 上方，若 ，其图象在直线 下方x二、习题精讲例 1.y=(m2-2m+2)x2m+1 是一个幂函数，则 m= 。例 2.在函数y=x 3y=x 2y=x -1y= 中，定义域和值域相同的是 x。例 3.证明：f(x)= 在定义域内是增函数。x例 4.对于函数 f(x)= ：(1).求其定义域和值域； (2).判断其奇偶性。23x【综合题】1. 函数 (0,1)xya的图象可能是 （ ）2. 函数 21()4ln)fx
11、x的定义域为 （ ）A 2,0)(,B (1,0),2 C 2, D (1,23. 已知 2sin)4fx若 a=f(lg5), 1(lg)5bf则 （ ）Aa+b=0 Ba-b=0 Ca+b=1 Da-b=11.设点 在曲线 上,点 在曲线 上,则 最小值为 （ P12xyeQln(2)yxPQ）A B C Dln(l)1l2(1ln)2.记函数 的反函数为 如果函数 的图像过点 ,那么函()yfx1.yfx()yfx0数 的图像过点 （ 1）A . B . C . D .(0,)(0,2)(1,)(2,0)3. 已知两条直线 :y=m 和 : y= (m0), 与函数 的图像从左至右相1ll8llogyx交于点 A,B , 与函数 的图像从左至右相交于 C,D .记线段 AC 和 BD 在 X22ogx轴上的投影长度 分别为 a ,b ,当 m 变化时, 的最小值为 ba（ ）A B C D 162828444. 函数 的最大值是_.224log(,)lyx5.已知函数 .(1)若 ,求 的取值范围;)1)(f 1)(21(0xff(2)若 是以 2 为周期的偶函数,且当 时,有 ,求函数xg)(fg)(xgy的反函数。),1(
